Der Bauingenieur : Zeitschrift für das gesamte Bauwesen, Jg. 5, Heft 9

DER B A U I N G E N I E U R

5. Jahrgang 15. Mai 1 9 2 4 Heft 9

ÜBER DIE BIEGU NG EINER RECHTECKIGEN PLATTE V O N UNGLEICHER BIEGUNGSSTEIFIGKEIT IN DER LÄNGS- UND QUERRICHTUNG BEI EINSPANNUNGSFREIER STÜTZUNG DES RANDES.

(MIT BESONDERER BERÜ C K SIC H TIG U N G DER KREUZWEISE BEWEHRTEN BETONPLATTEN.) Von Professor Dr.-Ing. M. T. Huber, Lemberg.

Ü b e r s i c h t : E inige spezielle A nw endungen d er im ,.B au in g en ieu r"

(H e ft 12 u. 13) d arg estellten allgem einen Theorie des V erfassers1).

S trenge L ösung fü r die sinusförm ige B elastung und N äherungslösung für gleichm äßige B elastung. A bschätzung der Z unahm e d er W id er­

stan d sfäh ig k eit infolge des H inausragens der P la tte n rä n d e r. D ie B e ­ dingungen des A u ftreten s n e g a tiv e r B iegungsm om ente u n d d er E c k ­ reak tio n en . D ie K ritik a m tlic h e r B estim m ungen u n d einiger Form eln.

Allgem eine strenge L ösung d u rch d o p p elt unendliche R eihen. Die B iegungsbeanspruchung einer P la tte n d e c k e infolge der B elastu n g du rch eine Zwischenw and.

§ 1. S t r e n g e L ö s u n g f ü r d i e s i n u s f ö r m i g e B e l a s t u n g . W i r la s s e n d ie R e c h te c k s e ite n a u n d b (A b b . i ) m i t d e n K o o r d in a t e n a c h s e n O X u n d O Y z u s a m m e n f a lle n u n d n e h m e n

! d ie e in f a c h e F u n k t i o n AS a-

i -

- J X

A bb. 1.

f in d e t m a n

a ls G le ic h u n g d e r e n ts p r e c h e n d e n B e la s t u n g s f l ä c h e 2).

S ie h a t d ie F o rm

. jt x . nv

: Po s i n sin

1 a b

u n d i s t d u r c h d ie A n g a b e v o m m a x im a le n D r u c k in d e r P l a t t e n ­ m i t t e p 0 v o ll s t ä n d ig b e s t im m t . . D a r a u s f o l g t a u c h d e r A u s ­ d r u c k f ü r d e n B ie g u n g s p f e il:

a 2 t >2 P o ____________

f = /b-ä

b x4 - 2 H

+ S B>) F ü h r t m a n d ie B e z e ic h n u n g e n

, u n d _ | _ = T1

e in , so n i m m t d ie o b ig e F o r m e l fo lg e n d e G e s t a l t a n :

1 e4 Po b 4

f ;

F ü r d ie M o m e n te u n d Q u e r k r ä f t e e r h a l t e n w ir n a c h d e n G le ic h u n g e n (io ) d e r a llg e m e in e n T h e o r ie d ie F o r m e l n :

M , = rt- B, ( *., + ' r -J f sin 31 x sin Ä-- ' \ a - m .,b 2/ a b M , = :

D :

jt- B 2 ( — i— T -f- M f sin i- — s i n -¡7+

\n ij a-1 b 2/ a b

_ f j i x jty

■2j t ' L —r- COS COS ~

a b a b

v ' = “’[ | i + p d l + 2 c ) ] i c” t sl" Y

| = rf[ i ( | + 4 4 + p ] i r il

itx jty sin — c o s 1

a b

(18)

- r . a x . jt y

9 zz f sin — sin

a b

w e lc h e d e n G re n z b e d in g u n g e n

g zz o fü r x zz o, x zz a ; y zz o, y zz b u n d

9H 32t _ 9x2 — ° ’ 9y 2 — ° . s o m it M j zz o, zz o f ü r x = o , x z z a ; y = o, y z z b

g e n ü g t, a ls G le ic h u n g d e r B ie g u n g s f lä c h e a n . N a c h d e m E i n ­ s e tz e n in d ie D if f e r e n tia lg le ic h u n g d e r B ie g u n g s f lä c h e :

B f + 2 H + ß , zz p . . . .

9 x2 9x 29y 2 “9y 4 1 • 2 H . B 2\ r Jt x . Jt v

—rrr, + tv ) f Sill ---- Sill zz p

a 2 b 2 1 b 4/ a b 1

(13)

D ie je n ig e n A u f la g e r r e a k ti o n e n , w e lc h e m i t d e n Q u e r- k r ä f te n a m R a n d e id e n t is c h s in d , b e r e c h n e n s ic h z u :

Ri .= ” ( v ,)x = o = (V i)x a

= ~ *3 [ § + ¿2 ( | + 2C) ] a si"

T

fü r d ie P la tte n r ä n d e r v o n d e r L ä n g e b u n d . . (19)

= - ” U ( 5 : + 2C) +

s

!] U ' “

t f ü r d ie R ä n d e r a . I h r e R e s u ltie r e n d e

n b

2 r - ' j

1/ + dx+ A d y = * abf ü + S + s f ) =

- »

- »

0 0

Po

h e b t s ic h z w a r m it d e r G e s a m tb e la s tu n g

r .1)

- J j Po sin T Sin "b d x d y zz -T a b po 0. 0

(a)

a u f , d a a b e r d ie V e r d r e h u n g s m o m e n te D a m R a n d e n i c h t v e r s c h w in d e n , so m ü s s e n n o c h Z u s a tz .r e a k tio n e n a u f t r e t e n , w e lc h e f ü r s ic h e in G le ic h g e w ic h ts s y s te m b ild e n . S ie b e s te h e n n a c h e in e m S a tz e v o n K e l v i n u n d T a i t 1) a u s d e n lä n g s d e s R a n d e s v e r t e il te n Z u s a tz r e a k ti o n e n v o n d e r G rö ß e

R . z z — f ür d ie S e ite n h,

1 I 0 y / , = o V9y ) x; a

m ,

« )

' y.~ 0 v V A /J' t•’ b u n d d e n k o n z e n tr ie r te n E c k k r ä f t e n

f ü r d ie S e ite n a,

Jt4 £4-}-2 E2 Tl-f- I B 2

D ie G rö ß e e so ll d a s r e d u z i e r t e S e i t e n v e r h ä l t n i s u n d T) d i e P l a t t e n s t e i f i g k e i t s z a h l g e n a n n t w e rd e n .

') Man vergleiche auch „D ie G rundlagen einer rationellen Berechnung der kreuzweise bew ehrten E isenbetonplatten“ , Zeitschrift des österr. Ing.- untl Arcb.-Vereines 1914, N r, 30.

-) W egen Raum ersparnis w erden überall d ie meisten Zwischen­

rechnungen weggelassen; alle abgeleiteten Form eln wurden aber a u f m ehr­

fache W eise kontrolliert, so daß sie höchstens Druckfehler aufweisen können.

Bau 192t.

R = — 2 ( D ) : 2 (D ) — 2 (D ) : 2 ( D ) zz 4 .jt2 C

a b :

X — 0

y ~ 0 X=r0

y = b y = b

d ie n a c h u n t e n g e r i c h t e t s in d . L e t z t e r e k ö n n e n in k o n k r e te m F ä ll e n , w o d ie P l a t t e n r ä n d e r ü b e r d ie A u f la g e r g e r a d e n h in -

3) Erschöpfende Darstellung dieses wichtigen Satzes der Plattentheorie findet der L eser in der bekannten Nädaischen M onographie (Forschungs­

arbeiten, herausgegeben v. V. D. I., Heft 170, I71).

