Badanie nieliniowego zagadnienia Hilberta-Hasemana metodą Scłiaudera

(1)

ROCZNIKI POLSKIEGO TO W AR ZYSTW A MATEMATYCZNEGO Seria I : PRACE M ATEMATYCZNE I X (1965)

W. Żakowski (Warszawa)

Badanie nieliniowego zagadnienia Hilberta-Hasemana metodą Scłiaudera

Wstęp. Niech L oznacza krzywą Jordana-Lapunowa położoną na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z, skierowaną dodatnio względem ob

szaru ograniczonego $ +, którego jest brzegiem. Punkt z = 0 leży w ob

szarze $ +. Oznaczamy przez obszar nieograniczony będący dopełnie

niem S+Jr L do całej płaszczyzny otwartej. Niech a{t) będzie funkcją określoną na L , odwzorowującą krzywą L na siebie wzajemnie jedno

znacznie z zachowaniem zwrotu, przy czym istnieje pochodna a'(t) Ф 0,

spełniająca warunek Hóldera.

Liniowe zagadnienie brzegowe Hilberta-Hasemana polega na wyzna

czeniu funkcji Ф(%) holomorficznej oddzielnie w obszarach S+ i któ

rej wartości brzegowe spełniają w każdym punkcie teL następujący warunek:

przy czym G(t) Ф 0 i g(t) są to funkcje dane, spełniające na krzywej L warunek Hóldera.

Odpowiadające powyższemu zagadnienie jednorodne (a więc przy

padek g(t) = 0), było postawione i badane po raz pierwszy przez O. Ha- semana ([1]). Rozwiązanie ogólne, podał znacznie później D. A. Kwiese- ława ([2], [3]); ma ono postać następującą

P(z) oznacza tu dowolną funkcję całkowitą, X{z) jest tzw. rozwią

zaniem kanonicznym zagadnienia jednorpdnego, a mianowicie (1) Ф+[«(*)] = G ( t ) 0 ~ ( t ) + g(t),

dla zeS .

(2)

36 W. Żakowski

przy czyni v, tzw. indeks zagadnienia, jest to następująca liczba całko

wita

(4) v 1

~2rx[ar gG(t)]L,

f${t) jest funkcją odwrotną względem a{t), zaś x(t) jest jedynym ciągłym rozwiązaniem równania całkowego

(6 )

gdzie jądro

(6)

X W - f N(t,r)x(T)dT = Ы [ Г ’ в т ,

L

N (t ,r ) = 1 2 ni

a'(r) 1 a(r) — a(t)

J

ma osobliwość słabą, gdy r — t-> 0. Funkcja <p{t)występująca we wzorach (2), spełnia warunek Hóldera będąc jedynym ciągłym rozwiązaniem równania całkowego

( 7 ) <p(t)— J N(t, r)(p(r)dr — P(t)

L

9(t)

Nieliniowe zagadnienie Hilberta-Hasemana.

Zagadnienie. Wyznaczyć funkcję <P{z) holomorficzną oddzielnie w ob

szarach S+ i 8~, której wartości brzegowe spełniają w każdym punkcie teL następujący warunek nieliniowy

(8) Ф+[<*(*)] = G(t)0-(t) + g(t) + F{t, Ф+[«(*)], Ф+(<), [<*(*)], * " (* )}.

Przyjmujemy następujące założenia:

1 ° Kąt, jaki tworzy styczna do krzywej L z pewnym ustalonym kierunkiem, spełnia warunek Hóldera z wykładnikiem hL.

2° Punkt z = 0 położony jest w obszarze ograniczonym 8 + o brze

gu L skierowanym dodatnio względem tego obszaru. S~ oznacza dopeł

nienie S+ f - L do całej płaszczyzny otwartej.

3° Funkcja zespolona a(t) określona dla teL, odwzorowuje krzywą L na tę samą krzywą wzajemnie jednoznacznie z zachowaniem zwrotu, przy czym istnieje pochodna a'(t) Ф 0 spełniająca warunek Hóldera (9) | а '(« -а '(« )|

gdzie K'a jest stałą dodatnią, 0 < h'a < 1 .

