iii O pewnych zagadnieniach Fouriera

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE VI (1961)

M. Tryjarska (Warszawa)

O pewnych zagadnieniach Fouriera

Wstęp. Tematem tej pracy jest zagadnienie zmiany w czasie roz­

kładu tem peratury w ośrodku przewodzącym i promieniującym, jedno­

rodnym oraz niejednorodnym (x). Metoda rozwiązania rozważanych rów­

nań całkowo-różniczkowych typu parabolicznego oparta jest na teorii potencjałów cieplnych rozwiniętej przez M. Gevrey’a [2], a następnie kontynuowanej i uogólnionej przez F. G. Dressela [1], W. Pogorzel­

skiego [3] i innych.

I. Zagadnienie Fouriera w ośrodku promieniującym jednorod­

nym. Zagadnienie zmiany w czasie rozkładu tem peratury w ośrodku jedno­

rodnym, który wypełnia obszar Q ograniczony powierzchnią $, sprowadza się do rozwiązania zagadnienia Fouriera pierwszego rodzaju dla nastę­

pującego równania całkowo-różniczkowego:

(

) AT {A, t)- d T ( A , t)

dt f [ A , t , T ( A , t ) ] + iii ' F [ A , B , t , T ( B , t ) \ dB,

A B

w którym przez rAB oznaczono odległość punktów A i В obszaru Q.

Należy wyznaczyć funkcję T ( A , t), która spełnia w każdym punkcie A obszaru D i w każdej chwili t w przedziale (

, &) równanie (1) oraz następujące warunki:

(

) lim T ( A , t) =

,

/~>o

(3) lim T ( A , t) —

.

A-> P e S

Przyjmiemy następujące założenia: w obszarze

(4) [£М-Я;(О,0)],

są spełnione warunki:

(I) funkcja f ( A , t, u), ciągła względem t, spełnia warunek Hóldera:

if ( A , t j u)— f { A lt

ux)

kf [rhi Al+\u-'łĄ'f\]\

i1) Zagadnienie rozkładu temperatury w ośrodku jednorodnym w stanie (sta­

tecznym zostało rozwiązane w praey [6].

(II) funkcja F ( A , B , t , u ) , ciągła względem B i t , spełnia warunek:

\ Щ Л , В , i, u ) - F ( A t , B , t, %)| « kF[rh / A + \ u - u , l ' ‘Fy, (III) powierzchnia

spełnia warunek Lapunowa:

(5) \co$vPQ\ ^ k LĄ LQ,

gdzie stałe kf , kF, kL są określonymi liczbami dodatnimi, a wykładniki kfy kf, hF, bp i hL należą do przedziału (

,

).

Poszukujemy funkcji T ( A , t ) w postaci sumy dwóch potencjałów cieplnych:

ь

(6, = rAQ со8Гж>,

0

ST (l- т Г “ » [ " 4 & ] M 9 ’

~ ( 2 , / K r \ f f f f

F * [ M , r , T ( M , r ) ]

exp

4 « -r)J ^dMdr,

potencjału warstwy podwójnej o nieznanej gęstości p(Q, t) oraz poten­

cjału ładunku przestrzennego, którego gęstością jest funkcja F* okre­

ślona w następujący sposób:

(7) F * { A , t , u ) = f { A , t , u ) + J J | ' F ( A , B , t , u )

dB.

Z samej postaci funkcji (

) wynika, że spełnia ona warunek począt­

kowy (2). Aby spełniła ona warunek brzegowy (3), musi spełnić związek

v

(

) - (

/ ^ ) V ( P , i ) + J J J

r P QCOS V P Q

---

s— exp

( t ~ r f

* [ - \ ( t - T ) } M Q’ T)dQdT^

F*[M, r, T ( M ,

)]

(t —r )

exp Г

L 4(«-r)J ^{dMdr -}

^,

w którym zastosowano znaną własność potencjału cieplnego warstwy podwójnej, gdy punkt wewnętrzny A dąży do punktu P na powierzchni

. W równaniach (

) i (

) wprowadzimy następujące oznaczenia:

Ж (-4,Ж ,«) = Г

'

е х р [ - ^ ] ,

F * ( A , Q , t ) = r

,so e cos»Jg exp 1—^ - 1 , X = — (

|/тс)-3.