19

26 0 H U B E R , Ü B E R D IE B IE G U N G E IN E R R E C H T E C K IG E N P L A T T E U S W . D E ll B A U IN G EN IE U R 1924 H E F T 9.

a u s r a g e n m ü s s e n , d u r c h s t a t i s c h g le ic h w e rtig e u n d in d e r N ä h e v o n E c k e n v e r t e il te B ie g u n g s m o m e n t e 'u n d K r ä f t e a u f u n e n d ­ lic h m a n n ig f a c h e W e is e e r s e t z t w e rd e n . D ie G e s a m t r e a k t io n e n w e rd e n a ls o d u r c h fo lg e n d e F o r m e ln d a r g e s t c l lt :

r ,

= r ; + k ; = _ . , » [ ? 1 + a ( | + 4c ) ] > f (d ie sp e z ifis c h e A u fla g e rre a k tio n d e r R ä n d e r b)

, sin — f

b a

(20) r2 = R; + r; = - *3 [a g + 4 c ) + ® |]

(die sp e z ifis c h e A u fla g e r re a k tio n d e r R ä n d e r a) R = 4- 4 ii2 C —r (die E c k k ra ft)

a b

W ie m a n s ie h t, i s t d ie E x i s t e n z d e r E c k k r a f t d u r c h d i e V e r d r e h u n g s s t e i f i g k e i t b e d i n g t . S ie v e r s c h w i n d e t b e i b e lie b ig e r B e la s tu n g , w e n n C = o is t, sie w ü rd e d a h e r b e i B a lk e n n e tz e n , • w e lc h e d e r D if f e r e n tia lg le ic h u n g (15) d e r a l l ­ g e m e in e n T h e o r ie a lle rd in g s' n u r n ä lie ru n g s w e is e g e h o r c h e n , n i c h t a u f t r e t e n k ö n n e n . S e lb s t v e r s t ä n d l i c h i s t d ie E c k k r a f t b e i v o lls tä n d ig fr e ie r A u f la g e r u n g d e r P l a t t e a u c h a u s g e ­ s c h lo sse n , a b e r d a n n m ü s s e n s i c h u n t e r d e r B e l a s t u n g d i e P l a t t e n e c k e n a b h e b e n 4), w a s e in e k le in e V e r g r ö ß e r u n g d e s B ie g u n g s p f e ile s u n d d e r g r ö ß t e n B ie g u n g s m o m e n te , a b e r z ie m lic h b e d e u te n d e Ä n d e r u n g d e s C h a r a k te r s d e r B ie g u n g s ­ flä c h e u n d d e r V e r te ilu n g u n d G rö ß e d e r A u f la g e r r e a k ti o n e n n a c h s ic h z ie h t.

A u s (18) f i n d e t m a n , m i t B e r ü c k s i c h ti g u n g d e s v o r h e r ­ g e h e n d e n A u s d r u c k s f ü r f, f ü r d ie g r ö ß t e n W e r t e d e r B ie g u n g s - m o m e n te in d e r P l a t t e n m i t t e d ie F o r m e ln ;

M 1 max — '

■ + — l / - 1+ m 5 \ B , Pu a2 U m a x - t _|- 2 e‘D l + E4 a 2

. ■ ^ l / S

Mo max — ( £~ + m , } bQ pp ba 1 + 2 e2 11 + e4 a 2

• (21)

D ie g r ö ß te n A u f la g e r r e a k tio n e n u n d z u g le ic h d ie g r ö ß te n Q u e r k r ä f te ( a b s o lu t g e n o m m e n ) h e r r s c h e n in d e n M i t t e l ­ p u n k te n d e r R e c h te c k s e ite n |x y = 0; x = o, y = — J . I h r e W e r t e s in d n a c h G le ic h u n g (20);

I R11 max — — TT) ^' Po \ m 2__________________- -T j,

IR.

(a,+ m') B2 + 4 b2C

•2 I max — r ¡~Tj " I

B t + 2 H 4 - a ;-B .,

Pn

a 2 b 2

(22)

o d e r n a c h E in f ü h r u n g d e s r e d u z i e r te n S e it e n v e r h ä ltn is s e s £ u n d d e r P l a t te n s te i f ig k e i ts z a h l r;

I Ri l , . P o a

^ _

IR

I + 2 E 2 1 1 - f - E 4 .

>2 ., I 4- — l / —1

_ Pob r m , ( Bä

■2 ; n>ax — 1 ■ — ——

a I -j- 2 8- T) -j- £4 B e i d ie s e r U m f o r m u n g i s t d ie B e z ie h u n g

, 2 H :

b e n u t z t w o rd e n .

(2 2')

B l- + ^ + 4C

m.i ‘ m . (fßa)

4) Dieses Abheben der Ecken wurde von den Versucbsforschern schon oft beobachtet.

I m b e lie b ig e n P u n k t e d e r S e ite n b u n d a w ir d ;

R i = - Ri . s i n 2 2 - , R , = - | Ro L sin ^{Jt x} (23)

w o r a u s d ie W e r t e d e r G e s a m t b e la s tu n g R j u n d R , d e r A u f ­ la g e r g e r a d e n b u n d a d u r c h I n t e g r a t i o n b e s t i m m t w e rd e n . W i r b e k o m m e n :

R

D a

x = f R, d y = — ^ | R 1 lmax; R J = / R 2 d X = - 2^ | R 2|nlllx (24)

u 0

S c h lie ß lic h b e r e c h n e t s ic h d ie k o n z e n t r i e r t e E c k k r a f t z u :

4 a b P o C

^ - g - B l + 2 H + - g - B 2 o d e r m i t R ü c k s ic h t a u f d ie B e z ie h u n g ( 1 3 a ) :

K = Po a b

J t 2

211

1 ] / B'2 1 T/B|

m | r B , nio I B j

(25)

• • (25')

b2 + 2h+ . - ^

A u f G r u n d o b ig e r F o r m e ln la s s e n s ic h n ö ti g e n f a l ls a lle F e s t ig - k e it s b e r e c h n u n g e n e rle d ig e n .

§ 2. E i n e a n g e n ä h e r t e L ö s u n g i m F a l l e g l e i c h ­ f ö r m i g e r B e l a s t u n g

i s t b e r e i ts in d e m A u f s ä tz e d e s V e r f a s s e r s v o n 1914 b e h a n d e l t w o rd e n . S ie b e r u h t a u f d e r A n n a h m e , d a ß d ie s in u s f ö r m ig e B ie g u n g s f lä c h e a u c h f ü r d e n

F a l l d e r g le ic h fö r m ig e n B e la s t u n g n ä h e r u n g s w e is e g ilt, w o b e i d e r B ie g u n g s p f e il a u s d e r B e d in g u n g d e r G le ic h h e it d e r in n e r e n u n d ä u ß e r e n F o r m ä n d e r u n g s a r b e i t b e ­ r e c h n e t w ir d . E b e n s o l e i c h t l ä ß t sic h d e r e tw a s a llg e m e in e r e F a l l e rle d ig e n , b e i w e lc h e m d ie g le i c h ­ fö r m ig e B e la s t u n g a u f e in m i t d e m P l a t t e n u m r i ß k o n z e n tr is c h e s

R e c h te c k a b b e s c h r ä n k t i s t (A b b . 2). W ä h l t m a n j e t z t z w e c k ­ m ä ß ig d e n K o o r d i n a t e n u r s p r u n g in d e r P l a t t e n m i t t e u n d ä n d e r t d e m e n ts p r e c h e n d d ie G le ic h u n g d e r B ie g u n g s f lä c h e a u f ... (26)

Abb. 2.

«. r „ a x jt y g z z f c o s c o s - t4 -

a b

so fin d e t m a n :

9 uv T ■ a , ;t . b. u l , , a 2 b2 q sin -—1 sin r-1 -

16 1 | a 2 b 2 J

Ti** b 2 a2

~2 Bi + 3 H - f g 2 B2

(27)

o d e r n a c h E in fü h r u n g d e r G rö ß e n ^{e, ;}

, r . a , k . b , ,i

E 4 s i n — — sin , —

L a 2 b 2 J

e4 + 2 e2 11 - f 1 q b 4

bT (2 7’)

I m F a ll e e in e r v o ll s t ä n d ig e n B e la s t u n g i s t h ie r in d e r K l a m m e r ­ a u s d r u c k o f f e n b a r g le ic h 1 zu s e tz e n . D a n n i s t b e i g le ic h e n W e r t e n v o n f a u s d e r F o r m e l (27) u n d d e r e n ts p r e c h e n d e n F o r m e l im § 1;

_ _ 16 (28) Po - _ol q

w a s m a n a u c h n a c h A . N a d a i 5) a u s d e r B e d in g u n g d e s m ö g lic h s t g u te n A n s c h lie ß e n s d e r B e la s tu n g s f lä c h e p = p 0 cos cos — - a n d ie B e la s tu n g s f lä c h e p = q = c o n s t. a b l e i t e n k a n n , w e n n a ls M a ß s ta b e in e r m ö g lic h s t g u te n Ü b e r e in s tim m u n g d a s I n t e g r a l

I

. / / (

K X J t y

Po c o s — cos i j ' d x d y 5) S. 46 der zitierten Arbeit.

D ER B A U IN G EN IE U R

1924- H E F T 9. H U B E R , Ü B E R D I E B IE G U N G E IN E R R E C H T E C K IG E N P L A T T E U S W . 261

a n g e n o m m e n w o r d e n i s t . D i e w e i t e r e n z u r F e s t i g k e i t s b e r e c h ­ n u n g n ö t i g e n F o r m e l n d e r a n g e n ä h e r t e n L ö s u n g i m ' F a l l e e i n e r r e c h t e c k i g e n B e l a s t u n g a , b , q s in d f o l g e n d e :

M1 m a x ' ^{l 6 \ H i n}

( S + b2W a” b‘i

S F B 1 + 2 H + “ 2 Bä

M _ 16

~ n l q b 2

( a 2 + 5- ) ß 2 [ a 1, b 1]

a r B 1 + 2 H + p B s

d a s V e r d r e h u n g s m o m e n t i n d e n E c k p u n k t e n :

a b C [a ,, b t ]

h2 a 2

“ B , . + 2 H - f a-2B | l D l a , b = - j g - q

2 2

(

29

⁾

--3 16 q a 3 a

IR I - I 6. 3.

