Wstęp do matematyki, 2021/2022 ćwiczenia 1. – rozwiązania i wskazówki
13 października 2021
1. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory każdego z następujących zbiorów:
a) {N, {N}},
elementy: N,{N}, podzbiory: ∅, {N}, {{N}}, {N, {N}}, b) {∅, {{∅}}, {∅, {∅}} ∖ {∅}, {∅} ∩ {∅, {∅}}}.
obliczamy, że{∅, {∅}} ∖ {∅} = {{∅}} oraz {∅} ∩ {∅, {∅}} = {∅}. Zatem:
elementy:∅, {{∅}}, {∅},
podzbiory: ∅, {∅}, {{{∅}}}, {{∅}}, {∅, {{∅}}}, {∅, {∅}}, {{{∅}}, {∅}}, {∅, {{∅}}, {∅}}.
2. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C:
a) (A ∪ B) ∖ C = (A ∖ C) ∪ (B ∖ C) Trzema metodami:
i. metoda diagramów Venna:
Rozważamy lewą stronę:
A∪ B:
czyli lewa strona to:
Patrzymy na prawą: A∖ C: B∖ C:
czyli prawa strona to:
Zgadza się.◻
ii. metoda rodziny niezależnej: Niech S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5, 6}, C = {3, 4, 6, 7}. Jest to rodzina niezależna, co łatwo, choć żmudnie, można sprawdzić. Teraz obliczamy lewą stronę: A∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, (A ∪ B) ∖ C = {1, 2, 5} i prawą: A ∖ C = {1, 2}, B ∖ C = {2, 5}, (A ∖ C) ∪ (B ∖ C) = {1, 2, 5}, zgadza się. ◻
iii. metoda przez dowiedzenie zawierań w obie strony (biorąc element):
Dowodzimy, że: (A ∪ B) ∖ C ⊆ (A ∖ C) ∪ (B ∖ C). Niech x ∈ (A ∪ B) ∖ C, wtedy x ∈ A ∪ B oraz x∉ C, a zatem x ∈ A lub x ∈ B, ale x ∉ C, czyli (x ∈ A ∧ x ∉ C) ∨ (x ∈ B ∧ x ∉ C), czyli x ∈ A ∖ C lub x∈ B ∖ C, zatem x ∈ (A ∖ C) ∪ (B ∖ C).
Dowodzimy, że:(A∖C)∪(B ∖C) ⊆ (A∪B)∖C: Niech teraz x ∈ (A∖C)∪(B ∖C), zatem x ∈ A∖C lub x∈ B ∖ C, a zatem x ∈ A lub x ∈ B, ale w obu wypadkach pod warunkiem, że x ∉ C. Zatem x∈ A ∪ B, ale x ∉ C, zatem x ∈ (A ∪ B) ∖ C. ◻
b) A∪ B = A △ B △ (A ∩ B)
1
Rozwiążemy to metodą rodziny niezależnej. Niech S= {1, 2, 3, 4}, A = {1, 2}, B = {2, 3}. To jest rodzina niezależna. Lewa strona to A∪ B = {1, 2, 3}. Obliczamy prawą: A △ B = {1, 3}, A ∩ B = {2}, a zatem A△ B △ (A ∩ B) = {1, 2, 3}. Zgadza się. ◻
c) A∩ (B △ C) = (A ∩ B) △ (A ∩ C)
Zastosujemy metodę przez dowiedzenie zawierań w obie strony:
A∩ (B △ C) ⊆ (A ∩ B) △ (A ∩ C): Załóżmy, że x ∈ A ∩ (B △ C). Zatem x ∈ A oraz x ∈ B lub x ∈ C, ale nie w obu równocześnie. A zatem mamy dwa przypadki: x∈ A ∩ B lub x ∈ A ∩ C, ale wiemy, że nie mogą zachodzić równocześnie. A zatem x∈ (A ∩ B) △ (A ∩ C).
(A ∩ B) △ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B △ C): Niech x ∈ (A ∩ B) △ (A ∩ C) zatem na pewno x ∈ A oraz x ∈ B lub x∈ C, ale nie jest tak, że x ∈ A ∩ B ∩ C. A zatem x ∈ A oraz x ∈ B ∪ C, ale nie x ∈ B ∩ C, czyli x∈ A ∩ (B △ C). ◻
d) A= B wtedy i tylko wtedy, gdy A △ B = ∅
Równoważności dowodzimy poprzez dowiedzenie dwóch implikacji:
Załóżmy, że A= B. Wtedy oczywiście A △ B = ∅, a zatem implikacja ⇒ jest prawdziwa.