O pewnych zagadnieniach Fouriera 71

Jeśli więc istnieje para funkcji: T ( A , t) dla AeQ-4-S i te( O, #) oraz p (P ,t) dla PetS i te(

, §) spełniających układ

t

T ( A, t) = A f J J J Ж ( А , M , t - r ) F * [ M , r , T ( M , r ) ] d M d r +

o o

i- f f f i r (A, Q , t - T)^№ ,r)de< ir, O S

t

/u(P,

- A

J J J f j V ( P ,

о я

<

l- я / j j N * ( P , Q , t - r ) l * ( Q , t ) d Q d T , O S'

(9)

to funkcja (

) jest rozwiązaniem zagadnienia.

Udowodnimy istnienie takiej pary funkcji T ( A , t ) i p (P ,t) opiera­

jąc się na topologicznym twierdzeniu o 'punkcie niezmienniczym pew­

nego przekształcenia w przestrzeni funkcyjnej Banacha (zob. [7]). Boz- ważmy w tym celu przestrzeń funkcyjną E wszystkich punktów U —

— [T{A,t), p { P , t )

, gdzie T ( A , t) są funkcjami rzeczywistymi i ciągłymi w obszarze + (0, #)], a p{ P,t) funkcjami rzeczywistymi i ciągłymi w obszarze [$; (

, #)].

Przestrzeń E będzie przestrzenią unormowaną, łiniową i zupełną, jeśli przyjmiemy znane określenia normy, odległości oraz dodawania i mnożenia przez liczbę rzeczywistą jej elementów.

Kozważmy w przestrzeni E taki zbiór Z jej punktów, żeby funkcje T ( A , t ) spełniały w nim nierówność

(10) \ T { A , t ) \ ^ R .

Biorąc pod uwagę pierwsze równanie układu (9), zbadajmy pierwszy wyraz po prawej stronie, w którym zmienimy porządek całek objętoś­

ciowych i zastosujemy następującą nierówność (zob. [5]):

I

/ - 3 / 2 r A M

j exp U

Otrzymamy:

< С Г 6Г 2 % 26, ó e ( 0 , l ) .

/ JJJ ( t - T p exp Глм- - 1 dMdr <

4 (t—r ) J |

< coil^Mf+MjrL26*1)#1- 6, gdzie o» jest pewną stałą niezależną od kresów górnych Mf , MF funkcji da­

nych i od średnicy L obszaru Q. Funkcja T ( A , t ) ma więc następującą ocenę:

|T ( A , t)\ ^o>(M,L2a + M FLa+

) d '- s + g\pi(P, t)\ < B ,

( U )

gdzie

t — r)dQdr |.

Stąd wynika ograniczenie dla modułu funkcji p { P ,t) w zbiorze Z:

(12) И -P, *)l < [-B— = i„ .

Zbiór Z jest oczywiście zbiorem zamkniętym i wypukłym. Zastosujemy do punktów zbioru Z przekształcenie, określone przez następujące wzory:

t

u ( A , t ) = - A f f f f N ( A , M , t - r ) F * [ M , r , T { M , r ) ] d M d r + i

+ / Q, t — r)p(Q, t)dQdr,

v{ P, t ) = - A 2/ J f f N ( P , M , t - T ) F * l M , T , T ( M , T ) ' \ d M d T +

o a

(13)

+ л / f f 1T(I>,Q, l - r ) v ( Q , T)dQdT, O

które każdemu punktowi U — [T, [i] zbioru Z przyporządkowuje okre­

ślony punkt V = [u,v] przestrzeni E.

Drugie równanie układu (13) jest równaniem Yolterry drugiego ro­

dzaju o następującej postaci:

t

(14) ® (Р ,< )= Л / f f N , { P , Q , t - r ) v ( Q , T ) d Q d r + f ( P , t ) ,

s

gdzie funkcja /* (P , t) jest określona w następujący sposób:

t

(15) f ( P , t) = - A

f f f f N ( P , M , t - r ) F * [ M , r , T ( M , r)]dMdr.