* 2<max “ ¡jj (,

( s + b*)B'+ 4>ic

g i , + 2 H + g B ,

( “ * + S ; ) B> + 4 b ! c

b 2 a 2

J 2 B1 + 2 H + a ; B2

fa i>bi]

(30)

| R i l = |R l L a x C O S ^ , : i R * l = . Ä a , c o s '

d ie E c k k r a f t :

R —- 64 a b C [ a t, b []

b 2 a 2

^ - B t + 2 H + p B 2

w e n n z u r A b k ü r z u n g

. a. a . b i j e

S in — — s in -r-‘ —

a 2 b 2 fa i> b i. (32)

g e s e t z t w i r d .

F ü h r t m a n w i e d e r d i e G r ö ß e n e u n d t) e in u n d b e r ü c k ­ s i c h t i g t d i e G l e i c h u n g (1 3 a ) , s o n e h m e n d i e o b ig e n F o r m e l n f o l g e n d e G e s t a l t a n :

M2max —

l 6 _ IC4

16

( 1 + m . y l , ) [ a i' bl1 I -f- 2 e2 11 4 - e4

q b 2

|R i

I -f-

2

e

2

n - f £*

(2 9 ’)

lR2'niax : 16

J t 3

r

1

+

2

e

2

r] -f- e

4

J E

2

q b [ a , , b , j I

l/.%. | V

B2

I 4 - 2 E2 T) -f- £* _J

1 m2

(

30

^')

K = — 2 (D ) . t

2 > 2 _ i6

J t

2 T 1 -

, - q a b

;]

/ B 2 _ i_ i/ Bl

M a n ü b e r z e u g t s ic h i n d e r T a t , d a ß d i e a lg e b r a is c h e S u m m e s ä m t l i c h e r A u f l a g e r k r ä f t e :

2 R j 4 - 2 R 2

4

" 4 R

n i c h t —- a j b j q g i b t , w i e es d i e G l e i c h g e w i c h t s b e d i n g u n g e n v e r la n g e n , s o n d e r n d a ß

2 K i

4

^{- 2 Ro}

4

- 4 K ~ — a b q [ a 1, I q ]

I m F a l l e v o l l s t ä n d i g e r B e l a s t u n g i s t d e r W i d e r s p r u c h s e h r b e ­ d e u t e n d ; d i e r e c h t e S e it e d e r l e t z t e r e n G l e i c h u n g w i r d g l e i c h

— 0 ,6 5 7 a b q a n s t a t t — a b q . V e r k l e i n e r t m a n d i e b e la s t e t e r e c h t e c k i g e F l ä c h e , s o v e r m i n d e r t s ic h d e r W i d e r s p r u c h u n d v e r s c h w i n d e t s o g a r g ä n z l i c h b e i a ^ a = b j i b = £ > 0 0 ,7 4 8 , u m b e i w e i t e r e r A b n a h m e d e r b e la s t e t e n F l ä c h e d a s V o r z e ic h e n z u w e c h s e ln u n d d e r a b s o l u t e n G r ö ß e n a c h w i e d e r z u w a c h s e n . W i r k ö n n e n d a r a u s s c h lie ß e n , d a ß d i e b e t r a c h t e t e a n g e n ä h e r t e L ö s u n g a m b e s t e n d e m F a l l e e i n e r r e c h t e c k i g e n B e l a s t u n g s ­ f l ä c h e b e i a t = 0 ,7 4 8 a u n d b r = 0 ,7 4 8 b e n t s p r i c h t . I n d ie s e m b e s o n d e r e n F a l l e i s t

a | jt a 2

b ( je

b 2 a r c 67° 19,2'; s i n - 4 - - a , je_ zz s in a 2

b ; je

b 2 : 0,99267

[ a i * b , l zz 0 ,8 5 1 3 ; a 1 b i zz 0,5595 a b ; Q = a , q =z 0,5 595 a b q u n d d i e B e r e c h n u n g s f o r m e l n n e h m e n f o l g e n d e G e s t a l t a n :

f zz a b Q

(30

^{M lmax =}

39,49

_ Q _ a b

M.2max ‘

I DI

Q

a b

b; B l4-2H4- - p - ß 2

( £ + b ’) B ‘

b 2 a2

aD; B 1 + 2 H + ab .; B ,

(*i + D B=

(33)

b “ a2

~ 5 B l

4

- 2 H 4 - - p - B 2 C Q _ _ _ ______

| J b14 - 2 H + § b2

(3 4 )

(3 5)

IRlImax = 0,7852 Q

a 2 b

( V + b , ) B|+4», c

| R 2I, : = 0,7852 ■ - %

R., I

R zz

Q ' a 2

Q

b 2

§ b 14-2H 4- § b 2

( w ~ + b2) Bi + 4a 3 C

| | 1^ 4 - 2 H 4 p b2

( a 5 + P B'.» + 4 b2 C

(3 6)

b 2 B 1 + 2H4- - i - B ,

C Q a 2 B l

4

* 2 H + - g v B 2

(37)

B ,

£2 4 - 2 1 1 4 - g2

E s l i e g t n a h e f ü r d ie p r a k t i s c h e n F e s t i g k c i t s b c r e c h n u n g c n a u f G r u n d d e r g l e i c h f ö r m i g e n B e l a s t u n g d e r g a n i e n P l a t t e f ü r d i e D u r c h b i e g u n g u n d M o m e n t e d i e F o r m e l n ( 2 7 ) , (2 9 ) u n d D e r A n n ä h e r u n g s g r a d d e r M o m e n t e n f o r m e l n , w e l c h e z w e i t e f ü r d i e A u f l a g e r r e a k t i o n e n d i e F o r m e l n ( 3 6 ) , (3 7 ) z u e m p f e h le n , D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n v o n £ e n t h a l t e n , w i r d n i c h t s o h o c h w o b e i i n l e t z t e r e n Q = a b q z u s e tz e n i s t . M a n w i r d a u f d ie s e s e in k ö n n e n , w i e d e r j e n i g e d e r D u r c h b i e g u n g s f o r m e l n . E i n W e is e d i e m e is t e n G r ö ß e n e in w e n i g ü b e r s c h ä t z e n ( z u g u n s t e n n o c h n i e d r ig e r e r . A n n ä h e r u n g s g r a d i s t b e i d e n F o r m e l n f ü r d e r S i c h e r h e i t ) , d o c h d ü r f t e d e r F e h l e r b e i n i c h t z u s t a r k A u f l a g e r r e a k t i o n e n z u e r w a r t e n . v o n 1 d i f f e r i e r e n d e n W e r t e n v o n a : b u n d Bj. B 2 e in i g e v H

19*

262 H U B E R , Ü B E R D IE B IE G U N G E IN E R R E C H T E C K IG E N P L A T T E U S W . D E R B A U IN G EN IE U R 1924 H EBT 9.

n i c h t ü b e r s c h r e ite n . F a ll s B j = B 2, w ird d ie s e B e r e c h n u n g s ­ w eise e tw a f ü r i -j~ g i,5 g e w iß g e n ü g e n k ö n n e n , d a z. B . d ie e n ts p r e c h e n d e iS lä h e ru n g sfo rm e l f ü r d e n B ie g u n g s p f e il e in e r h o m o g e n e n P l a t t e b e i a : b = 1,5 u m 2,5 v H u n d e r s t b e i a : b = 2 u m ca. 5,2 v H zu g ro ß e W e r t e lie f e r t6) . D a r ü b e r h in a u s w ä c h s t d e r F e h le r s e h r s t a r k . W e n n a b e r B j B 2, so is t, im S in n e d e r A u s f ü h r u n g e n im § 7 d e r a llg e m e in e n T h e o rie , f ü r d ie „ P l a t t e n w i r k u n g " n i c h t d a s V e r h ä lt n is a , s o n d e r n d a s r e d u z ie r t e S e it e n v e r h ä l tn i s s = J/ j] 2 m a ß g e b e n d ; in f o lg e ­ d e s s e n w ird m a n d ie s e lb e G e n a u ig k e it e r w a r t e n k ö n n e n , w e n n d ie s e s V e r h ä ltn is z w isc h e n d e n G re n z e n 1 u n d 1,5 lie g t, d . h .

I ^ E ^ 1,5.

D e r A u s d r u c k „ P l a t t e n w i r k u n g " h a t h ie r e in e n g e b r ä u c h ­ lic h e n S in n u n d b e d e u t e t e i n e d i e B i e g u n g s m o m e n t e i n d e n b a l k e n f ö r m i g e n Q u e r s t r e i f e n v e r m i n d e r n d e W i r k u n g d e r L ä n g s s t r e i f e n . D ie P l a t t e n W irk u n g h ä n g t a u c h v o n d e r A r t d e r B e la s t u n g a b u n d t r i t t b e s o n d e r s s t a r k b e i k o n z e n tr ie r te n L a s te n h e r v o r .

