Ćwiczenia nr 9, AM II, 17.11.2017 Zadania drużynowe Zadanie 1. Wyznaczyć wektory styczne do zbiorów
(a) {(x, y) : y2¬ x3} w punkcie (0, 0),
(b) {(x, y, z) : |x| + |y| = z2− z} w punkcie (0, 0, 1).
Zadanie 2. Znaleźć punkty zerowanie się gradientu funkcji f i wyjaśnić, w których z nich ma ona lokalne minima, maksima, a w których nie ma lokalnego ekstremum.
(a) f(x, y, z) = x +4yx2 +zy2 +2z, (b) f(x, y) = −x4+ y4+ 4x2y− 2y2.
Zadanie 3. Utożsamiamy przestrzeń macierzy Matn×n(R) z Rn2; I = diag(1, . . . , 1) ∈ Matn×n(R) jest macierzą identyczności, GLn(R) ⊂ Matn×n(R) oznacza grupę macierzy odwracalnych. Obliczyć
(a) D(X,Y )f(A, B), gdzie f : Matn×n(R) × Matn×n(R) → Matn×n(R), f(A, B) = A · B jest iloczynem macierzy.
(b) D(X,Y )f(I, I), gdzie f : Matn×n(R) × GLn(R) → Matn×n(R), f(A, B) = A2B−1.
W powyższych przykładach proszę uzasadnić, że f jest przekształceniem różniczkowalnym i opisać róż- niczkę jako przekształcenie liniowe.
Zadanie 4. Wyznaczyć kres górny i dolny funkcji f(x, y, z) = 6xy − 3xz − 2yz na zbiorze A = {(x, y, z) : 0 ¬ x, y, z ¬ 1}.
Zadanie 5. Niech A = {(x, y, z) : x2+ y + z = 1}.
(a) Wyznaczyć wszystkie punkty (x, y, z) ∈ A, w których wektor [1, 1, 1] jest styczny do A.
(b) Czy istnieje prosta przechodząca przez (0, 0, 0) i prostopadła do A w jakimś jego punkcie?