Niech A△ B = ∅. Zatem A ∖ B ⊆ A △ B = ∅ jest też zbiorem pustym. Zatem A ⊆ B. Podobnie B∖ A ⊆ A △ B = ∅, czyli B ⊆ A, a zatem A = B, co dowodzi implikacji ⇐. ◻
e) jeśli A△ B = C, to B = A △ C
Załóżmy, że A△ B = C. Weźmy x ∈ B. Zauważmy, że x ∈ B wtedy i tylko wtedy, gdy a. x ∈ B ∩ A lub b. x∈ B ∖ A. W drugim przypadku wnioskujemy, że x ∈ A △ B = C oraz x ∉ A, zatem x ∈ A △ C. Zaś w pierwszym, że x∉ A △ B = C, ale x ∈ A, zatem x ∈ A △ C – w każdym przypadku. Zatem B ⊆ A △ C.
Jeśli zaś x∈ A △ C, to znów mamy dwa przypadki. Albo x ∈ A ∖ C = A ∖ (A △ B), czyli x ∈ B, albo x∈ C ∖ A = (A △ B) ∖ A i wtedy też x ∈ B, zatem A △ C ⊆ B. ◻
3. Czy prawdą jest, że dla dowolnych zbiorów A, B zachodzi równość(A ∖ B) ∪ B = A?
Nie. Na przykład A= ∅, B = {0}. Wtedy A ∖ B = ∅, (A ∖ B) ∪ B = {0} ≠ ∅ = A.
4. (ℶ) Sprawdź, czy prawdą jest, dla dowolnych zbiorów A, B, C, zachodzi równoważność: (B △ C) ∩ A ⊆ B, wtedy i tylko wtedy, gdy B∩ C ∩ A ⊇ C ∩ A. Jeśli tak, udowodnij, jeśli nie – podaj kontrprzykład.
Jest prawdą. Oto dowód:
⇒∶ Załóżmy, że (B △C)∩A ⊆ B oraz x ∈ C ∩A. Załóżmy nie wprost, że x ∉ B. Zatem x ∈ A oraz x ∈ C ∖B, zatem x∈ B △ C oraz x ∈ A, zatem x ∈ (B △ C) ∩ A, zatem z założenia x ∈ B – sprzeczność.
⇐∶ Załóżmy, że C ∩ A ⊆ A ∩ B ∩ C oraz niech x ∈ (B △ C) ∩ A. Zatem x ∈ B △ C ∧ x ∈ A → (x ∈ B ∖ C ∨ x ∈ C∖ B) ∧ x ∈ A → ((x ∈ B ∧ x ∉ C) ∨ (x ∈ C ∧ x ∉ B)) ∧ x ∈ A → (x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ C) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C∧ x ∉ B) → (x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ C) ∨ (x ∈ (A ∩ C) ∖ B). Ale z założenia C ∩ A ⊆ A ∩ B ∩ C, więc (x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ C) ∨ (x ∈ (A ∩ C ∩ B) ∖ B = ∅), co eliminuje drugą opcję, więc x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ C, w szczególności x∈ B. ◻
5. Udowodnij, że jeśliA jest dowolną rodziną zbiorów, to:
a) dla każdego A∈ A, ⋂ A ⊆ A,
b) dla każdego zbioru C, takiego, że dla każdego A∈ A, C ⊆ A, zachodzi C ⊆ ⋂ A.
A więc⋂ A jest największym w sensie zawierania zbiorem zawartym w każdym elemencie rodziny A.
Wskazówka: przyjrzyj się dowodowi podobnego twierdzenia z wykładu.
6. (ℷ) Oznaczenie: niech ⟨a, b⟩ = {{a}, {a, b}}. Udowodnij, że ⟨a, b⟩ = ⟨c, d⟩ wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b= d.
Oczywiście jeśli a= c i b = d, to ⟨a, b⟩ = ⟨c, d⟩.
Załóżmy teraz, że ⟨a, b⟩ = {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} = ⟨c, d⟩. Dwa zbiory są równe, jeśli mają równe elementy. Zatem rozważmy przypadki:
{a} = {c}, zatem a = c,
{a} = {c, d}, zatem {c, d} jest jednoelementowy i c = d oraz a = c = d.
Zatem a= c. Spójrzmy na b. Przypadki:
{a, b} = {c}, zatem {a, b} jest jednoelementowe i a = b oraz a = b = c. Rozważamy dalej:
2
– {c, d} = {a}, zatem {c, d} jest jednoelementowy i c = d = a, czyli a = b = c = d.
– {c, d} = {a, b}, zatem {b, d} = {b}, zatem {b, d} jest jednoelementowy, czyli b = d.
{a, b} = {c, d}, – b= c i
* d= a, ale wiemy, że a = c, więc a = b = c = d,
* d= b – b= d Zatem b= d. ◻
3
