(1)dr Krzysztof ›yjewski In»ynieria Przetwórstwa ›ywno±ci

dr Krzysztof ›yjewski In»ynieria Przetwórstwa ›ywno±ci; S-I⁰.in». 11 stycznia 2019

Legalna ±ci¡ga kolokwium 2

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodatkowych informacji.

Symbole nieoznaczone: ^∞_∞, ⁰₀, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰. Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:

a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

∞ = 0, −∞ < a < ∞ ₀^a+ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁺ = −∞, −∞ ≤ a < 0 ₀^a− = −∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁻ = ∞, −∞ ≤ a < 0

a^∞= 0, 0⁺≤ a < 1 a^∞= ∞, 1 < a ≤ ∞

∞^a= 0, −∞ ≤ a < 0 ∞^a= ∞, 0 < a ≤ ∞ Podstawowe wzory:

1) (f ± g)⁰(x0) = f⁰(x0) ± g⁰(x0);

2) (f · g)⁰(x₀) = f⁰(x₀) · g(x₀) + f (x₀) · g⁰(x₀);

3) ^f_g
0

(x₀) = ^f0(x0)g(x_g⁰2^{)−f (x}(x0) ^0)g0(x0), o ile g(x0) 6= 0;

4) h

f (x)^g(x) i0

= f (x)^g(x)·h

g(x) · ln(f (x)) i0

. Pochodne funkcji elementarnych:

Lp. Wzór 1 Wzór 2 Uwagi

1. (c)⁰ = 0 c ∈ R

2. (x^α)⁰ = αx^α−1 (^α)⁰ = α^α−1 · ⁰ α ∈ R \ {0}

3. (√ⁿ

x)⁰ = ¹

nⁿ

√ xⁿ⁻¹

√n

0

= ^0

nⁿ

√

ⁿ⁻¹ n ∈ N \ {0, 1}; x > 0 4. (sin x)⁰ = cos x (sin )⁰ = (cos ) · ⁰

5. (cos x)⁰ = − sin x (cos )⁰ = (− sin ) · ⁰

6. (tg x)⁰ = _cos¹2x (tg )⁰ = _cos^2⁰ x 6= ^π₂ + kπ, k ∈ N 7. (ctg x)⁰ = −_sin¹2x (ctg )⁰ = −_sin^2⁰

 x 6= kπ, k ∈ N 8. (a^x)⁰ = a^x· ln a (a^)⁰ = a^· ln a · ⁰ a > 0 9. (e^x)⁰ = e^x (e^)⁰ = e^· ⁰

10. (ln x)⁰ = ¹_x (ln )⁰ = ^0

 x > 0

11. (log_ax)⁰ = _{x ln a}¹ (log_a)⁰ = _{ ln a}^0 a > 0, a 6= 0; x > 0 12. (arcsin x)⁰ = ^√_1−x¹ ₂ (arcsin )⁰ = ^√0

1−² |x| < 1 13. (arccos x)⁰ = ^√_1−x⁻¹ ₂ (arccos )⁰ = ^√−0

1−² |x| < 1 14. (arctg x)⁰ = _1+x¹ 2 (arctg )⁰ = _1+^02

15. (arcctg x)⁰ = _1+x⁻¹2 (arcctg )⁰ = _1+^−02

Rodzaj przeksztaªce« wykorzystywanych w obliczaniu granic za pomoc¡ reguªy L'Hospitala Rodzaj nieoznaczono±ci Stosowane przeksztaªcenie Otrzymana nieoznaczono±¢

0 · ∞ f · g = ^f1

g lub f · g = ^g1 f

0

0 lub ^∞_∞

∞ − ∞ f − g =

1 g−_f¹

1 f g

0 0

1^∞, ∞⁰, 0⁰ f^g= e^{g ln f} 0 · ∞

1

dr Krzysztof ›yjewski In»ynieria Przetwórstwa ›ywno±ci; S-I⁰.in». 11 stycznia 2019

K¡t przeci¦cia dwóch funkcji :

φ = arctan    

f⁰(x₀) − g⁰(x₀) 1 + f⁰(x₀) · g⁰(x₀)

    . W przypadku gdy 1 + f⁰(x0) · g⁰(x0) = 0 to styczne te s¡ prostopadªe.

Równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie (x0, f (x₀)) : y − y0= f⁰(x0)(x − x0).

Równanie prostej normalnej do wykresu funkcji f(x) w punkcie (x0, f (x₀))o ile f⁰(x₀) 6= 0 : y = −_f0(x¹0)· (x − x₀) + f (x0).

Wzór na przybli»on¡ warto±¢: f(x) ≈ f(x0) + f⁰(x₀)(x − x₀).

Lp. Wzór Uwagi

1. R dx = x + c

2. R adx = ax + c

3. R x^αdx = _α+1¹ x^α+1+ c α ∈ R \ {−1}

4. R sin xdx = − cos x + c

5. R cos xdx = sin x + c

6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6= ^π₂ + kπ, k ∈ N

7. R ctg xdx = ln | sin x| + c x 6= kπ, k ∈ N

8. R sinh xdx = cosh x + c

9. R cosh xdx = sinh x + c

10. R ₁

cosh²xdx = tgh x + c

11. R ₁

sinh²xdx = − ctgh x + c

12. R a^xdx = _{ln a}¹ a^x+ c a > 0

13. R e^xdx = e^x+ c

14. R ₁

xdx = ln |x| + c x 6= 0

15. R ₁

cos²xdx = tg x + c x 6= ^π₂ + kπ, k ∈ N

16. R ₁

sin²xdx = −ctg x + c x 6= kπ, k ∈ N

17. R ₁

√a²−x²dx = arcsin^x_a + c a 6= 0

18. R ₁

a²+x²dx = ¹_aarctg^x_a + c a 6= 0

19. R _{√ 1}

x²+adx = ln x +√

x²+ a

+ c a ∈ R

20. R ₁

a²−x²dx = _2a¹ ln ^a+x_a−x

+ c a > 0, |x| 6= a

21. R _f⁰_(x)

f (x)dx = ln |f (x)| + c

22. R ₁

ax+bdx = ¹_aln |ax + b| + c

23. R cosⁿxdx = _n¹ sin x cosⁿ⁻¹x + ⁿ⁻¹_n R cosⁿ⁻²xdx n ≥ 2 24. R sinⁿxdx = −_n¹ cos x sinⁿ⁻¹x + ⁿ⁻¹_n R sinⁿ⁻²xdx n ≥ 2 25. R √

x²+ adx = ¹₂x√

x²+ a +^a₂ ln |x +√

x²+ a| + c

26. R _dx

(x²+1)ⁿ = _2n−2¹ _(1+x^x2)ⁿ⁻¹ +²ⁿ⁻³_2n−2R ₁

(1+x²)ⁿ⁻¹dx n ≥ 2

27. R √

a²− x²dx = ^a₂² arcsin_|a|^x +^x₂√

a²− x²+ c

Wzór na caªkowanie przez cz¦±ci:R f(x)g⁰(x)dx = f (x)g(x) −R f⁰(x)g(x)dx.

Inne przydatne wzory:

a) sin 2α = 2 sin α cos α, b) cos 2α = cos²α − sin²α, c) sin²α = ^1−cos₂^2α, d) cos²α = ^1+cos₂ ^2α,

e) sin α + sin β = 2 sin^α+β₂ cos^α−β₂ , f) sin α − sin β = 2 sin^α−β₂ cos^α+β₂ , g) cos α − cos β = −2 sin^α+β₂ sin^α−β₂ , h) cos α = sin ^π₂ − α

i) a²− b² = (a − b)(a + b), j) a³± b³ = (a ± b)(a²∓ ab + b²).

2