Kolokwium II nr albumu:

(1)

23.01.2018 r. Imi¦: Nazwisko:

Kolokwium II nr albumu:

zestaw A

Zadania s¡ równo punktowane. Kolejno±¢ rozwi¡zywania dowolna. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢

starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozumowanie. Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, na karcie zada« wpisz wyniki.

Czas rozwi¡zywania - 90 min.

1. Oblicz caªki:

a) Z Z

A

1 x

²

dx dy = b) Z Z

S

e

^−x−y

dx dy =

gdzie zbiór A = {(x, y) ∈ R

²

: 1 ≤ x

²

+ y

²

≤ e

⁴

∧ 0 ≤ y ≤ x} , a zbiór S to trójk¡t o wierzchoªkach w punktach (−1, 0), (1, 1), (2, 0).

2. Wyka», »e funkcja h: R

³

→ R dana wzorem poni»ej nie ma ekstremów lokalnych:

h(x, y, z) = x

⁴

y − 4xy

⁴

+ 5z

²

y

³

+ 10 3 z

³

.

Wskazówka: W jednym z punktów macierz drugiej pochodnej nie dowodzi, »e brak tam ekstremum obetnij funkcj¦ do wybranej osi (tj. pod dwie wspóªrz¦dne wstaw 0.)

punkty stacjonarne:

3. Dane jest odwzorowanie u: R

²

→ R

²

o wzorze

u(x, y) = x

³

− 3x

²

+ ye

^y

, y

⁴

− 4y .

a) Podaj punkty w których u NIE jest lokalnie odwracalne. Odpowied¹:

b) Wyka», »e u jest globalnie odwracalne na zbiorze (0, 2) × (1, +∞).

c) Wyznacz pochodn¡ D(u

⁻¹

)(−2 + 2e

²

, 8) dla odwzorowania odwrotnego z punktu (b).

D(u

⁻¹

)(−2 + 2e

²

, 8) =

4. Dana jest funkcja F (x, y) = x + y

³

przy warunku x

⁴

+ y

²

= 1 . Zbadaj, czy który± z punktów (1, 0) , (−1, 0), (0, 1) jest ekstremum warunkowym funkcji F . Je±li tak to podaj, czy jest to min czy max?

w (1, 0) mamy: w (−1, 0) mamy: w (0, 1) mamy:

5. Konchoida Nikomedesa dana jest równaniem (x − 1)

²

(x

²

+ y

²

) = 4x

²

. Wyznacz ekstrema lokalne (podaj ich typ) funkcji uwikªanych x(y) zadanej przez t¦ krzyw¡. (Upewnij si¦, »e w otrzymanych punktach funkcja x(y) faktycznie istnieje.)

min. lok. w: max. lok. w:

Powodzenia!

(2)

23.01.2018 r. Imi¦: Nazwisko:

Kolokwium II nr albumu:

zestaw B

Zadania s¡ równo punktowane. Kolejno±¢ rozwi¡zywania dowolna. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢

starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozumowanie. Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, na karcie zada« wpisz wyniki.

Czas rozwi¡zywania - 90 min.

1. Oblicz caªki:

a) Z Z

B

1 x

²

dx dy = b) Z Z

T

e

^−x+y

dx dy =

gdzie zbiór B = {(x, y) ∈ R

²

: 1 ≤ x

²

+ y

²

≤ e

⁶

∧ 0 ≤ y ≤ x} , a zbiór T to trójk¡t o wierzchoªkach w punktach (−2, 0), (−1, 1), (1, 0).

2. Wyka», »e funkcja h: R

³

→ R dana wzorem poni»ej nie ma ekstremów lokalnych:

h(x, y, z) = xy

⁴

− 4x

⁴

y + 5z

²

x

³

− 10 3 z

³

.

Wskazówka: W jednym z punktów macierz drugiej pochodnej nie dowodzi, »e brak tam ekstremum obetnij funkcj¦ do wybranej osi (tj. pod dwie wspóªrz¦dne wstaw 0.)

punkty stacjonarne:

3. Dane jest odwzorowanie u: R

²

→ R

²

o wzorze

u(x, y) = x

⁴

− 4x, y

³

− 3y

²

+ xe

^x

.

a) Podaj punkty w których u NIE jest lokalnie odwracalne. Odpowied¹:

b) Wyka», »e u jest globalnie odwracalne na zbiorze (1, +∞) × (0, 2).

c) Wyznacz pochodn¡ D(u

⁻¹

)(8, −2 + 2e

²

) dla odwzorowania odwrotnego z punktu (b).

