Czas rozwi¡zywania - 90 min.

05.02.2018 r. Imi¦: Nazwisko:

Egzamin nr albumu:

Zadania s¡ równo punktowane. Kolejno±¢ rozwi¡zywania dowolna. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢

starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozumowanie. Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, na karcie zada« wpisz wyniki.

Czas rozwi¡zywania - 90 min.

1. Oblicz poni»sz¡ caªk¦, gdzie zbiór B = {(x, y) ∈ R ² : x ² + y ² ≤ x} . Z Z

B

1

x dx dy =

2. Dana jest funkcja F (x, y) = x ³ − y ² oraz warunek x ² + y ⁴ = 1 . Wyznacz ekstrema lokalne warunkowe le»¡ce na osi OX (je±li jakie± s¡).

min. lok. war. w: max. lok. war. w:

3. Dane jest odwzorowanie u: X → X o wzorze u(x, y) =

 xy, x

y ²



, gdzie X = {x 6= 0 ∧ y 6= 0}.

a) Zbadaj, gdzie u NIE jest lokalnie odwracalne. Odpowied¹:

b) Zbadaj, czy u jest globalnie odwracalne.

c) Korzystaj¡c ze wzoru na pochodn¡ odwzorowania odwrotnego wyznacz D(u ⁻¹ )(2, 2) .

D(u ⁻¹ )(2, 2) =

4. Dane s¡ funkcje f(x) = cos(2x)e ^−x i g(x) = ^sin(x _x

⁾ .

a) Dla obu podaj 3 pierwsze niezerowe wyrazy rozwini¦cia w szereg Taylora w x 0 = 0 .

f (x) ≈ g(x) ≈

b) Korzystaj¡c z rozwini¦¢ wyznacz granic¦ lim

x→0

f (x) − g(x) + x

x ² =

5. Zbadaj, czy szereg jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, warunkowo czy rozbie»ny.

a) Szereg

+∞

X

n=5

1 + _n ¹
n

3 ⁿ − 4 ⁿ jest: b) szereg

+∞

X

n=7

(−1) ⁿ · √ n ³ + 1 n ² + 3n − 2 jest:

Powodzenia!