B e i g le ic h fö r m ig e r B e la s t u n g d e r r e c h te c k ig e n P l a t t e s p i e lt d ie P la t te n w i r k u n g e in e g r ö ß e r e R o lle n u r in o b ig e n G re n z e n d e s V e r h ä ltn is s e s z u n d w e ite r n o c h e tw a b is z u m W e r t e e = 2. A u ß e r h a lb d ie s e r G re n z e n n i m m t d ie P l a t t e n ­ w ir k u n g s e h r ra s c h a b u n d m i t A u s n a h m e v o n d e n a n d e n k u r z e n R e c h te c k s e ite n a n lie g e n d e n P l a t t e n t e i l e n , b ie g e n s ic h d ie Q u e r s tr e if e n p r a k t is c h g e n a u so , w ie d ie B a lk e n v o n d e r S p a n n w e ite b .

H ie r i n lie g t d e r G r u n d , w e s h a lb d ie a m t li c h e n E i s e n b e t o n ­ b e s tim m u n g e n in v e r s c h ie d e n e n L ä n d e r n d ie B e r ü c k s i c h ti g u n g d e r v o r t e il h a f te n P l a t t e n w i r k u n g in k r e u z w e is e b e w e h r te n B e t o n p l a t t e n in w e ise r S o rg e u m d ie S ic h e r h e it d e r B a u w e r k e b e s c h r ä n k e n ; es l ä ß t s ic h a b e r n i c h t le u g n e n , d a ß d ie m e is te n d ie s b e z ü g lic h e n B e s tim m u n g e n , e in e r s t r e n g w is s e n s c h a f tlic h e n G r u n d la g e e n tb e h r e n d , d ie V o r s ic h t v ie l z u w e it tr e i b e n u n d d a d u r c h d ie r a t io n e l le A u s n u tz u n g d e s M a te r ia ls v e r e ite ln . So s t a n d z. B . in p r e u ß is c h e n M in is te r ia lb e s tim m u n g e n v o m 24. V . 1907 (§ 14, P . 7) f o lg e n d e s :

„ R in g s u m a u flie g e n d e , m i t s ic h k r e u z e n d e n E is e n e in la g e n v e r s e h e n e P l a t t e n k ö n n e n b e i g le ic h m ä ß ig v e r t e i l t e r B e la s t u n g , w e n n ih r e L ä n g e a w e n ig e r a ls d a s i,5 f a c h e ih r e r B r e ite b b e tr ä g t , n a c h d e r F o r m e l:

M = J k

12

b e r e c h n e t w e r d e n .”

D e m g e g e n ü b e r e m p f e h le n d ie fr a n z ö s is c h e n B e s tim m u n g e n v o m J a h r e 1906 in d e m s e lb e n F a lle a llg e m e in d ie B e r e c h n u n g n a c h d e r F o r m e l:

vt _ 1 1 ■> a4

— 8 q b - - aq -7 bi

(bei a > b), w a s f ü r d ie q u a d r a t i s c h e ( s e lb s t v e r s t ä n d li c h in b e id e n R ic h t u n g e n g le ic h b e w e h r te P la t te )

M m a x “ — q b- 24

fo lg lic h g e n a u d ie H ä lf t e , li e f e r t. M a n b e g n ü g te s ic h a ls o in F r a n k r e i c h j a h r e l a n g a n s t a n d s lo s m i t z w e im a l s c h w ä c h e re n P l a t t e n (in d ie s e m F a lle ) a ls in P r e u ß e n . T a ts ä c h lic h n ä h e r t s ic h im b e tr a c h t e t e n F a ll e d e r s tr e n g e t h e o r e ti s c h e M o m e n te n * w e r t, w ie w e ite r g e z e ig t w e rd e n so ll, w e it m e h r d e m v o n d e n f r a n z ö s is c h e n B e s tim m u n g e n v o rg e s c h rie b e n e n W e r t e , o b w o h l a u c h d ie f r a n z ö s is c h e F o r m e l e ig e n tlic h d e n C h a r a k t e r e in e r p r a k t is c h e n R e g e l o d e r e in e r h a lb e m p ir is c h e n I n t e r p o la tio n s - fo r m e l b e s i t z t u n d a u ß e r d e m d ie e tw a ig e n U n te r s c h ie d e in d e r a- u n d b - B e w e h r u n g a u ß e r A c h t l ä ß t ,

®) Man vergleiche „D ie Grundlagen . . . “ des Verfassers.

E in e n g e w is s e n F o r t s c h r i t t w e ise n d ie n e u e n d e u ts c h e n B e s ti m m u n g e n v o m J . 1915 a u f , in d e m s ie z u r B e r e c h n u n g d e s H ö c h s tm o m e n t e s n a c h d e r F o r m e l:

M m a x = -g- q b 2 (a > b)

f ü h r e n . D ie s lie f e r t im b e s o n d e r e n F a ll e e in e r q u a d r a t is c h e n P l a t t e (a = b ) :

M m a x — Y f t q b 2

D ie s e r W e r t li e g t g e n a u in d e r M itte z w is c h e n d e n je n ig e n a u s d e n ä lt e r e n p r e u ß is c h e n B e s tim m u n g e n u n d d e n fr a n z ö s is c h e n B e s tim m u n g e n v o m J a h r e 1906. E r i s t n o c h u m r u n d 50 v H g r ö ß e r a ls d e r w a h r e H ö c h s tw e r t.

D ie e in z ig e n a m t li c h e n B e s tim m u n g e n , w e lc h e b e id e B e ­ w e h r u n g e n b e r ü c k s ic h tig e n , s c h e in e n d ie ö s te r r e ic h is c h e n (v o m J a h r e 1911) z u se in , a b e r d ie v o r g e s c h r ie b e n e F o r m e l h a t a u c h k e in e n A n s p r u c h a u f w is s e n s c h a f tlic h e B e g r ü n d u n g . S ie f ü h r t im F a l l e d e r q u a d r a t i s c h e n P l a t t e z u e in e m W e r t e

Mmax — q b 2

d e r g e n a u in d e r M itte z w is c h e n d e m ä l t e r e n p r e u ß is c h e n u n d fr a n z ö s is c h e n li e g t. D a s s e lb e R e s u l t a t lie fe r n d ie p r a k t is c h e n F o r m e ln in d e n s c h w e iz e r is c h e n B e s tim m u n g e n .

M it d e r P l a t t e n w i r k u n g e r l a u b e n ü b r i g e n s so w o h l d ie ö s te r r e ic h is c h e n w ie a u c h d ie ä l t e r e n p r e u ß is c h e n B e s ti m m u n g e n n u r d a n n z u r e c h n e n , w e n n

W ie o b e n e rw ie s e n , so ll liie r e ig e n t li c h a n s t a t t a : b d ie G rö ß e e = j “ | A g a s te h e n .

I n d e r P r a x i s m ü s s e n d ie P l a t t e n r ä n d e r ü b e r d ie A u f la g e r ­ g e r a d e m e h r o d e r w e n ig e r h in a u s r a g e n , w o d u r c h d ie W i d e r ­ s t a n d s f ä h i g k e i t d e r r e c h t e c k ig e n P l a t t e n o c h e tw a s v e r ­ g r ö ß e r t w ird , ä h n lic h , w ie d ie s b e k a n n t l i c h b e i k re is fö r m ig e n P l a t t e n d e r F a l l is t. B e i d e r D e u t u n g d e r V e rs u c h s e r g e b n is s e e r s c h e in t es n o tw e n d ig , d ie s e V e r g r ö ß e r u n g th e o r e t i s c h .zu b e s tim m e n . D ie s k a n n m i t m e is te n s g e n ü g e n d e r A n n ä h e r u n g d a d u r c h e r r e ic h t w e r d e n , d a ß m a n b e i d e r B e s ti m m u n g v o n f a u s d e r A r b e it s b e d in g u n g :

L i ~ 8 ' Ä ( B - a J + 2 H a 'J b ' + B i b 4 ) = !

f f

^{q U x d y = L}

a u f d e r lin k e n S e it e n o c h d a s G lie d A Lj h in z u f ü g t, w e lc h e s d ie F o r m ä n d e r u n g s a r b e i t d e s h i n a u s r a g e n d e n T e ile s d a r s t e l l t . B e i d e r A n n a h m e e in e r v e r h ä l t n i s m ä ß i g k le in e n B r e it e A a u n d A b d e r h in a u s r a g e n d e n P l a t t e n s t r e i f e n , k ö n n e n ö f f e n b a r d ie B ie g u n g s m o m e n te v e r n a c h l ä s s i g t w e rd e n , u n d w ir b e k o m m e n :

A R J / / : -

D a b e i e r s t r e c k t s ic h d ie . I n t e g r a t i o n a u f d ie h i n a u s r a g e n d e F lä c h e . B e t r a c h t e t in a n n o c h n ä h e r u n g s w e is e d ie V e r d r e h u n g s - m o m e n te a ls in d e r Q u e r r i c h tu n g d e s S tr e if e n s u n v e r ä n d e r li c h , so k a n n d e r A u s d r u c k f ü r A L ; in f o lg e n d e r F o r m g e s c h r ie b e n w e r d e n :

a -f J a 2

4 L, = 4 ■ ' - / 4 c ( - J g | ! _ l Ä b < l * + J ,

0 y , 2

b + J b

+ < • 1 /

DER B A U IN G E N IE U R

1924 H E F T 9. T H E O D O R R E H B O C K U S W . — G O T T S C H A L K . A U T O M A T IS C H E B E R E C H N U N G U S W . 263 N a c h d e m E in s e tz e n d e s W e r te s

o , Jtx n y

U = f COS COS ~ r

5 a b

u n d d e r A u s f ü h r u n g d e r I n te g r a tio n e rh ä lt m an :

A Li = .1 4 C [ (a + A a ) A b + (b + A b ) A a]

o d e r A L

Li = f?

