Podstawy przetwarzania sygnałów 2. Całka Lebesgue’a — zadania do samodzielnego rozwiązania

Podstawy przetwarzania sygnałów

2. Całka Lebesgue’a — zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 2.1 Oblicz, o ile istnieją, całki ^R_Af (x)µ(dx), gdzie

1. A = [1, ∞), f (x) = x⁻², µ = l +

∞

P

k=1

δk, 2. A = R, f (x) = 31I_(a,∞)(x) − 21I_(−∞,a)(x), a ∈ R, µ = l,

3. A = R, f (x) = ln(1 + ¹_x), µ =

∞

P

k=1

δk,

4. A = R⁺, f (x) = 2^x+ 3^x, µ =

∞

P

k=1

6^−kδk.

Zad. 2.2 Oblicz granicę

n→∞lim

Z 2 0

n²sinx² n²l(dx).

Zad. 2.3 Oblicz granicę lim_n→∞^R₀¹(1 − sinⁿx)l(dx).

Zad. 2.4 Oblicz granicę lim_n→∞^R₀¹ √ⁿ

x ln xl(dx).

Zad. 2.5 Oblicz granicę dla 0 < a < b < 1

Z

[a,b]

∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹ dx.

Zad. 2.6 Oblicz pochodną funkcji zadanej dla t ∈ (1, ∞) wzorem F (t) =

Z ⁴

√ 3 1

1

xarctan(tx²) dx.

Zad. 2.7 Dana jest funkcja F : [1, +∞) → R F (t) =

Z

(1,e)

1

xln(tx²) dx.

Oblicz F⁰(t) i wywnioskuj stąd, że funkcja F jest rosnąca.