4° Funkcje zespolone G(t) Ф 0 i g(t), określone na krzywej L, speł

niają warunek Hóldera

(10) |в«1) - е № 1 < я - 0 |<1-(|*о,

(11) \9(h)-9(t)\ ’

gdzie Kq i K g są to stałe dodatnie, 0 < hG , hg < 1 .

(3)

Badanie nieliniowego zagadnienia Hilberta-Rasemana 37

5° Funkcja zespolona F(t, щ, u2, u3, u4) jest określona w dziedzi

nie U L , \uk\ < (fc = 1, 2, 3, 4) oraz spełnia warunek Hóldera-Lip- schitza

|F{t4, u4, u2, u3, u4) F ( t , iii, u2, u3, u£)\ ^

K F I#! — t\^F K F(\ux— UiI -f- \u2 — u2\ + |-m3— u3I + \u4— W4I), gdzie K'F, Kf i F 0 są to stałe dodatnie, zaś 0 < JiF < 1 .

6° Wykładniki Hóldera występujące w założeniach 1° i 3°-5°, speł

niają następujący warunek

К < 2mm{hL, hG, hg, hF).

Sprowadzenie zagadnienia do równania całkowego osobliwego. Roz

wiązania postawionego zagadnienia nieliniowego będziemy poszukiwać pod postacią (2), z funkcją niewiadomą <p(t) spełniającą na krzywej L warunek Hóldera. Jeżeli rozwiązanie takie istnieje, to jego wartości brzegowe dla z ^ > t e L spełniają także warunek Hóldera, przy czym, wobec (8), funkcja <p (t) winna spełniać następującą zależność

(14) <p(t) — J N (t, r)<p(r)dr —

L

== F(t) -j--- ---1---- —^---F {t, ф+ [а{1)], Ф+lt), Ф^[а(«)], Ф~ (t)} . W ^ X + [a(t)] X + [a(t)l 11 L WJ’ L

Wiadomo (np. [4], str. 129-130), że funkcja N ( t , r ) określona wzo

rem (6) ma osobliwość słabą, gdy r —1- >0 , a mianowicie (15) \mt,z)\*Z --- —

Ir —

gdzie h'a jest wykładnikiem Hóldera występującym w założeniu 3°, zaś MN stałą dodatnią. Z drugiej strony, jeżeli <p(t) spełnia warunek Hól

dera, to na podstawie znanych wzorów Plemelja (np. [5], str. 7) otrzy

mujemy zależności następujące

, 1 , X { (t) Г <p[p(t)]

Ф+d) = - x + ( t ) f u ?(*)] + ;

Л LTl% i' 1j T—T

(1 6 )

^+r /^1 1 2 xr+r /JV1 , * + [«(*)] f ?>(*)«'(*) л Ф+ [аЦ)] = — X+[a{t)]<p{t)-Ą---— --- ----- — d r ,

2 2ni £ a{r)— a(t)

Ф-Ц) = - - X - ( t ) t p { t )1^_ x _{Ł W I}^{( t )} ^{Г <}^p⁽^t⁾

0 . , , dr + X~(t)P(t), 2тЛ £ x — t

1 X~[a(t)] Г о ? [ а ( т ) ] а ' ( т ) ,

ф - [ а ( « ) ] = - - X ~ [a (t)]y [« (< )]+ 2 £ - 2-кг £ a(T) — a(t)Г Г -—,7> dr+

+ X - [ a ( t ) ] P [ a ( t ) ] ,

(4)

38 W. Ż akows ki

przy czym występujące całki osobliwe rozumiane są w sensie wartości głównej Cauchy’ego.

Podstawiając zależności (16) do prawej strony (14) otrzymamy ostatecznie następujące równanie całkowe, jakie winna spełniać funkcja niewiadoma q>:

(17) <p(<)— J N (t, r)<p(r)dr = P(t) g(t)

X + [a(t)] +

, , , - Г 1 , X + [a(t)] Г w(r)a'(r)

+ { X +[a«)jr1J,b , - X +[a(0]y(t)+" 9 --

₍ ₂ _2ni £ a(r)— a(t)

/n dr,

1 -Г+,., , x + w f r l P O ) ] л (ОрВЗД] + - . --- — dr,

2itzI V t

1 X~[a(t)]

- - Х - [ « ( № [ « ( / ) ] + ..oL :