8 a ^ b 2^T (Bo a i + 2 H a2 b 2 + B t h* + 8 C a b A F)

v e r m i n d e r t w ird , u n d in d e m s e lb e n V e r h ä lt n is v e r k le in e r n sich d ie B ie g u n g s m o m e n te M x, M 2 so w ie d i e ' ü b r ig e n s t a ti s c h e n G rö ß e n . D e r e n ts p r e c h e n d e A b m in d e r u n g s b e iw e r t

. i

S C a b A F S C a b A F

B2 a'‘ + 2 H a 2 b 24 - B 1b< B | b “1 s> + ~ & h T 1

w e n n A F d ie G e s a m tf lä c h e d e s h in a u s r a g e n d e n P l a t t e n t e i l e s b e z e ic h n e t.. D e r A u s d r u c k f ü r d ie in n e r e F o r m ä n d e r u n g s a r b e i t n i m m t j e t z t fo lg e n d e G e s ta l t a n :

n im m t a b m i t d e r V e r g r ö ß e r u n g d e r r e d u z i e r t e n S e i t e n v e r ­ h ä lt n is z a h l s u n d s t r e b t , w ie zu e r w a r t e n w a r, d e r G re n z e i zu , w e n n e s e h r g r o ß w ir d . E r e r r e i c h t s e in e n G r ö ß tw e r t f ü r e == i , u n d d ie s e r W e r t n im m t im b e s o n d e r e n F a l l e a = b, B x == B„,

m 2 = m , d ie F o r m a n : / i

E s e r g i b t sic h d a r a u s , d a ß d e r B ie g u n g s p f e il f in fo lg e d e s H in a u s r a g e n s d e r P l a t t e im V e r h ä lt n is v o n

(B 2 a* - f 2 H a-’ b 2 + B[ b « ): (B._, a* + 2 H a 2 b 2 + Bp b ‘ + 8 C a b A F)

i + 2 C B

A F a 2

o d e r

1 + [ A F

a2

(S c h lu ß fo lg t.)

T H E O D O R R E H B O C K ZUM SECHZIGSTEN GEBURTSTAG.

A m 12. A p r il d . J . v o ll e n d e te T h e o d o r R e h b o c k s e in 6 o. L e b e n s ­ j a h r , u n d d ie h e r v o r r a g e n d e n V e r ­ d ie n s te , d ie R e h b o c k s ic h u m d ie F ö r d e r u n g d e r W is s e n s c h a f t e r w o r b e n h a t , r e c h t f e r t i g e n es, d a ß s e in e F a c h - k o lle g e n d ie s e s T a g e s g e d e n k e n m i t d e n ! W u n s c h e , d a ß es ih m v e r g ö n n t s e in m ö g e , n o c h r e c h t la n g e m i t d e r ­ s e lb e n F r i s c h e w ie b is h e r s e in e K r ä f t e d e m D ie n s t e u n s e r e r W is s e n s c h a f t zu w id m e n .

A u ß e r d e r V o lle n d u n g d e s 6 o . L e b e n s ja h r e s h a t d a s J a h r 1924 f ü r R e h b o c k d ie b e s o n d e r e B e d e u tu ng, d a ß e r v o r 25 J a h r e n s e in e a k a d e m is c h e L a u f b a h n b e g a n n . N e b e n d e r g r o ß e n A n z a h l v o n S c h ü le r n , d ie R e h b o c k ih r e A u s b ild u n g a n d e r K a r ls r u h e r H o c h s c h u le v e r d a n k e n u n d d a f ü r s o r ­ g e n w e r d e n , d a ß s e in W ir k e n u n v e r ­ g e s s e n b le ib e , h a t R e h b o c k d u r c h d a s m u s te r g ü l t i g e W a s s e r b a u l a b o r a ­ t o r iu m d e r T e c h n is c h e n H o c h s c h u le in K a r ls r u h e , d a s b is in a lle E i n z e l ­ h e it e n s e in e S c h ö p f u n g is t, s ic h ein

D e n k m a l e r r i c h t e t a u f w e lc h e s e r m i t v o l l e m R e c l j t s t o l z s e i n k a n n . H i e r d u r c h is t d e r N a m e R e h b o c k s f ü r a lle Z e it e n m i t d e r F r i d e r i c i a n a e n g v e r b u n d e n , a b e r d u r c h d ie A r b e ite n , d ie in

e if r ig s te r F o r s c h e r t ä t i g k e i t a u s d ie s e m s e in e m I n s t i t u t h e r v o r g e g a n g e n s in d , u n d d u r c h w e lc h e d ie W is s e n s c h a f t e in e s e h r w e s e n tlic h e F ö r d e r u n g e r ­ f a h r e n h a t , h a t d e r Ijfa m e R e h b o c k s e in e n w e it ü b e r d ie G r e n z e n S ü d ­ d e u ts c h la n d s r e ic h e n d e n K la n g e r ­ w o rb e n .

Z w e im a l v e r t r a u t e n ih m s e in e K o l ­ le g e n d a s v e r a n t w o r t u n g s r e i c h e A m t ' d e s R e k t o r a t s a n , s e in e w is s e n s c h a f t­

lic h e n L e is tu n g e n w ü r d ig t e d ie T e c h ­ n is c h e H o c h s c h u le M ü n c h e n d u r c h V e rle ih u n g d e r D o k to r w ü r d e e h r e n ­ h a lb e r , d u r c h s e in e im J a h r e 1922 e r f o lg te E r n e n n u n g z u m E h r e n m i t - g lie d e d e s K ö n ig l. I n s t i t u t s v a n I n g e n ie u r s im H a a g z o llte d a s L a n d , in d e m R e h b o c k d a s L i c h t d e r W e lf e r b lic k te , s e in e n L e is t u n g e n z u r F ö r ­ d e r u n g d e r In g e n ie u r w is s e n s c h a f te n d e n w o h lv e r d ie n te n T r i b u t .

D a ß d ie k o m m e n d e n J a h r e f ü r d e n G e h . O b e r b a u r a t D r .- I n g . eh.

R e h b o c k e b e n s o r e ic h a n w is s e n ­ s c h a f tlic h e n E r f o lg e n u n d a n A n e r ­ k e n n u n g s e i n m ö g e n w ie d ie V e r g a n g e n h e it, i s t d e r v o n H e r z e n k o m m e n d e . W u n s c h s e in e r z a h lr e ic h e n F r e u n d e .

G . d e T h i e r r y .

AUTOMATISCHE BE R E C H N U N G STATISCH UNBESTIMMTER TRAGWERKE.

Von Ingenieur Otto Gottschalk, Buenos Aires.

I n d e n l e t z t e n J a h r e n s in d b e s o n d e r s in n o r d a m e r i k a n i ­ s c h e n Z e its c h r i f te n e in ig e A r t i k e l e rs c h ie n e n , in d e n e n s t a ti s c h e B e r e c h n u n g e n k o m p l i z i e r t e r S y s te m e m i t t e l s D e f o r m ie r u n g e la s ti s c h e r M o d e lle g e z e ig t w u r d e n . P r a k t i s c h e E r g e b n is s e h a b e n d ie i n t e r e s s a n te n V e rs u c h e n i c h t g e z e i tig t ; U n t e r s u c h u n ­ g e n , w a r u m d ie s e V e rs u c h e so v e r e i n z e lt g e b lie b e n s in d , h a b e n d e n V e r f a s s e r z u d e m S c h lu ß g e f ü h r t, d a ß d a s B e d ü r f n is f ü r s o lc h e a b g e k ü r z t e u n d p la s ti s c h e B e r e c h n u n g e n e in u n g e m e in d r in g e n d e s is t, d a ß a b e r e in A p p a r a t f e h lte , u m sie zu v e r ­ a llg e m e in e r n .