D(u

⁻¹

)(8, −2 + 2e

²

) =

4. Dana jest funkcja F (x, y) = x

³

+ y przy warunku x

²

+ y

⁴

= 1 . Zbadaj, czy który± z punktów (1, 0) , (0, −1), (0, 1) jest ekstremum warunkowym funkcji F . Je±li tak to podaj, czy jest to min czy max?

w (1, 0) mamy: w (0, −1) mamy: w (0, 1) mamy:

5. Konchoida Nikomedesa dana jest równaniem (x + 1)

²

(x

²

+ y

²

) = 4x

²

. Wyznacz ekstrema lokalne (podaj ich typ) funkcji uwikªanych x(y) zadanej przez t¦ krzyw¡. (Upewnij si¦, »e w otrzymanych punktach funkcja x(y) faktycznie istnieje.)

Kolokwium II nr albumu:

23.01.2018 r. Imi¦: Nazwisko:

Kolokwium II nr albumu:

zestaw A

Zadania s¡ równo punktowane. Kolejno±¢ rozwi¡zywania dowolna. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢

starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozumowanie. Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, na karcie zada« wpisz wyniki.

Czas rozwi¡zywania - 90 min.

1. Oblicz caªki:

a) Z Z

1

x

dx dy = b) Z Z

e

dx dy =

gdzie zbiór A = {(x, y) ∈ R

: 1 ≤ x

+ y

≤ e

∧ 0 ≤ y ≤ x} , a zbiór S to trójk¡t o wierzchoªkach w punktach (−1, 0), (1, 1), (2, 0).

2. Wyka», »e funkcja h: R

→ R dana wzorem poni»ej nie ma ekstremów lokalnych:

h(x, y, z) = x

y − 4xy

+ 5z

y

+ 10 3 z

.

Wskazówka: W jednym z punktów macierz drugiej pochodnej nie dowodzi, »e brak tam ekstremum  obetnij funkcj¦ do wybranej osi (tj. pod dwie wspóªrz¦dne wstaw 0.)

punkty stacjonarne:

3. Dane jest odwzorowanie u: R

→ R

o wzorze

u(x, y) = x

− 3x

+ ye

, y

− 4y .

a) Podaj punkty w których u NIE jest lokalnie odwracalne. Odpowied¹:

b) Wyka», »e u jest globalnie odwracalne na zbiorze (0, 2) × (1, +∞).

c) Wyznacz pochodn¡ D(u

)(−2 + 2e

, 8)  dla odwzorowania odwrotnego z punktu (b).

D(u

)(−2 + 2e

, 8) =

4. Dana jest funkcja F (x, y) = x + y

przy warunku x

+ y

= 1 . Zbadaj, czy który± z punktów (1, 0) , (−1, 0), (0, 1) jest ekstremum warunkowym funkcji F . Je±li tak to podaj, czy jest to min czy max?

w (1, 0) mamy: w (−1, 0) mamy: w (0, 1) mamy:

5. Konchoida Nikomedesa dana jest równaniem (x − 1)

(x

+ y

) = 4x

. Wyznacz ekstrema lokalne (podaj ich typ) funkcji uwikªanych x(y) zadanej przez t¦ krzyw¡. (Upewnij si¦, »e w otrzymanych punktach funkcja x(y) faktycznie istnieje.)

min. lok. w: max. lok. w:

Powodzenia!

23.01.2018 r. Imi¦: Nazwisko:

Kolokwium II nr albumu:

zestaw B

Zadania s¡ równo punktowane. Kolejno±¢ rozwi¡zywania dowolna. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢

starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozumowanie. Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, na karcie zada« wpisz wyniki.

Czas rozwi¡zywania - 90 min.

1. Oblicz caªki:

a) Z Z

1

x

dx dy = b) Z Z

e

dx dy =

gdzie zbiór B = {(x, y) ∈ R

: 1 ≤ x

+ y

≤ e

∧ 0 ≤ y ≤ x} , a zbiór T to trójk¡t o wierzchoªkach w punktach (−2, 0), (−1, 1), (1, 0).

2. Wyka», »e funkcja h: R

→ R dana wzorem poni»ej nie ma ekstremów lokalnych:

h(x, y, z) = xy

− 4x

y + 5z

Wskazówka: W jednym z punktów macierz drugiej pochodnej nie dowodzi, »e brak tam ekstremum obetnij funkcj¦ do wybranej osi (tj. pod dwie wspóªrz¦dne wstaw 0.)

, 8) dla odwzorowania odwrotnego z punktu (b).

Wskazówka: W jednym z punktów macierz drugiej pochodnej nie dowodzi, »e brak tam ekstremum obetnij funkcj¦ do wybranej osi (tj. pod dwie wspóªrz¦dne wstaw 0.)

) dla odwzorowania odwrotnego z punktu (b).