0

Q

Jądro N* równania (14) spełnia następującą nierówność (zob. [5]):

(16) |Ж*(Р, Q, ()| < const• Г “г ^ +л*+,“,

gdzie ae(l — \kL ,

), a hL jest liczbą występującą w warunku (5).

Jedynym rozwiązaniem równania (14) jest funkcja

®(P, t) = f f f Щ Р , Q, r ) d Q d r + f ( P , t),

(17)

O pewnych zagadnieniach Fouriera 73

gdzie jądro rozwiązujące 91 jądra N* jest sumą następującego szeregu:

(18) 9 l ( P , e , ( - T ) =

/=1

w którym kolejne jądra N* określone są przy pomocy związku reku- rencyjnego:

•*Г*+.(Л Q,

f J f

(

( 1 9 ) ' S , л т . г г .

(No = N*

Szereg (18) jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie dla wszystkich skończonych t > r , jeśli pominiemy w nim pewną liczbę początkowych wyrazów. Zatem funkcja (17) jest dla każdej wartości czasu t jedynym rozwiązaniem równania (14).

Wprowadźmy oznaczenie:

W(t) = supl J / j 9 Z ( P ,# ,* - T ) d # d T !

o s

znajdźmy ocenę funkcji /* (P , t) występującej w równaniu (14):

| /* (P , <)| < oa fiMfL^ + MjrL2**1) d1-*.

Stąd wnioskujemy, że wynik operacji (14) spełnia nierówność (

) \v{P, t)| < [W(&)+l’]a>Xi {MłL u + M FLM+l)&1- d.

Aby więc zbiór przekształcony Z * punktów V = [u, v] należał do zbioru Z , wystarczy tak dobrać wartości Mf i MF, żeby spełniona była nierówność

(21) [W (0) + 1 ] coA

(MfL 2d + M

L

<

Można łatwo wykazać, że przekształcenie (13) jest ciągłe w zbiorze Z.

Następnie należy udowodnić, że zbiór Z* jest zwarty. Oprzemy się tu na twierdzeniu Arzeli według którego zbiór funkcji wspólnie ograniczonych jest zwarty, jeśli te funkcje są jednakowo ciągłe. Funkcje u ( A , t) i v(P, t) są oczywiście wspólnie ograniczone. Aby zbadać jednakową ciągłość tych funkcji względem współrzędnych punktu oraz czasu, wystarczy zająć się całkami występującymi w równaniach (13) i przedstawiającymi poten­

cjał warstwy podwójnej. Dowód dla pozostałych całek jest prosty.

Udowodnimy więc jednakową ciągłość całek

/ ( P , * ) =

(23)

względem współrzędnych punktu P oraz czasu t- Należy dobrać do do- Avolnej dodatniej liczby e taką dodatnią liczbę r)e, żeby zachodził warunek (24) \I { P ,t ) —I { P l , t l)\ < e, jeśli fppj < rje i i^ — h\ <

•*' Badając ciągłość całek I ( P , t ) względem czasu t, rozważmy różnicę:

Z (P ,Z )-J (P ,A ) == j [ f N * ( P , Q , t - r ) v ( Q f r) d Q d x-

o ' s .

t

j и ^ * ( Р , д ^ г~ r)v(Q,r)dQdr = f f f ]\r* ( P , Q , t - T)v(Q,T)dQdr+

o

^1

t, s

+ j j j [ N * ( l ‘, Q , t - T ) - N * ( P , Q , t I-T)-jv(Q,T)dQdT = I 1{ P , t ) + I :,(P,t).