A u s v ie lf a c h e n V e rs u c h e n i s t d e r „ C o n t i n o s t a t " in s e in e r g e g e n w ä r tig e n F o r m h e r v o r g e g a n g e n , w ie a u s d e n v e r s c h ie ­ d e n e n w ie d e rg e g e b e n e n P h o to g r a p h ie n e r s ic h tl ic h . A u f e in e m M e ta llin e a l la u f e n S c h li tt e n , d e re n o b e r e T e ile d r e h b a r s in d , u n d in d e n e n w ie d e ru m S c h ie b e r g le i te n , d ie a n ih r e n E n d e n v e r s t e ll b a r e K la u e n tr a g e n . D ie K la u e n k ö n n e n le ic h t in je d e r L a g e f e s tg e s t e ll t w e rd e n . D ie S c h ie b e r m i t K la u e n s in d b e ­ s t i m m t , e in m a l d ie N a c h b ild u n g e n d e r e la s tis c h e n S ta b z ü g e a n d e n P u n k t e n f e s tz u h a l te n , w e lc h e d e n f e s te n P u n k t e n d e r w ir k lic h e n K o n s t r u k t i o n e n t s p r e c h e n ; f e r n e r d ie n e n sie, u m

2 6 4 D ER B A U IN G EN IE U R G O T T S C H A L K , A U T O M A T I S C H E B E R E C H N U N G S T A T I S C H U N B E S T I M M T E R T R A G W E R K E . i m HEFX 9.

L a s te n ir g e n d w e lc h e r A r t u n d R ic h t u n g w ie d e r z u g e b e n . Zu l e t z te r e m Z w e c k s in d a u f d e n S c h l i t t e n u n d v o r n e a m S c h ie b e r G le itr o lle n a n g e b r a c h t , w e lc h e es e rm ö g lic h e n , in g e e ig n e te r W e is e m i t t e ls S e id e n f a d e n s G r u p p e n la s te n h e r v o r z u r u f e n u n d v e r t e i l t e L a s te n d u r c h e in f a c h e r d a r s t e l l ­ b a r e E in z e lla s t e n zu e r s e tz e n .

D ie m e c h a n is c h e B e r e c h n u n g e la s ti s c h e r S ta b z ü g e u n t e r ­ s c h e i d e t s ic h v o n d e r s t a t i s c h e n B e r e c h n u n g im w e s e n tlic h e n d a r i n , d a ß w ir d ie K r ä f t e u n d B ie g u n g s m o m e n te , d ie j a f ü r u n s n i c h t w a h r n e h m b a r s in d u n d d a h e r d u r c h S y m b o le e r s e t z t w e rd e n m ü s s e n , d u r c h ih r e W ir k u n g e n e r s e tz e n , d ie f ü r u n s e r A u g e s e h r w o h l w a h r n e h m b a r u n d m e ß b a r s in d . W i r re c h n e n s o n a c h s t a t t m i t d e m B ie g u n g s m o m e n t in e in e m P u n k t e e in e s S ta b e s m i t d e r g e g e n s e itig e n V e r d r e h u n g z w e ie r b e n a c h b a r t e r Q u e r s c h n itte , s t a t t m i t A u f la g e r d r ü c k e n m i t d e r g e g e n s e itig e n V e rs c h ie b u n g b e n a c h b a r t e r A u f la g e r u n d e n d lic h s t a t t m i t d e r M o m e n te n f lä c h e e in e s S ta b e s d e s e la s tis c h e n S ta b z u g e s m i t d e r Ä n d e r u n g d e r T a n g e n te n w in k e l a n d e n E n d e n d e s S ta b e s u n d m i t d e r D u r c h b ie g u n g d e s s e lb e n in d e r M itte z w isc h e n d e n b e id e n E n d e n .

I n d e m w ir so d ie A n w e n d u n g a b s t r a k t e r S y m b o le u n d F o r m e ln d u r c h d ie A n s c h a u u n g e r s e tz e n , g e la n g e n w ir zu e i n ­ f a c h e n u n d ü b e r s ic h tl ic h e n L ö s u n g e n d u r c h n u r e in e B e w e g u n g d e s „ C o n t i n o s t a t “ , a u c h in F ä ll e n , d ie n a c h d e n b is h e rig e n R e c h n u n g s n ie t h o d e n S t u n d e n o d e r T a g e b e a n s p r u c h te n u n d e in e K o n z e n t r a t i o n a b s t r a k t e n D e n k e n s e r f o r d e r t e n , d ie d e m I n g e n i e u r , d e r in d e r p r a k t i s c h e n A r b e i t s t e h t , s c h w e r m ö g lic h is t. D a z u b i e t e t d ie S c h ö n h e it d e r e la s tis c h e n B e w e g u n g e n u n t e r d e n v e r ä n d e r li c h e n s t a ti s c h e n u n d g e o m e tr is c h e n B e ­ d in g u n g e n d a u e r n d e A n r e g u n g u n d d ie S i c h t b a r k e i t d e r R e ­ s u l t a t e v e r h i n d e r t g r u n d s ä t z li c h e R e c h n u n g s f e h le r .

A n e in ig e n B e is p ie le n se i d ie A n w e n d u n g s f ä h ig k e it d e r m e c h a n is c h e n R e c h n u n g s w e is e e r l ä u t e r t ; d a s G e b ie t i s t n e u u n d F o r t s c h r i t t e e rg e b e n s ic h n o c h b e i j e d e r A n w e n d u n g d e s A p p a r a t e s u n d s o lle n v o n Z e it zu Z e it V e r ö f f e n tlic h u n g fin d e n . D ie B e te ili g u n g w e ite r e r K re is e w ä re z u b e g r ü ß e n b e im A u f b a u d ie s e s n e u e n R e c h n u n g s v e r f a h r e n s , w e lc h e s, w ie d e r V e rfa s s e r m i t S ic h e r h e it h o f f t, b e r u f e n is t, d e n W e r t d e r A r b e it d e s F a c h m a n n e s v ie lf a c h zu e rh ö h e n .

E s s e ie n z u n ä c h s t in m ö g lic h s t k u r z e r F o r m d ie R e s u l t a t e w ie d e rg e g e b e n , w e lc h e s ic h b is h e r a u s u m f a n g r e ic h e n u n d s o r g ­ f ä ltig e n U n te r s u c h u n g e n e rg e b e n h a b e n , u n d z w a r in - d r e i G r u p p e n , d ie d e n o b e n e r w ä h n te n n e u e n R e c h n u n g s e in h e ite n e n ts p r e c h e n . E s li e g t in d e r N e u h e it d e r R e c h n u n g s w e is e b e ­ g r ü n d e t , d a ß h ie r b e i z u n ä c h s t im w e s e n tlic h e n g e r a d lin ig e S t a b ­ z ü g e h e ra n g e z o g e n w u r d e n , o b g le ic h d e r W e r t d e s A p p a r a te s a u c h f ü r z u s a m m e n g e s e tz te S ta b z ü g e e in s e h r g r o ß e r is t, b e ­ s o n d e r s f ü r d ie B e r e c h n u n g v o n B ie g u n g s m o m e n te n . T h e o ­ r e tis c h e E r lä u t e r u n g e n , d ie e in e B r ü c k e z w isc h e n a l t e r u n d n e u e r R e c h n u n g s w e is e b ild e n , s in d a n a n d e r e r S te lle e rs c h ie n e n u n d s o lle n d e r Ü b e r s i c h tl i c h k e i t h a l b e r im A u s z u g d e m N a c h ­ t r a g V o rb e h a lte n b le ib e n .

A u f g a b e n g r u p p e I : B e s t i m m u n g d e s B i e g u n g s ­ m o m e n t e s i n e i n e m P u n k t e e i n e s B a l k e n s . D ie a u ß e r o r d e n tlic h e E in f a c h h e it, w e lc h e s ic h a ls le t z te F o lg e r u n g d e r a u t o m a t i s c h e n R e c h n u n g e r g i b t, sei 'a n e in e m a lltä g l ic h e n B e is p ie l i l l u s t r i e r t (A b b . i ) :

A u f g a b e ; E se i e in P u n k t d e r Ö f fn u n g A B e in e s k o n ­ ti n u ie r lic h e n B a lk e n s ü b e r 4 Ö f f n u n g e n v o n 9, 10, 4 u n d 4 ,5 m S p a n n w e ite . E s w ird d a s B ie g u n g s m o m e n t Me g e s u c h t, w e l­

c h e s e in e K r a f t P in E h e r v o r r u f t .

L ö s u n g : W ir z e ic h n e n d e n B a lk e n m a ß s tä b l ic h , z. B.