2 2-кг f Tl

J a

(p[a(r)]a (r)

('r) —a(t) d r - f X [cc(tf)]P[a(£)],

1 X (t) Г wir) 1

- - X - { t ) < p ( t ) + — V - X ^ d x + X - ( t ) P ( t ) \ = J [ę>«)],

2 2тиl £ r —t J

przy czym P{t) jest wartością brzegową dowolnie wybranej funkcji cał

kowitej P(z). Zauważymy, że równanie (17) jest mocno-osobliwe ze względu na mocno-osobliwe całki, które pojawiły się w argumentach funkcji F, aczkolwiek jądro N ( t , r ) jest słabo-osobliwe (ocena (15)).

Interesującą cechą równania (17) jest to, że funkcja niewiadoma <p wystę

puje w nim dla różnych wartości argumentu: t, a(t) oraz (3(t) z dziedziny L.

Zauważymy, że fakt ten nie miałby miejsca, gdyby funkcja F, stanowiąca człon nieliniowy w warunku brzegowym, zależała jedynie od 0+[a(t)] oraz 0~{t), a więc od tych wartości brzegowych funkcji szukanej <P(z), które występują w warunku brzegowym odpowiedniego zagadnienia liniowego.

Badanie istnienia rozwiązań równania (17) w klasie funkcji spełnia

jących warunek Hóldera poprzedzimy ustaleniem kilku pomocniczych faktów.

Twierdzenia pomocnicze.

Lemat 1. Jeżeli funkcja zespolona cp{t) określona na krzywej L speł

nia warunek Foldera |ę>(£i) — (p{t)\ < K v\t1 — t\h4> oraz nierówność |ę>(£)| <

< M ę , gdzie K v i M ę są to stałe dodatnie, 0 < hę < 1 , a ponadto spełnione są założenia l°-3 °, to całki osobliwe w sensie wartości głównej Cauchy'ego

J M = f L

(p(r)a' (r) --- TT dr,

a(r) — a (t) Ш = / dr

J r — t L

Ш ~

J

L

' <P [<*(*)] а#(т) ^

a(r)— a(t) ’ ^{i m} = Li T--V dT

(5)

Badanie nieliniowego zagadnienia Hilberta-Hasemana 39

spełniają warunek Hóldera w następującej postaci

(18) \h(ti)-h(t)\ ( h , U L , к = 1 , 2,3 ,4 ) a ponadto nierówności

(19) \Ik(t)\< nM9+ 0 ' kK „ (UL, k = 1 ,2 , 3, 4) gdzie stałe Gk i Gk nie zależą od funkcji <p.

D o w ó d . Mamy Ii ? [ / ? ( * ) ]

r— a(t) dr oraz ¥(*)

t— a ( r ) dr.

Wobec przyjętych założeń, funkcja <p[P(r)] spełnia warunek Hóldera

\<р1Р(Тг)]-<р1Рт G■ К^ф\г-^— т| ф, gdzie G jest stał^ niezależny od cp.

Ponieważ funkcja a(t) spełnia warunek Lipschitza, więc na mocy znanego twierdzenia Priwałowa (np. [5], str. 11-15), całki Ii_(t), I 2(<), I 3{t) oraz Z4(t) spełniają warunek (18).

Nierówności (19) wynikają bezpośrednio z następujących przed

stawień :

Ii y [№ )]-ffH a (*))l

t— a(t) dr -j—<p (t) ^ dr r— a(t) ’

h <plfHrn-<p[P(t)]

r — t dr-\-<p[(t{t)] j L

dr r — t’

r <р(*) — <р1ФУ] л , г , łX1

Г

h(t) = --- гг---dr + (p[a(t)]

J r - a t ) J

dr a(t) ’

I i i t ) = f l i l t = l ^ L d T + v { t } f ^

J r — t у r — t

I/ Li

przy czym pierwsze z całek występujących po prawych stronach mają osobliwości słabe, zaś

c.n.d.

/

dr r — t _L/

dr

r— a(t) 7ii,

Jądro N( t ,r ), określone wzorem (6), można przedstawić w postaci

(2 0 ) N(t ,r)

gdzie oznaczono

i F(t, r) — F(t,t)

2^tt ^t— t

(2 1 ) F(t, r) « ( T) / ( M ) ’

df

Ж =

a(t)— a(r) t— T

a'(t)

dla dla

Г t,

r — t.

