Sterowanie napędów maszyn i robotów Wykład 7b - Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu dr inż. Jakub Możaryn

Sterowanie napędów maszyn i robotów

Wykład 7b - Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2014

Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu

Zadanie przestawiania Postać modalna równania sterowania

u(k) = k_{x 1}[s_o− s(k)] − kx 2v (k) − kˆ _{x 3}a(k)ˆ (1) Postać wymusza przez liniowe sprzężenie zwrotne k_x = [k_{x 1}k_{x 2}k_{x 3}] przejście procesu ruchu od stanu początkowego x = [0 0 0]^T do końcowego x = [s_o 0 0]^T

Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu

Rysunek :Wieloobwodowy układ regulacji, ze sprzężeniem od zmiennych stanu - zadanie przestawiania, serwonapęd pneumatyczny

Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu

Zadanie nadążania

Postać dostosowana do układów o strukturze kaskadowej stosowanej w handlowych sterownikach typu CNC (ang. Computer Numerical Control ) maszyn i robotów przemysłowych;

 v_CNC(k) = k_CNC[s_o− s(k)] , k_CNC = ^k_k^{x 1}

x 2

u(k) = kx 2[vCNC− ˆv (k)] − k3a(k)ˆ (2) W sterownikach CNC

nadrzędna część układu realizując zadanie sterowania pozycyjnego o działaniu proporcjonalnym kCNC wytwarza z odchyłki śledzenia [s(k) − s_o(k)] sygnał wirtualnej prędkości zadanej v_CNC

podporządkowana część układu realizuje sterowanie prędkością.

Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu

Rysunek :Wieloobwodowy układ regulacji, ze sprzężeniem od zmiennych stanu - zadanie nadążania, w postaci dostosowanej do układów o strukturze

kaskadowej stosowanej w handlowych sterownikach typu CNC, serwonapęd pneumatyczny

Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe

Mając transmitancję operatorową postaci G (s) = ωs

Us(s) = km

LwJs²+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (3) stosując następujące podstawienia

kω²₀= k_m

LwJ, 2ξω₀= R_wJ + L_wB

LwJ , ω²₀=k_mk_e+ R_wB

LwJ (4)

można ją zapisać w postaci transmitancji układu oscylacyjnego G (s) = Y (s)

U(s) = k

T²s²+ 2ξTs + 1 (5)

G (s) = Y (s)

U(s) = kω₀²

s²+ 2ξω₀s + ω₀² (6) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω₀- pulsacja drgań

nietłumionych.

Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe

Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej G (s) = kω²₀

s²+ 2ξω0s + ω²₀ (7) Układ ten jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmiennych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu.

Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu

˙

x1(t) = x2(t)

˙

x2(t) = −ω²₀x1(t) − 2ξω0x2(t) + u(t) (8) równanie wyjścia

y (t) = kω0x1(t) (9)

Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe

Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fazowych:

Xfaz=

 x₁ x₂



, Ufaz = Uz (10)

jest następujący





 X˙_faz =

 0 1

−ω²₀ −2ξω₀²

 X_faz+

 0 1

 U_faz Y =

kω₀² 0  Xfaz+ [0] U_faz

(11)

 Xfaz˙ = Afaz(t)Xfaz+ Bfaz(t)Ufaz(t) Y = CfazXfaz+ DfazUfaz

(12)

Koncepcje doboru nastaw sterowania oraz ocena ich przydatności praktycznej

Koncepcje doboru nastaw sterowania oraz ocena ich przydatności praktycznej

Dobór nastaw na podstawie zadanych wartości własnych Dobór nastaw na podstawie kwadratowego wskaźnika jakości Dobór nastaw na podstawie przyjętych wartości wzmocnienia, pulsacji drgań swobodnych i współczynnika tłumienia modelu i układu zamkniętego (serwonepęd pneumatyczny)

Dobór nastaw na podstawie poszukiwania minimalnych wartości wskaźników oceny jakości sterowania i optymalnych zachowań napędu (serwonapęd pneumatyczny)