0 ⁸

Przyjmując dla funkcji N* nierówność (16), można napisać:

cg sup|®j x_„

I t —h\

\Ix(P,t)I <

1

— a gdzie

9

' =

И р ( / Г г ^ н

“+^<Й? ■

' •

s Tak więc zajdzie warunek

(25) IZ.JP, t)| < ~ , jeśli l‘ -* il <

Rozważmy teraz kulę К o środku

punkcie P i o promieniu rs i roz­

łóżmy całkę

(P, t) na całkę l f K rozciągniętą na część powierzchni

zawierającą się wewnątrz kuli К oraz na całkę l f ~ SR rozciągniętą na pozostałą część powierzchni

. Całka l f K spełni następującą nierówność:

i z ? * ( p , * ) i = / / / [ ^ * ( p , e , < - T ) - J v - * ( p ) g , <

- T ) ] i® ( e , T ) W d T .

o s K

23

sup|^|c / / rpę~2^ [ / g1J2e ad g ~ j q

/

e-v

S K r P Q l i ( r P Q l i ł1

<

<

sup \v\r - S

dQ < 2Э тгГ (~ | sup|i;| c y -

Aby więc zachodziła nierówność

!7f*(P, 1)1 < 8 ,

(26)

O pewnych zagadnieniach Fouriera ПЪ

należy następująco dobrać promień kuli:

(26' ейх

Hf)

2

W

supH

l lhL

Do całki 2f S

zastosujemy twierdzenie o przyrostach. Pochodna funkcji N* względem czasu t wyrazi się wzorem:

N *( P, Q ,t) = H ^{° t}

rPQ cos vPQ - J t

r\>Q cos

j exp ^

I)la dwóch dowolnych punktów P i Q powierzchni

—

K zachodzi nie­

równość rE < fpQ < L. Po podstawieniu s — r2 e /4f możemy napisać:

\Nt(P, Q, t)I < c(5 •

bsll“r

L lĄ hL-f-

r~

l ? +llL)e~s = ke.

Tak więc z warunku \N*(P, Q, t — r ) — N*{P, Q, tx— r)| < K \ t ~ h \ W,V- nika nierówność

w której \

\ jest polem powierzchni

. Stąd mamy warunek (27) |l f S

{P, <)| < jeśli

<

8

sup |^|fce# |$ | = Vi- Z nierówności (25), (26) i (27) wynika

(28) \I(P, t)—I{P , tj) 1 < I , jeśli { t - t ^ < rj*, gdzie rj* = m in ^ i, rjz).

Zbadamy teraz ciągłość całki I ( P ,t) względem współrzędnych punktu P powierzchni

. Przedstawmy następująco moduł różnicy tych całek:

\I(P, < ) - 1 ( Р х < ) | < \ISK(P, < ) - 1 ^ ( Р

, *)| + \I

- S

(P, i ) ^ I 5 - ^ ( P x , t)\.

Moduł całki I sK spełni następującą nierówność:

J I S * ( P , < ) I < 2 4 c p | - ^ j s u p ^ | 7 r J

= 2 4 c p | - ^ j s u p | v | y ^ oraz

1,

< ) | < 2 4 c P ( | - j s u p l « | 7 c J 1+hLdr = 2i~hL3hLcnP sup \v\

jeśli przyjmiemy, że rPPl ^re. Z powyższych nierówności wynika (29) |i s* (P , t ) - I sz ( P lt <)l < 3 - 2 w ( |) s u p M A £ V ^ = ~

przy ustalonej już wartości (26') promienia re.

Aby zbadać różnicę I

~

(P , t ) —I S~8K (Plt t), można zastosować twierdzenie o przyrostach. Pochodna funkcji N* względem współrzędnej

od

punktu P wyrazi się następująco:

= r

/

cosvPOexp ^)rPQ] =

=

VP

cos

P

—

s)e~s, gdzie s — rPQ/Łt. Można więc napisać

\ N * ( P , Q , t ) - N * ( P

, Q f t)\ <Jc*rPPl oraz dla różnicy całek:

\Is -

K (P t t)| < lc*&\S\m-p\v\rPPl.

Stąd wynika

(30) \Is - s^ ( P , t ) - I s - s^ ( P

,t)\ < | , jeśli rPPl <

8

Tc # |$ | sup \v\

Stwierdzamy więc, że zachodzi nierówność

(31) \I(P, t ) - I ( P lf 01 < łe , jeśli rPPl < rf*.

Z warunków (28) i (31) wynika żądany warunek (24), w którym r)e =

= min fo*,

- Co do całki

0

s

r )/i (Q , r)dQdr

występującej w równaniach (13), to spełnia ona nierówność

|COS VA Q \

I

(^M)I <

sup . ,

8 VaQ

ponieważ

И ff ^| J' s1/2e sds\dQ <

3sup j^|

' V 4<

s

COSVąq

*

d Q \ < к .