(6)

40 W. Żakowski

Ponieważ funkcja a(t) ma pochodną spełniającą warunek Hóldera (9), więc funkcja f ( t , r) spełnia warunek Hóldera względem obydwu zmien

nych

I M , n ) - / ( < , T)| < |r1- T | ',«],

gdzie B0 jest stałą dodatnią. Ponadto, f ( t , r ) Ф 0 , więc, na podstawie znanych własności funkcji hólderowskich, funkcja F(t, r) spełnia waru

nek Hóldera względem obydwu zmiennych

(22) |#(*1,т ,)-.Р (< ,т )| < В Х [| * 1-*|',;+|т1-г | '>«], gdzie В jest stałą dodatnią.

Własność (22) pozwala przedstawić jądro (20) w następującej postaci

(23) N(t, r) =

t\l - f t a /2

gdzie funkcja N*(t, r) spełnia warunek Hóldera względem obydwu zmien

nych

(24) \N* (tx, t,) - N * ( t , r)| < BXK [|/x - 1|^2 -H r, - r|A> ] , przy czym B x jest stałą dodatnią (np. [5], str. 51-53).

Z powyższego przedstawienia klasycznego twierdzenia dotyczącego regularności rozwiązań równania Predholma z osobhwością słabą (np. [6], str. 212-214, lub [5], str. 54-55) oraz znanego faktu, że równanie jedno

rodne

(25) J N (t , t)p(x)dr = 0

L

ma, w interesującej nas klasie funkcji, jedynie rozwiązanie zerowe (np.

[6], str. 575) wynika następujący

Lemat 2. Jeżeli spełnione są założenia l° -4 ° oraz 6°, to funkcja %{t) , będąca jedynym ciągłym rozwiązaniem równania (5), spełnia na krzywej L warunek Hóldera z wykładnikiem \h'a

(26) 1М ) - М 1 < а д - « | ' ° 2, gdzie K x jest stałą dodatnią.

Z powyższego lematu, oraz wspomnianego wyżej twierdzenia Priwa- łowa wynika, że wartości brzegowe rozwiązania kanonicznego (3) speł

niają na krzywej L warunek Hóldera

(27) |X± ((1) - X ± (« )K iC x |«l -<|'l>

oraz, z racji spełniania warunku Lipschitza przez funkcję a(t), warunek (28) 1* ± [ а ( У ] - * ± 1> Ш

gdzie K x jest stałą dodatnią.

(7)

Rozwiązanie równania (17) metodą Schaudera. Wobec własności rów

nania jednorodnego (25) możemy na podstawie pierwszego twierdzenia Fredholma twierdzić, że równanie (17) jest równoważne następującemu równaniu

(29) <p( ł ) = T 0 (0] + / 97(0 t)T [ < p ( r ) ] d r ~ A Cę>(*)]?

L

gdzie T O ( 0 ] jest określone wzorem (17), zaś 97 (t, r) wyraża się w znany sposób przez jądra iterowane jądra N(t, r) i rezolwentę jądra ograni

czonego Np{t, t), p — 1 + [1/h'a] ([ж] oznacza tn część całkowitą liczby ж).

Równanie (29) rozwiążemy w oparciu o twierdzenie Schaudera:

jeżeli w przestrzeni Banacha operacja ciągła przekształca zbiór domknięty i wypukły na jego podzbiór zwarty, to istnieje punkt niezmienniczy tej operacji.

Rozważmy w tym celu przestrzeń funkcyjną Л złożoną ze wszyst

kich funkcji zespolonych ciągłych na krzywej L. Dodawanie i mnożenie przez liczbę punktów tej przestrzeni określamy w zwykły sposób:

(30)

cm

<)]+ [лм] = ifiW+мт, «[/w] = [«/«л-

Normę ||t/|| punktu V = [/(«)] określamy następująco

(31) II oil = sup!/(«)!,

UL

zaś odległość dwóch punktów U i V określamy jako normę ich różnicy.

Wiadomo, że A jest przestrzenią Banacha.