Koncepcje doboru nastaw sterowania oraz ocena ich przydatności praktycznej

Dobór nastaw na podstawie zadanych wartości własnych Korzystając ze znanych macierzy Amc , Bmc i Cmc modelu i

narzucając n pierwiastków s1, s2, ..., snrównania charakterystycznego układu zamkniętego, macierz wzmocnień (sprzężenia zwrotnego) kx określa tu równanie

det(sI − Amc+ Bmckx) = (s − s1)(s − s2)...(s − sn) (13) z warunkiem

Res_i< 0, i = 1, 2, ..., n (14) Co prowadzi do następujących wzmocnień wektora sprzężeń k_x

k_{x 1}= (−s₁s₂s₃)/C_mω_om² (15) kx 2= (−ωom+ s1s2+ s1s3+ s2s3)/Cmω²_om (16) kx 1= (−2ωom− s1− s2− s3)/Cmω_om² (17)

Koncepcje doboru nastaw sterowania oraz ocena ich przydatności praktycznej

Dobór nastaw na podstawie zadanych wartości własnych Analogiczne warunki i zależności mogą być podane dla układu dyskretnego z n narzuconymi wartościami własnymi z_i, i = 1, ..., n;

Metoda uważana jest za trudną ze względu na brak przekonujących - w stosunku do wymagań jakościowych sterowania - przesłanek wyboru tych wartości, które sprowadzają się do znanego warunku wyboru - np.

wartości bezwzględnych si - ’odpowiednio’ większych od wartości bezwzględnych części rzeczywistych dominujących wartości własnych układu otwartego.

Koncepcje doboru nastaw sterowania oraz ocena ich przydatności praktycznej

Dobór nastaw na podstawie zadanych wartości własnych W technice napędowej zaleca się podejście opierające się na dla zamkniętego układu pozycyjnego:

określenie zachowań dynamicznych – pulsacji drgań swobodnych ωoz

układu,

narzucenie dwóch granicznych stosunków wartości sąsiadujących ze sobą współczynników równania charakterystycznego ai/ai +1

a_i ai +1

= ω_oz

3^(3/2)−i oraz a_i ai +1

= ω_oz

2^(3/2)−i, i = 1, ..., n (18) Prowadzi to do wyboru własności własnych dla obszaru określonego biegunami:

s1,2,3= −√

3ωoz (19)

s1,2= −2√

2ωoz(1 ± j√

3) (20)

s3= −√

2ωoz (21)

Koncepcje doboru nastaw sterowania oraz ocena ich przydatności praktycznej

Dobór nastaw na podstawie zadanych wartości własnych Zaletą metody jest prosta implementacja; przyjmując, że wartość pulsacji ωoz układu zamkniętego - w stosunku do ωoo otwartego układu napędowego (np. pozycyjnego; w praktyce ωom modelu układu) została dobrana realistycznie.

Problemem pozostaje ’realistyczny’ wybór wartości ωoz.

Koncepcje doboru nastaw sterowania oraz ocena ich przydatności praktycznej

Dobór nastaw na podstawie kwadratowego wskaźnika jakości Algorytm regulatora LQR (regulator liniowo-kwadratowy ang. Linear Quadratic Regulator ) polega na znalezieniu takiego sterowania dla układu, aby spełnione zostały dane kryteria optymalności.

W takim regulatorze liniowo-kwadratowym układ dynamiczny opisany jest liniowymi równaniami różniczkowymi, funkcja kosztu ma postać funkcjonału kwadratowego.

Gwarancja stabilności układu zamkniętego i proste zastosowanie do układów o wielu wejściach i wyjściach sprawiają, że regulator jest chętnie stosowany w różnych systemach automatyki. Ponadto dla dowolnego, sterowalnego układu liniowego zawsze istnieje regulator z kwadratowym wskaźnikiem jakości.