O <pewnych zagadnieniach Fouriera 77

Można więc wykazać jednakową ciągłość całek I* ( A , t) względem współ­

rzędnych pnnktn A i czasn t.

Tak więc funkcje u (A, t) i v(P, t), odpowiadające według przekształ­

cenia (13) funkcjom T{A , t) i /л{Р, t), są jednakowo ciągle. Z twierdzenia Arzeli wynika więc, że zbiór Z* wszystkich punktów przekształconycłi

[u,v] jest zwarty.

Na podstawie twierdzenia S c h a u d e r a istnieje zatem w zbiorze Z punkt U* [T* { A , t), у* ( P , t)] niezmienniczy względem przekształcenia (13), a to znaczy, że funkcja T ( A , t) jest w obszarze [f?, (0, #)] rozwią­

zaniem zagadnienia.

II. Zagadnienie F o u riera w ośrodku prom ieniującym niejednorod­

nym. Zagadnienie zmiany w czasie rozkładu tem peratury w ośrodku przewodzącym niejednorodnym sprowadza się do rozwiązania zagadnie­

nia Fouriera pierwszego rodzaju dla następującego równania całkowo- różniczkowego:

(32)

:Ь[Т(А,Щ = a ( A , t ) A T ( A , t ) + i=i

0 T ( A f t)

d T ( A , t)

T Y { A , t ) T ( A , t y

dt

f [ A , t, T ( A , t ) ] + f / j а в

J Z J r A B

Należy wyznaczyć funkcję T ( A , t), która spełnia równanie (32) w obsza­

rze [ £ , (0, #)] oraz warunki (2) i (3).

Przyjmiemy następujące założenia. Współczynniki równania (32) spełniają w obszarze [£? + $, ( ( ) , #) ] warunki:

(33) m f a ( A , ł ) >

, \a(A, t y -

(X) K K[rh AAt + (34) | f t ( A , ł ) - f t ( A x,()| ^ kt rh AAl (j ~ 1 , 2 , 3 ) , (35) iy ( A , t ) - y ( A v 4)| < byr \ Al,

gdzie fca, kp, kY są stałymi dodatnimi, a wykładniki h i h

są dodatnie, niewiększe od jedności. Nadto w obszarze (4) spełnione są warunki:

(Г) |f { A , t , u)—f { A lt t, %)| < funkcja f { A , t, u) jest ciągła względem zmiennej t.

(1Г) \F(A, B , t, и)— P { A

Б , t, %)| < funkcja F ( A , В, t, u) jest ciągła względem B i t .

Powierzchnia S spełnia, warunek (5).

Szukana funkcja T ( A , t) spełni następujące równanie całkowe:

(36)

t

= — ( 2 / т с ) - 3

f f f [a(J?,r)]-5'2e (4 ,« ;£ ,T )ł’*[if,T,

,

a

w którym funkcja F* jest określona wzorem (7), a funkcja (37) = r ( A , t ; B , r ) - H ( A , t ‘,B , r )

jest funkcją Greena względem obszaru Q spełniającą warunki (38) limćr(JL, łj В ,

) = 0, lim G ( A y <; B , x) =

.

* t - > г A —> P e S

Funkcja Г (A , t ] B , r ) jest rozwiązaniem podstawowym równania D(u) =

i ma postać

(39,

+ / / / / < * - ф<л' >* B -

gdzie jest obszarem zawierającym wewnątrz obszar domknięty Q-\-

. Współczynniki ot, /91? /52, /5

i

występujące w równaniu (32) są prze­

dłużone na obszar [ £ '; (0, $)] z zachowaniem warunków Hóldera (33), (34), (35) założonych dla tych współczynników w obszarze (0, #)].