Rozważmy następnie zbiór Z er Л, złożony ze wszystkich tych punktów U = O (OL które spełniają warunki

(32) \<p(t)\ < Q oraz W(tx)~p(t)\ < *|<i — t\ha,i

gdzie q i к są to stałe dodatnie, które będą niżej odpowiednio dobrane.

Zbiór Z jest oczywiście domknięty i wypukły.

Poddajemy zbiór Z następującemu przekształceniu całkowemu

(33) W{t) = A O ( 0 L

przy czym operacja A określona jest tożsamościami (29) i (17).

Zbiór punktów 0 (0] oznaczamy przez Z'.

FTa podstawie założenia 5° i lematu 1 możemy twierdzić, że prze

kształcenie (33) przyporządkowuje każdemu punktowi [<p(t)]eZ określo

ny punkt 0 ( 0 ] eZ', gdy stała B0 jest dostatecznie duża, a mianowicie

l i C ' \

R 0 M x |2f> + « + 2 M PJ,

(34)

(8)

42 W. Żakows ki

M x = max (sup |X+ (ż)|, sup|X“ (ż)|), Mp = sup\P(t)\, -

UL UL UL

C'0 = max C'k, 1<Л<4

zaś stałe C'k, к = 1 , 2 , 3 , 4 , występują w tezie lematu 1 .

Lemat 3. Zbiór Z ' jest podzbiorem zbioru Z, jeżeli stała K F jest dosta

tecznie mała, zaś stała B0 dostatecznie duża.

D o w ó d . Oznaczając

Mg = sup \g(t)\, mx = min (inf \X+ (t)j, inf \X~ (<)|),

/f T^j ięJjj fęlj

(36) i r n i

= sup \F(t, щ, u2, u3, w4)|, = sup J |vl(J, r)|dZJ, mamy, wobec (17), (29) i (33), ocenę następującą

(37) \V ( t ) \ * Z ( l + M „ ) \ M p +

Zauważymy następnie, że funkcja ip(t) spełnia zależność (38) ip(t) =

J

N{t, T)y(T)dr + 'J[(p(t)].

L

Wobec własności jądra N(t, r), wyrażających się wzorem (23) i wa

runkiem (24), oraz znanego lematu o hólderowskiej ciągłości całki funkcji słabo-osobliwej (np. [5], str. 54), otrzymujemy korzystając z oceny’ (37) nierówność

(39) j j X ( t 1, r)xp(r)dr— J N (t, r)yj(T)dr\ <

L L

\ % /

gdzie 1) jest stałą dodatnią.

Ponadto, biorąc pod uwagę (12), (17), (18), (19), (27), (28) oraz (32), otrzymujemy ocenę

(40) <

gdzie oznaczono

Mg + M Ą mx I

< \ X 9 + M g K X -\- I ) 1 K g J r d ) 2K F m x -\- K X M F

mx

h + MvKx+ K pMxD3j] X

(9)

gdzie oznaczono

D x = wjcsnp \tx — t\h° ha/2, D2 — supjtt — t\hF h°12,

UL UL

(41) max sup P ( h ) - №

tx—t CQ = maxOjt, K p

KI2 , sup

łx,UL

a(tx) — a(t) |л“/2

sup

tx—t

\p(h)-F(t)\

l

h>t*L \tx — t\ha/2

Na podstawie (29), (33), (38) oraz uzyskanych ocen (37), (39) i (40) stwierdzamy, że funkcja xp{t) spełniać będzie warunki (32) (a więc zbiór Z' będzie podzbiorem zbioru Z), jeśli stałe zagadnienia spełniają następujące nierówności

(42) (43) D ( l + Mn)

(1 + Jfgj) MPĄ- MgĄ- Mp

mx i

Mg-\-MF \ MgK x -\- D xK g-\- D 3K Fmx -\- K XMF I ~f~ J\. p H" ' 2

mx 1 mx

2Kf l n „ , „ , /r , D 3C0MX + C ' K X

\%qK-x^- ---x-

mx мрк х+ к рмхпл^х,

a ponadto nierówność (34). Ponieważ wybór stałych x i q jest dowolny, więc można zawsze dobrać tak duże q = q0 aby spełniony był warunek (42), a następnie tak duże x = xQ aby spełniony był warunek (43), jeśli tylko współczynnik K F jest dostatecznie mały, a mianowicie