1 : 50, a u f M illim e te r p a p ic r a u f , v e r s p a n n e n d ie E n d e n zw e ie r S t a h l b ä n d e r m itt e ls d e r e b e n s o w ie d ie S t a h l b ä n d e r d e m A p p a r a t b e ig e g e b e n e n 1 : 4 K la m m e r u n d f ü h r e n d e n so g e ­ b il d e te n g e b r o c h e n e n S t a b m i tt e ls „ C o n t i n o s t a t “ d u r c h d ie A u f la g e r p u n k te . B e i lä n g s w e is e r V e rs c h ie b u n g (A b b . 1 a) d e s g e s a m te n S t a h l b a n d e s l ä u f t d a n n d e r S c h e ite l d e r K la m m e r s e l b s t t ä t i g im A b s t a n d v o n d e r B ä lk e n a c h s e , w e lc h e r g e n a u d a s B ie g u n g s m o m e n t a n g ib t , d a s P im B a lk e n in d e m b e tr e f f e n d e n

P u n k t e h e r v o r r u f t ; so e r g i b t s ic h in E : E E ' = h = 1,59 m u n d Me = i , 5 9 'P k g m o d e r tm , j e n a c h d e m P in k g o d e r t.

W e i t e r e E r g e b n i s s e : Z e ic h n e n w ir d ie K u r v e , d ie d a s S t a h l b a n d b e s c h r e ib t (A b b . 1 b), a u f d e m M illim e te r p a p ic r n a c h , so h a b e n w ir d ie E in f l u ß lin ie f ü r d ie B ie g u n g s m o m e n te in E , s o m it Me = P . y , w e n n y d ie O r d in a t e d e r K u r v e a n ir g e n d e in e m m i t P b e la s te t e n P u n k t e is t.

D ie F lä c h e d e r E in f l u ß li n ie g i b t d a n n d a s M o m e n t in fo lg e g le ic h m ä ß ig v e r t e i l t e r L a s t a n . B e la s te n w ir b e is p ie ls w e is e d e n

B a lk e n v o n A b is B m i t p k g /m , so w ird Me = 6,5 p k g m d a s ic h d ie F lä c h e d e r Me- K u r v e z w isc h e n A u n d B im M aß s t a b 'd e s B a lk e n s zu 6,5 iri? e r g i b t . W ie im A n h a n g a n g e g e b e n , s in d d ie E in f l u ß li n ie n p a r a b o lis c h e K u r v e n , d ie e in e F lä c h e "

v o n 2/3 X G r u n d lin ie x H ö h e in' M itte a b g r e n z e n .

D ie M o m e n te in d e n A u f la g e r n e rg e b e n s ic h g e m ä ß A b b . ic , in d e m m a n d ie 1 : 4 K l a m m e r 'm i t d e m S c h e ite l in d ie B a l k e n ­ a c h s e s c h i e b t u n d d o r t f e s t h ä l t .

I n d e m m a n d a s S t a h l b a n d lä n g s w e is e v e r s c h ie b t, k a n n m a n m i t L e i c h t i g k e i t b e o b a c h t e n (A b b . I a ), w o es s ic h a m w e ite s te n v o n d e r B a lk e n a c h s c e n t f e r n t , a ls o w o P d a s g r ö ß t e B ie g u n g s m o m e n t h e r v o r r u f t .

I s t d e r B a lk e n in e in e m d e r ä u ß e r e n A u f la g e r f e s t e in g e ­ s p a n n t (A b b . 3), so e r g i b t s ic h d ie E in f l u ß li n ie f ü r d ie E i n ­ s p a n n u n g s m o m e n t e M o d u r c h D r e h u n g d e s S t a h l b a n d e s im A u f la g e r p u n k t u m 4 5 0. U m Ü b e r a n s p r u c h u n g e n im S t a h l b a n d zu v e r m e id e n , w ir d m a n je d o c h n u r e in e D r e h u n g t g a = 1/ 3

a u s f ü h r e n u n d d ie e r h a l t e n e n O r d i n a t e n m i t 3 m u ltip liz ie r e n . G e n a u i g k e i t : I n d e r N ä h e d e r ä u ß e r e n A u f la g e r u n d in d e r N ä h e s o lc h e r in n e r e r A u f la g e r , in d e n e n d u r c h g ro ß e V e r s c h ie d e n h e it b e n a c h b a r t e r S p a n n w e ite n s t a r k e E in s p a n n u n g

e r z e u g t w ird , i s t d ie S c h r a u b e a n d e r K la m m e r zu lo c k e r n ,

^ i I ~k. s o d a ß s ic h d e r W in k e l v o n

s e in e r g e w ö h n lic h e n G rö ß e v o n 126° 5 2 ' b is a u f 90 + 4 5 = 1 3 5 0 v o n s e l b s t v e r g r ö ß e r t . D ie s e r W in k e l i s t a u f M i ll im e te r ­ p a p ie r le i c h t f e s tz u s t e ll e n .

B is zu e in e m W in k e l v o n e tw a 128° 3 0 ' i s t j j e d o c h d a s R e s u l t a t g e n ü g e n d g e n a u . I n A b b . 2 s in d a n v e r s c h ie d e n e n T r ä g e r f o r m e n d ie G e b ie te g e z e ig t, i n n e r h a l b d e r e r d ie r i ~ 4 K la m m e r b e n u t z t w e r d e n k a n n , n ä m l ic h im g a n z e n p r a k t i s c h in B e t r a c h t k o m m e n d e n T e il d e r B a lk e n lä n g e . U m d ie E i n ­ f lu ß lin ie d e r B ie g u n g s m o m e n te in d e n ä u ß e r e n A u f la g e r n zu e r h a l te n , i s t n a c h d e n A u f la g e r n z u n e h m e n d e tw a s z u lo c k e r n , b is d ie B a n d s tü c k e e in e n W in k e l v o n 135° b ild e n .

' Abb. 2. A bb. 3.

IJj'R fo^HEFT 9LÜR G O TTSC H A LK , A U T O M A T IS C H E BER E C H N U N G S T A T IS C H U N B E S T IM M T E R T R A G W E R K E . 26 5

B e i B e o b a c h tu n g d ie s e r V o r s ic h t w e rd e n d ie R e s u l t a t e s e l b s t b e i A n f ä n g e r n n i c h t ü b e r 4 v H v o n d e n m a th e m a t is c h e r h a l te n e n a b w e ic h e n .

V e r ä n d e r l i c h e . Q u e r s c h n i t t e : V e r ä n d e r l ic h k e i t d e s I r ä g h e i t s m o m e h te s w ir d le i c h t durch- Z u s a m m e n s e tz u n g m e h ­ r e r e r S t a h l b ä n d e r w ie d e rg e g e b e n u n d k o m m t a u t o m a ti s c h in d e n e r h a l te n e n W e r t e n z u m A u s d r u c k . V e rd o p p e ln w ir z. B.

d a s T r ä g h e i t s m o m e n t in d e m o b e n b e r e c h n e te n F a l l a u f 1 111 L ä n g e v o n je d e m A u f la g e r a u s ; so v e r r i n g e r t s ic h d a s M o m e n t Me = 1 ,4 8 P .

A u f g a b e n g r u p p c I I : B e s t i m m u n g v o n S t ü t z e n ­ d r ü c k e n m i t t e l s „ C o n t i n o s t a t " ,

U m in e in e m k o n ti n u ie r lic h e n B a lk e n d ie S t ü t z e n d r ü c k e zu b e s tim m e n , i s t es- b e i d e r a u t o m a t i s c h e n B e r e c h n u n g n i c h t e r f o r d e r lic h , v o r h e r d ie .S tü tz e n m o m e n te zu b e r e c h n e n w ie b e i d e n b is h e r ig e n a n a ly t is c h e n u n d g r a p h is c h e n R e c h n u n g s a r t e n , s o n d e r n w ir e r h a l t e n d ie G rö ß e d e r A u f la g c r d r ü c k e a u f e i n ­ fa c h e W e is e u n d u n m i t t e l b a r , in d e m w ir, w ie e in g a n g s a n g e - d e u t e t , d e n E i n h e i t s s t ü t z e n d r u c k d u r c h d ie E i n h e i t s s t ü t z e n ­ v e r s c h ie b u n g e r s e t z e n .

A u f g a b e : G e s u c h t se i in d e m o b e n b e h a n d e l te n k o n ­ t i n u ie r li c h e n T r ä g e r ü b e r 4 S p a n n w e ite n v o n 9,’ 10, 4 u n d 4 ,5 m d e r A u f la g e r d r u c k d e r z w e ite n S t ü t z e v o n lin k s , w e lc h e n e in e

K r a f t P im P u n k t e E h e r v o r r u f t .