Funkcja Ф (А , t- B , t) jest rozwiązaniem równania Yolterry:

(40) <P{A,t-,B,r) =

i

f: = 2 [ l ( 4 , « ; B , r ) + j f f j N ( A , t ; M , Q 0 { M , C - , B , x ) d M d c \ ,

t Q'

gdzie jądro N zostało określone przez następujący związek:

(41)

C) =

= [a{A,t)]~

l

B A J ( ^ C ) ~

/

e x p [ --- --- 1].

’ A’

FL 4a(Jlf, £)(*-£) Jj

Można wykazać przy założeniu (33), że jądro N spełnia nierówność (42) * I J f ^ ^ i J f . O K e o n s t ^ - f ) - ^ ^ - ^ * ,

gdzie k* = min(/i, 2A')> |И«(1 — (zob. [4]).

O pewnych zagadnieniach Fouriera 79

Dzięki słabym osobliwościom w nierówności (42), będzie więc istniało jedyne rozwiązanie równania (40) o następującej postaci:

(43) r) =

t

= I N {А, Ц В, т) + Я

J JJ ; M , £)N{M, £; B , r )dMd£, r D'

gdzie jądro rozwiązujące jądra N jest sumą szeregu

00

(44) Ч1 (Д,ЦМ,С) = * N ( A , t i M ,Z ) + 2 x ' N , ( A , t - , M , Z ) ,

>- =

a jądra iterowane są określone przy pomocy następującego związku reku- rencyjnego:

(45)

Г,+

(А, *; ЛГ

= t

= f f f f N v( A , P , n , e ) N ( n ,

-,M ,ę) dn d d (N

= N).

C O'

Eozwiązanie (43) równania (40) jest określone i ciągłe w każdym punk­

cie А Ф В obszaru Q' i dla każdej chwili t z przedziału (r, #). Można udo­

wodnić (zob. [4]), że funkcja Г ( А , t \ B , r), określona związkiem (39), spełnia nierówność

|Г(^., <; Б , r)| < const (i— т)~‘

г

Ъ в 2/<

i że również funkcja Greena (37) spełnia taką samą nierówność:

(46) |Щ А , Ц В , т)| < k

[ t - т ) - " ^ * '* ,

gdzie kG jest stałą dodatnią, \i zaś jest liczbą występującą w nierów~- ności (42).

Eozwiążemy zagadnienie metodą kolejnych przybliżeń. Utwórzmy więc nieskończony ciąg funkcji:

(47) T

, T l r T z, . . . , T n, . . . określonych przy pomocy związku rekurencyjnego (48) Tn+l(A , t) =

i

=

J f j f G ( A , t ; B,

)[« (£ ,

)]-

,

- Г [ 5 ,

o a

Zażądamy, żeby wszystkie wyrazy ciągu (47) spełniały nierówność

Załóżmy, że jest ona spełniona dla wskaźnika n i znajdźmy ocenę wy­

razu następnego w oparciu o nierówność (46). Zauważmy jeszcze, że ze względu na założenie (33) istnieje taka liczba dodatnia a, że dla każdego punktu A e Q + S i dla każdej chwili łe(

, #) mamy

■ — < a ( A , t) < a.

a

Pisząc następnie Mf — su p |/(A , t, u )| i MF = su p |F (A , В , t , u)| bę­

dziemy mieli dla wyrazu T

następującą ocenę:

t

|2V+1(4,< )| = Ul

(« - т ) - " < г т ///г - 3+2''йг +

o a

t

+ |Д|

( ( - т Г 'й т

о ' я я

gdzie co' jest pewną stałą niezależną od liczb MF i L — supr^#.

a Aby więc zachodziła nierówność (49) dla wyrazu ciągu (47) o wskaźniku n +

, wystarczy, żeby czas t zawierał się w następującym przedziale:

Г д Г /(1_/<) Q

(50)

< < < l ^ M fL

fl+ M FL 2f,+1)\ ~

Należy jeszcze zbadać zbieżność szeregu o następującej postaci:

oo

(51) T , + 2 ( T . + 1- T . ) -

n= o

Dzięki założonym warunkom (I') i (1Г) można dla ogólnego wyrazu szeregu (51) napisać następującą nierówność:

t

|Z V i- T . \ ś b / W f f f f e ( A , i ; B , T ) \Tn- T n_l\dBdx+

o a

l

+ Ul f f f f f f f e ( A , t ; M , C ) r ś

MITn- T „ ^ l d M d B d C .