(44) К F <C 7imx

2 [ M x P ^ + C0) + K^C[] •

Warunek (44) zapewnia zatem istnienie takich par (q,x), które spełniają układ nierówności (42) i (43). Wśród par tych znajdują się i ta

kie, które spełniają nierówność (34), jeśli tylko stała E0 jest dostatecznie duża, a mianowicie 45

(45) B0 > МрМ х + Мх {1 + Мъ) + GqMx

2 n d D 4 4 K XK F

mx (1 IM. Mg-\~MF \T

% /4 gdzie oznaczono

(46) 0 = 1 - 2KF(nDaMx + D aC0Mx + C'0K X) nmx

6X = K p-\-MgK x -\r D xK g-\- D 3K Fmx -\- K XM F 2 K F

mx mx (MpK x -\- K PM XD 3) ,

(10)

44 W. Żakowski

Warunek (45) wynika z elementarnych rozważań geometrycznych.

Jeśli więc spełnione są warunki (44) i (45), to można zawsze tak dobrać stałe q i x aby spełnione były nierówności (42), (43) i (34), co uczyniwszy możemy twierdzić, że zbiór Z' jest podzbiorem zbioru Z , c.n.d.

Lemat 4. Przekształcenie (33) jest ciągłe.

D o w ó d , Mech { TJm} będzie dowolnym ciągiem punktów Um =

= [ę?w(£)] zbioru Z, zbieżnym według normy (31) do pewnego punktu U = [<p(t)] tego zbioru, a więc

(47) lim [sup!<pm(t) — ę>(<)|] = 0.

Wi—>oo teL

Mamy dowieść, że ciąg punktów przekształconych { V m}, Vm —

= OmWL gdzie ę m(t) = A[ę?m(0] jest zbieżny według normy (31) do punktu V = [>(£)], przy czym y>(t) = A[ę>(<)].

Wobec (29), mamy (48) \y>m{t) — y>{t)\ <

< |T T [ę>(0]|4- | / ^ ( < , r ) { l [cpm{r)]— l [<p(r)]}dr\,

L

a następnie, wobec założenia 5°, (49) — T|>(t)]| <

ШX&F

2mx 2 [fp-mił) 4* /

<Рт(т) — <р(г)

a (r)dr 7Г / o(r ) — a{t) ^4~

+ \ < P m l№ \ -9lP m + F -

<Pm[P(T)] — <p[P(r)]

X— t dr + |ę>m[a(t)] — 9?[a(t)]| + J ^<Pm[a (r)]-<p[a(r)] ^| ¹

---a (r)dr M ---

a(r)— a(t) ; rz \z

(pm(r)-(p(r) r — t dr

Mech e > 0 będzie liczbą dowolną. Wobec założenia (47), istnieje taka liczba M e > 0, że dla każdego m > M E i każdego teL, zachodzi nierówność

(50) lł>„(<)-?>№ l< ,

gdzie W jest stałą dodatnią, W > 1, którą określimy niżej. Stąd (51) 2 |ę»m(i)—V» Wl-h l9»m [/? (<)]—^ ti» (<)]! + lę»« [«(*)]—ę» [a(*)]l <

(bez zmniejszenia ogólności można oczywiście przyjąć e < 1 ).

(11)

Pierwszą z całek stojących po prawej stronie (49) przedstawimy w postaci następującej sumy

(52) = f

L

(pm(r)-(p(r)

a(r ) — a(t ) a' (r ) d r = J

L

y m [ j 8 ( T ) j - y [ / g ( T )]

r — a(t) dr =

Г <pmlP(r)] — (Pm(t) ^ f 99(^) — 9 ? [/9 (t) ]

J

^t

—

^a(£)

J

^{r —a(£)}

i- ^<^{P m lP}⁽^r^{)] — <}^Pm⁽^t⁾

L-L' ^t^{— a}(t) ^{- d r} +

J

L-L'

<p(t) — <p[P(r)]

— a{t) ^dr

Г 9>m(t) — ę>(t)

J r — a(t)

Kolejne całki stojące po prawej stronie powyższej tożsamości, oznaczamy odpowiednio przez I (2)(ż), I^(t), I w (t) i I (o)(ż).