L ö s u n g (A b b . 4 b ) : W i r h a l t e n e in S ta h l b a n d a ls S t a b ­ m o d e ll im „ C o n t i n o s t a t " a n d e n A u f la g c r p u n k te n q u e r z u m B a lk e n u n v e r s c h i e b l i c h 'f e s t ‘u n d b e w e g e n d e n z w e ite n S c h ie b e r u m e in e E i n h e i t. D ie -so e r h a lte n e K u r v e i s t d ie E in f lu ß lin ie d e s S tü t z e n d r u c k e s in d ie s e m A u fla g e r , w e lc h e d ie V e r t i k a l e in E im P u n k t e E r s c h n e id e n m ö g e ; d ie L ä n g e E E ' g i b t d e n g e s u c h te n S t ü t z e n d r u c k z u R j = 0 ,5 4 P .

W e i t e r e E r g e b n i s s e : ^ D ie S t ü t z e n d r ü c k e in d e n ü b r i ­ g e n A u f la g e r n e rg e b e n s ic h a u f g le ic h e W e is e , w ie in A b b . x a a n g e g e b e n , w o b e i d ie E i n h e i t e n d e r V e r s c h ie b u n g a n d e n v e r ­ s c h ie d e n e n S t ü t z e n v e r s c h ie d e n a n g e n o m m e n w e r d e n k ö n n e n . I m v o r lie g e n d e n F a lle , w u r d e n z. B . f ü r d ie S t ü t z e n o u n d 1 je 40 m m ,,f ü r d ie S t ü t z e n 2, 3 u n d 4 j e 20 m l V e r tik a l V e rsc h ie ­ b u n g a ls E i n h e i t g e w ä h lt. D ie S c h n i t t p u n k t e d e r v e r s c h ie ­ d e n e n e r h a l t e n e n E in f l u ß li n ie n m i t d e r S e n k r e c h t e n im A n ­ g r i f f s p u n k t E d e r K r a f t P e rg e b e n d ie fo lg e n d e V e r te ilu n g d e r L a s t P ü b e r d ie v e r s c h ie d e n e n A u f la g e r :

R 0 =

R , =

R ä =

r3 =

R4 = I _ 3 £ -

40 ,0

21 o

40 ,0

17,5

T o ta l £ R

20,0

1,2

2 0 ,0 -

: — 0,0 8 P

: — 0,54 P

: — 0,88 P

: — 0,4 0 P

: — 0,0 6 P

=s 1,00 P

V e r ä n d e r l i c h e r Q u e r s c h n i t t : D ie im E i s e n b e t o n b a u ü b lic h e n V e r s tä r k u n g e n in d e r N ä h e d e r A u f la g e r la s s e n s ic h a u f e in f a c h e W e is e d u r c h A n fü g e n k u r z e r , d e m „ C o n t i n o s t a t “ b e ilie g e n d e r S ta h l b a n d s t ü c k e in d e n A u f la g e r k la m m e r n in

F ü r e in e g le ic h m ä ß ig v e r t e il te L a s t p k g /m v o n C b is D e r g i b t s ic h d e r S t ü t z e n d r u c k R j g le ic h d e r F lä c h e z w isc h e n C u n d D . D ie s e b e s t e h t a u s e in e m D r e ie c k o d e r T r a p e z u n d a u s e in e r K u r v e n f lä c h e % h i l f w o rin 1' d ie B a s is u n d lT d ie H ö h e d e r K u r v e in M itte d e r B a s is is t.

G e n a u i g k e i t : U m g e n a u e R e s u l t a te zu e rz ie le n , w ä h le m a n d ie E i n h e i t , u m w e lc h e m a n e in A u f la g e r v e r s c h ie b t, n i c h t g r ö ß e r a ls 1/ 5 d e s A b s ta n d e s b is z u m n ä c h s t e n fe s te n P u n k t . N i m m t m a n »die E i n h e i t z u % d ie s e s A b s ta n d e s , so s in d A b ­ w e ic h u n g e n b is zu 5 v H zu e r w a r t e n ; b e i V e rs c h ie b u n g u m 1/3 b is z u 10 v H , a ls F o lg e d e r e n t s te h e n d e n N e b e n s p a n n u n g e n u n d d e r Ü b e r a n s p r u c h u n g d e s B a n d m a t e r ia l s ,

_ P.

\ ä )

.

Abb. 4.

R e c h n u n g s e tz e n : E tw a ig e V e r s c h ie d e n h e ite n z w is c h e n g a n z e n Ö f f n u n g e n w e r d e n d u r c h E in f ü g e n e in e s z w e ite n S t a h l b a n d e s ü b e r d ie v e r s t ä r k t e Ö ffn u n g w ie d e rg e g e b e n .

A u f g a b e n g r u p p c I I I : A u t o m a t i s c h e B e s t i m m u n g v o n E i n s p a n n u n g s m o m e n t e n .

M itte ls d e r v o m V e r f a s s e r im A n h a n g a b g e le ite t e n F o r ­ m e ln s in d w ir in d e r L a g e , a u s d e r B ie g u n g s lin ie e in e s a n . d e n E n d e n f e s t o d e r n a c h g ie b ig v e r s p a n n t e n . S ta b e s A B d ie B ie - g u n g s m o m e n tc zu b e s tim m e n , w e lc h e e in e d e r F o r m n a c h b e ­ k a n n t e L a s t h e r v o r r u f t . H ie r b e i i s t a n g e n o m m e n w o r d e n , d a ß d e r T r ä g e r q u e r s c h n i t t v o n A b is B k o n s t a n t sei, d o c h s in d d ie A b w e ic h u n g e n a u c h b e i d e n in d e r P r a x i s ü b lic h e n Q u e r ­ s c h n i t t s ä n d e r u n g e n n i c h t e r h e b lic h .

B e i g e e ig n e te r A n w e n d u n g d e s „ C o n t i n o s t a t " i s t es u n s d a m i t m ö g lic h , ir g e n d e in e n S t a b a u s e in e m k o m p liz ie r te n S t a b ­ s y s te m h e r a u s z u g r e if e n u n d m i t e in e r B e w e g u n g d e s A p p a r a t e s z u b e s tim m e n , a ls o im A u g e n b lic k d ie A r b e i t zu le is te n , w e lc h e n a c h d e n b is h e r ig e n a u f F o r m e ln a u f g e b a u t e n R e c h n u n g s ­ w e ise n v ie le S tu n d e n o d e r T a g e e r f o r d e r t . W ir u n te r w e r f e n d e n b e la s te te n S t a b A B e in e r D u r c h b ie g u n g , b e s tim m e n a u s d e r e r h a l te n e n B ie g u n g s lin ie d a s V e r h ä ltn is d e r A b s c h n it te d e r A u f la g e r ta n g e n t e n a u f d e r M i tt e ls e n k r e c h te n v o n A B z u r D u r c h b ie g u n g d a s e l b s t u n d d a m i t d ie E in s p a n n u n g s g r a d e m \ u n d m ß ; D ie E i n s p a n n u n g s m o m e n te s in d s o d a n n Ma == in„v P | u n d Mb = m « P 1 .

G e n a u i g k e i t : U m g e n a u e R e s u l t a t e zu e r h a l t e n , i s t es n o tw e n d ig , Ü b e r a n s p r u c h u n g e n im M o d e llm a te r ia l u n d N e b e n ­ s p a n n u n g e n z u v e r m e id e n ; m a n v e r m e id e Q u e r v e r s c h ie b u n g e n ir g e n d e in e s n a c h g ie b ig e n P u n k te s v o n m e h r a ls d e m f ü n f te n T e il d e s A b s ta n d e s b is z u m n ä c h s t e n f e s te n P u n k t e u n d R e i ­ b u n g e n d e s M o d e lls a u ß e r h a l b v o n A B a u f d e m Z e ic h e n tis c h e ; l e t z t e r e s e r r e i c h t m a n d u r c h U n te r le g e n d ü n n e r r u n d e r H ö lz e r.

V e r s c h ie d e n h e ite n d e r Q u e r s c h n itte z w isc h e n d e n e in z e ln e n G lie d e r n d e s S y s te m s w e rd e n d u r c h v e r s c h ie d e n s t a r k e S tä b e in R e c h n u n g g e z o g e n . A b w e ic h u n g e n b is zu 10 v H s in d z u ­ lä s s ig v o n d e n R e s u lt a te n , w e lc h e d ie e in g e h e n d e m a t h e m a t is c h e B e r e c h n u n g e rg e b e n w ü rd e .

D a s n e u e V e r f a h r e n m ö g e d u r c h e in ig e h ä u f ig v o r k o m ­ m e n d e B e is p ie le e r l ä u t e r t w e rd e n .

K o n t i n u i e r l i c h e T r ä g e r v e r s p a n n t m i t S ä u l e n . I m E i s e n b e t o n b a u s in d fr e ia u f lie g e n d e B a lk e n d ie A u s - n ä h m e , s o lc h e d ie m i t ih r e n S tü t z e n v e r s p a n n t s in d d ie R e g e l D e r in d e n G r u p p e n I u n d I I b e r e c h n e te k o n ti n u ie r li c h e T r ä g e r v o n 9, 10, 4 u n d 4,5 m S p a n w e ite s e i m i t d e n d r e i m i t t l e r e n