Opierając się na nierówności (46) i dokonując koniecznych prze­

kształceń, łatwo uzyskujemy następującą ocenę:

| T

- T n | < 2R — - (JcfMfL

+ TcFMFL ^ +

f f ^ - A.

n\

Szereg (51) jest więc bezwzględnie zbieżny w przedziale (50), a jego suma

jest jedynym rozwiązaniem równania (36). Funkcja T ( A , t ) będzie także

O pewnych zagadnieniach Fouriera 81

rozwiązaniem równania (32) oraz spełni dane warunki, początkowy (2) i brzegowy (3), jeśli prawa strona równania (32), określona związkiem (7), spełnia warunek Hóldera względem współrzędnych punktu A oraz jest ciągła względem zmiennej t. Dzięki założeniom przyjętym dla funkcji / i F, wystarczy udowodnić następujące twierdzenie:

Twierdzenie.

Jeśli funkcja w ( A , M , t ) spełnia warunek Hóldera

gdzie к jest stałą dodatnią, a wykładnik o spełnia nierówność

< o <

, to całka

spełnia warunek Hóldera postaci

(53) \ W ( A , t ) - W ( A

,t)\ ^ k ' r a AAi ( 0 < a ' ^ o ) .

Dowód. Rozważmy kulę К o środku w punkcie 1 i o promieniu rk —

rAAl. Oznaczając przez K ' część kuli К leżącą wewnątrz obszaru

Q i przez Q —K ’ pozostałą część obszaru Q, możemy napisać:

(54) < \WK'(A,t)\ + \WK'( A

,t)\ +

Badając poszczególne wyrazy po prawej stronie powyższej nierówności

otrzymujemy kolejno: ’

(55) \WK’( A , t )| < | WK{A,t)\ <

(52) \w(A, 31, t) — w (A t , 31, J)| < kr°AAi,

+ | W Q- K' {A , t) - W ° - K' ( A ^ t ) |.

к o

3 rAAl

(56)

ЖХ' (АХ, i)| < 4-Trsup\w\ J dr = 127rsup\w\-rAAl.

o Zbada™'" *лт,г*" •

R o c z n i k i P T M — P r a c e M a t e m a t y c z n e V I 5

Wobec oczywistych nierówności

\Г А М ~ Г А 1м \ ^ r A A 1

oraz

r

^

możemy następująco ocenić ostatnią całkę w nierówności (57):

<68> JJJ

Q - K '

Ir A xM ~~ Г А М I

^AM^A^M

4 nr*dr (JM <

rAAl

irAAx

= 407cr^1|log(21>^^1)| < ^ ( e ) ^ ponieważ iloczyn r ^ l o g r ^ ^ jest ograniczony. Porównując wyniki (54), (55), (56), (57), i (58) napiszemy ostatecznie:

\ W( A, t)— W( A 1, t)\ <

r:sup|w;|r

кт;кг

A ; ( e ) s u p | w | <

< k ' r a AAl,

gdzie a =

— e jest liczbą dodatnią, dowolnie mniejszą od jedności.

Granica ciągu (47) jest więc istotnie rozwiązaniem zagadnienia, gdy warunek wystarczający (50) jest spełniony.

Prace cytowane

[1] H. Gr. D r e s s e l, The fundamental solution of the parabolic equation, Duke Mathematical Journal 13 (1946), str. 61-70.

[2] M. G e v r e y , Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique, Journal de Mathematiques 78 (1913), str. 305-471.

[3] W. P o g o r z e ls k i, IŹtude de la solution fondamentale de Vequation parabolique, Ricerche di Matematica 5 (1956), str. 25-57.

[4] —• IŹtude d'une fonction de Green et du probUme aux limites pour Vequation parabolique normale, Annales Polonici Mathematici 4 (1958), str. 288-307.

[5] — Własności potencjałów cieplnych w teorii równania przewodnictwa, B iu­

letyn WAT 29 (1957), str. 3-42.

[6] D. S a d o w sk a , Sur une equation integro-differentielle, Annales Polonici Mathematici 7 (1959), str. 81-92.