Koncepcje doboru nastaw sterowania oraz ocena ich przydatności praktycznej

Dobór nastaw na podstawie kwadratowego wskaźnika jakości Funkcja kosztów w układzie liniowym z czasem ciągłym opisanym równaniami stanu ma następującą postać

JLQR = Z ∞

0

[x (t)^TQx (t) + u(t)^TRu(t)]dt (22) gdzie Q i R są diagonalnymi macierzami wag umożliwiającymi zmianę wpływu poszczególnych zmiennych stanu i sterowań na przedstawione kryterium jakości.

Wyrażenie x (t)^TQx (t) jest kosztem stanu układu z wagą Q, a wyrażenie u(t)^TRu(t) kosztem sterowania układu z wagą R.

Koncepcje doboru nastaw sterowania oraz ocena ich przydatności praktycznej

Dobór nastaw na podstawie kwadratowego wskaźnika jakości Założenia:

dostępne są wszystkie wartości wektora stanu układu x (t), układ jest stabilny, sterowalny i obserwowalny,

R = R^T > 0 oraz Q = Q^T > 0.

prawo sterowania ma postać:

u(t) = −Kx (23)

Macierz sprzężeń K jest obliczona z zależności:

K = −R⁻¹B^TP (24)

gdzie macierz P jest rozwiązaniem równania Riccatiego:

A^TP + PA − PBR⁻¹B^TP = 0 (25)

Koncepcje doboru nastaw sterowania oraz ocena ich przydatności praktycznej

Dobór nastaw na podstawie kwadratowego wskaźnika jakości Dobór nastaw regulatora LQR sprowadza się do wyznaczenia wag poszczególnych zmiennych. Algorytm LQR nie posiada uniwersalnej metody wybrania parametrów i przeważnie są one dobierane iteracyjnie.

W pracy przy wyborze wstępnych wartości wag można posłużyć się regułą Bryson’a, która sugeruje wybór następujących parametrów początkowych:

Q_ii = 1

X_{i max}² (26)

R_jj = 1

U_{j max}² (27)

gdzie Xi max to maksymalna akceptowalna wartość xi, i oznacza kolejny element wektora stanu X , Uj max to maksymalna akceptowalna wartość uj,

Koncepcje doboru nastaw sterowania oraz ocena ich przydatności praktycznej

Dobór nastaw na podstawie kwadratowego wskaźnika jakości Dla układu liniowego, dyskretnego przyjmuje się wskaźnik kwadratowy o postaci

I^S =

k_oc

X

k=0

Q[es(k)]²+ R[u(k)]², min (28) gdzie: Q i R to stałe i dodatnie współczynniki wag. Zakłada się

rozwiązanie suboptymalne odpowiadające nieograniczonemu czasowi oceny koc (w praktyce -do osiągnięcia stanu ustalonego: koc = ku)

Koncepcje doboru nastaw sterowania oraz ocena ich przydatności praktycznej

Dobór nastaw na podstawie kwadratowego wskaźnika jakości Ze względu na zbliżenie postaci funkcjonału do wskaźników całkowych o wyraźnym sensie fizycznym, metoda uważana za najbardziej zbliżoną do wymagań praktycznych w porównaniu z innymi metodami analitycznymi.

Problemy związane są zmiana współczynnika wag we wskaźniku, np. dla kosztu sterowania R (przy koszcie odchyłki Q = 1) bardzo słabo optymalizuje zachowanie się układu pozycyjnego

dla dużych wartości R prowadzi do zachowań aperiodycznych, tzw. ’słabe’ sterowanie,

dla małych wartości R – do zachowania zbliżonego do pożądanego, ale obarczonego silną periodycznością, tzw. ’silne’ sterowanie.

Koncepcje doboru nastaw sterowania oraz ocena ich przydatności praktycznej

Dobór nastaw na podstawie kwadratowego wskaźnika jakości

Rysunek :Typowe przebiegi sterowania pozycyjnego, w przypadku doboru nastaw na podstawie wskaźnika jakości I^s- gdzie: p = 1 (waga odchyłki), q – waga sterowania, współczynnik kω= ωoz/ωoo określa dynamikę zachowań napędu pneumatycznego w układzie zamkniętym względem układu otwartego

Sterowanie napędów maszyn i robotów

Wykład 7b - Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2014