Niech L' oznacza tę część krzywej L, która leży wewnątrz koła o środku w punkcie a(t) oraz promieniu

(53) ' Kja

*° 4xW

\ 2/Ла

gdzie a0 = in f |a#(<)| > 0 .

^eZi

Oczywiście, można zawsze przyjąć, że e jest na tyle małe, aby koło powyższe wycinało z krzywej L jeden luk L', niezależnie od położenia punktu a(t)e L. xo > 0 oznacza kres dolny stosunku długości cięciwy do długości odpowiadającego jej łuku na krzywej L.

Mamy następnie

(54) |/< »«)| < f

L'

• *\P(r) - t\K li dl Г P l a m c a <

\r—a(t)\

L' I* — «(01 r°r° dl _ e

^ a-oXo J i}-K!2 W dla każdego naturalnego m. Podobnie

(65) |/(2)(0 I < W

Całki J(3) (t) i I (4)(ź) potraktujemy łącznie (56) \I(z)(t) + I^(t)\ <

J <Pm[P(T) ] - <p[(3⁽^T^)]

I L-L' ^r— a(t) ^{d r} + \<P(t) — <Pm{t) | ^C ^dr

L-L' r—a(t)

2S i e \(2+л«)/л“

^ rQ \ W l = W x W ’

(12)

46 W. Ż akows ki

dla m > M sy gdzie 8 oznacza długość krzywej L, zaś

(67)

Ponadto mamy

28 I \2Jh'a Xo \ XoK<*o I

(58) |I<5)(*)| < тф/ТГ)(2+А“)/А“ < тс(e/W).

Kojarząc oceny (54), (55), (56) oraz (58), otrzymujemy ostatecznie

(59) 1

7Г _L/

<Pm(r) — <p(r)

a(r) — a(t) a' (r)dr dla m > Me,

gdzie %W'X — Wi + 2 + тг. Ponieważ ocena (59) jest niezależna od teL, więc druga z całek stojących po prawej stronie (49) spełnia także, dla M > Ms, nierówność

(60⁾ f f m [ f t ( T ) ] — у [ / ? ( т ) ]

T — t dr < w ; ^E

W '

Oceny pozostałych całek stojących po prawej stronie w nierówności (49) przebiegają podobnim Dla oceny czwartej z nich, J (4) (^) } przedsta

wiamy ją następująco

(6i ) f ^ - (T)- - g -Q - д , =

J r —i

L

__ Г <Pm(t) — <Pm{t) d Г У(т) ^

J

r —

J

^{T —}/

+

/

^{9)m(^)}^{T —}^{9^m(^)}^t ^{dr-\- J} (p{t) — <p{r)

dr -f* tpmify (0

t— i

ЙТ,

L—L ' L~Lt Ij

gdzie i ' , podobnie jak poprzednio, oznacza tę część krzywej L , która leży wewnątrz koła o środku w punkcie t oraz promieniu

(62) eo _ / к y ^

Г ° 4» f f 7 '

Jak poprzednio, przyjmujemy, że e < 1 jest na tyle małe, aby koło powyższe wycinało z krzywej L jeden łuk. Badając całki stojące po pra

wej stronie (61) identycznie jak poprzednio, otrzymujemy ostatecznie ocenę

(63) ^{3 j} Г <Рт{т) — <Р(г)

TV J г —t

L

dr I < W[

W 7

gdzie иW[ = TTi+2 + тг, przy czym Wx wyraża, się wzorem (57). P o

nieważ ocena (63) jest słuszna dla każdego m > Me i każdego teL, więc

(13)

identyczną ocenę ma także trzecia z całek występujących po prawej stronie (49).

Wobec (49) oraz uzyskanych ocen (51), (59), (60) i (63), mamy zatem

(64) \ii<pm( t ) ] - n < p m < w 0~

dla każdego teL oraz m > Ms, gdzie

'ŹJH XK. jp , (65) W0 = ---± - L ( i + w't).

mx

Na podstawie (48) mamy więc, przyjmując W ~ m a x [l, W0(l + lf^ )], (66) sup №„»($) —y>($)| < e

UL

dla każdego m > Me, c.n.d.