[7] J. S c h a u d e r , Der FixpunUsatz in FunTctionalraumen, Studia Mathema- tica 2 (1930), str. 171-180.

M. Три ярска (Варшава)

О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ФУРЬЕ РЕЗ ЮМЕ

I. Задача Фурье внутри излучающей однородной среды. Автор исследует задачу Фурье первого рода для уравнения

d T ( A, t ) г г г F [ A , B , t , T ( A , t ) ]

( 1 )

J J J V V - < Ш .

dt a К А В²

O pewnych zagadnieniach Fouriera 83

t. e. исчет функцию T{ A, t ) , которая во всех точках А пространства Q ограни­

ченного поверхностью Ляпунова 8 и для всякого te(0 ,# ) выполняет уравнение (1) и условия:

lim T { A , t ) = 0, lim T ( A, t ) — 0.

A^PeS t

Автор решает эту задачу методом неподвижной точки принимая сле­

дующие предположения для заданных функций:

\ f ( A, t , м ) - / ( Л 191, %)! < co n st[rhJ Al +

IF( A, B, t, u) — f { Ax, B, t, «j)| < const \u—u1]h F],

где h f , h f , h f f , h p — положительные постоянные меньше единицы; функции f, F непрерывны относительно точки В и времени t.

П. Задача Фурье внутри излучающей неоднородной среды. Автор исследует задачу Фурье первого рода для уравнения

з

a ( A , t ) A T ( A , i ) + J T fy{A , t)

7 = 1

дТ( А, t)

dxj

di

= f [ A , t , T ( A , t n +

Iff

Q

F [ A , B , t , T { B , t ) ] ГАВ2

которому удовлетворяет температура внутри излучающей неоднородной среды.

Предположения для заданных функции более сильные, именно:

If ( A , t , u ) - f ( A 1,t> %)| < const[rJk + |« —« j|],

\ F( A, B, t, u) — F { A x, B, t, %)I < const [ r ^ + \u— wx|], inf a ( A , t) > О, I a { A, t ) — a { A1, t l )\ < + I t - t ^ ],

Щ А . Ъ - Щ А ^ t) I < h / AAi {I = 1 , 2, 3),

Iy ( A , t ) —y { A 1, f)| < 0 < h < 1, 0 < V < 1, ka, kp, Tcy > 0.

Автор вводит функцию Грина относительно пространства Q и решает полу­

ченное интегральное уравнение методом последовательных приближений.

М. Tryjarska (Warszawa)

ON CERTAIN FOURIER PROBLEMS S U MMA R Y

1. A Fourier problem in a radiant homogeneous medium. The problem consists in determining the function T (A , t), which in each point A of the domain Q is limited by the Liapunoff surface 8 and in each moment t e(0, -&) satisfies the equation

AT ( A, t ) - dT { A , t)

dt f l A , t , T ( A , t ) } +

J'JJ

dt _{T AB}² dB

and the following conditions:

lim T (A ,t) = 0 and lim T ( A, t ) = 0.

A - > P t S t-> о

The functions f ( A , t , u ) and F ( A , B , t , u ) are assumed to he continuous in В and t and to satisfy the Holder condition in A and u. The topological method is applied.

II. A Fourier problem in a radiant inhomogeneous medium. The same Fourier problem for the equation

-Л d T( A, t ) л m л ' дТ{ А, t) a ( A , t ) A ( A , t ) + 2 j -~- J x + V ( A , t ) T { A , t ) --- -

i_1 J

F [ A , B , t , T ( B , t )]

гав

is considered. The coefficients a{ A, t), fa (A, t) and y ( A, t ) satisfy the Holder condi­

tion; the functions / and F satisfy the following conditions:

\ f ( A, t , u ) — f { A 1, t , u 1)\ < const

\ F{ A, B, t, u) — F { A l , B, t, Mj)i < const [ r ^ + |u - u ^ ] , hf , 7 ^ ( 0 , 1).

The Green function corresponding to the domain Q is introduced and the method of the successive approximations is used.

= f t A , t , T ( A , t ) l + [J f

' ó