Zbiór Z' jest zwarty na mocy kryterium zwartości Arzeli, gdyż funkcje y(t) są wspólnie ograniczone, \y>(t)\ < q, oraz jednakowo ciągłe, z racji spełniania przez nie warunku Hóldera

М У — v(*)l

W ten sposób spełnione są wszystkie założenia cytowanego wyżej twierdzenia Schaudera, a więc istnieje co najmniej jeden punkt nie

zmienniczy [ę?*(<)] = U* względem przekształcenia (33). Ponieważ zbiór Z jest domknięty, więc U* c Z , a zatem funkcja y*(t) spełniająca równa

nie (29), oraz równoważne mu równanie (17), spełnia warunek Hóldera.

Podstawiając funkcję y* do wzoru (2) otrzymamy rozwiązanie posta

wionego zagadnienia nieliniowego.

Możemy więc wypowiedzieć następujące

Tw ie r d zen ie. Jeżeli spełnione są założenia l°-6 °, a ponadto wa

runki (44) i (45), to istnieje co najmniej jedna funkcja 0{z) holomorficzna oddzielnie w obszarach S+ i 8~, której wartości brzegowe spełniają warunek brzegowy (8). Funkcja ta wyraża się, wzorem (2), gdzie у (t) oznacza rozwią

zanie równania całkowego (17) w klasie funkcji spełniających warunek Hóldera, X(z) jest rozwiązaniem kanonicznym zagadnienia jednorodnego {przypadek g{t) = 0, F = 0), zaś P(z) wybraną funkcją całkowitą.

Zauważymy, że jeśli indeks zagadnienia v, określony wzorem (4), jest nieujemny, to przyjmując w miejsce P(z) wielomian stopnia v — 1 {P{z) = 0 dla v = 0) otrzymamy ze wzoru (2) rozwiązanie znikające w nieskończoności. W przypadku v < 0, rozwiązanie takie można uzys

kać także ze wzoru (2) przyjmując P(z) = 0, ale pod warunkiem, że równanie całkowe (17), po podstawieniu P{t) = 0, ma takie rozwiązanie y0{t), które spełnia następujące warunki

(67) J rky0{r)dr — 0, dla fc = 0, 1 , 2 , . . . , —v — 1 .

(14)

48 W. Ż a k o w s k i

To właśnie rozwiązanie należy wówczas podstawić do wzoru (2).

Podobnie, a więc tak jak dla zagadnienia liniowego, przebiega dys

kusja dotycząca istnienia rozwiązań ograniczonych, względnie mających określony rząd w nieskończoności, która wynika ze wzoru (2). Oczywiście, dyskusja ta wymaga spełnienia przyjętych założeń l ° -6° oraz warunków (44) i (45), z których ostatni wiąże się z wybraną funkcją całkowitą (a więc w tym przypadku odpowiednim wielomianem) P(z).

Prace cytowane

[1J C. H a s e m an, Anwendung der Theorie der Integralgleichungen auf einige Randwertaufgaben, Gottingen 1907.

[2] Д. А. К в е с е л а в а, Решение одной граничной задачи теории функций, Докл. АНСССР, 63, (8), (1946), str. 683-686.

[3] — Некоторые граничные задачи теории функций, Гр. Твилисск. матем.

ин-та А Н ГрузССР 16 (1948), str. 3 9 -9 0 .

[4] Ф. Д. Г а х о в, Краевые задачи, Москва 1958.

[5] W . P o g o r z e ls k i , Równania całkowe i ich zastosowanie, tom 111, W ar

szawa 1960.

[6] H. И. М у с х е л и ш ви ли, Сингулярные интегральные уравнения, Москва 1962.

W . Ża k o w s k i (Warszawa)

IN V E S T IG A T IO N OF T H E H IL B E R T -H A S E M A N N O N -L IN E A R PROBLEM B Y S C H A U D E R ’S M E TH O D

S U M M A R Y

The author investigates the Hilbert-Haseman boundary problem with the non

linear boundary condition (8). The problem is reduced to the solution of the inte

gral highly-singular equation (17), equivalent to equation (29). Equation (29) is solved by a topological method based on Schauder’s theorem on the invariant point.