TEORIA GIER Lista 7

TEORIA GIER Lista 7

Zad 1. Poka», »e dla nast¦puj¡cej znormalizowanej gry kooperacyjnej rdze«

gry jest pusty v({1, 2}) = 7

10, v({1, 3}) = 4

5, v({2, 3}) = 9

10, v({i}) = 0.

Zad 2. Udowodnij, »e dla gry istotnej o staªej sumie tzn. takiej, »e v(K) + v(N − K) = v(N) i v(N) >∑

i∈N

v({i}),

gdzie K ⊂ N, a N-koalicja zªo»ona ze wszystkich graczy, rdze« gry jest pusty.

Zad 3. Rozwa»my gr¦ kooperacyjn¡ z nast¦puj¡ca funkcj¡ charakterystyczn¡

v({1, 2}) = 13

23, v({1, 3}) = 11

23, v({2, 3}) = 10

23, v({i}) = 0.

Wyznacz rdze«, rdze« ostateczny i j¡dro gry.

Zad 4. Rozwa»my gr¦ kooperacyjn¡ z nast¦puj¡c¡ znormalizowan¡ funkcj¡

charakterystyczn¡

v({1, 2}) = 2

3, v({1, 3}) = 1

3, v({2, 3}) = 1 6. Wyznacz rdze«, rdze« ostateczny, j¡dro gry oraz wektor Shapley'a.

Zad 5. Wyznacz j¡dro gry dla nast¦puj¡cej znormalizowanej gry czterooso- bowej:

v({1, 2}) = 4

13, v({1, 3}) = 4

13, v({1, 4}) = 3 13, v({2, 3}) = 6

13 v({2, 4}) = 2

13 v({3, 4}) = 2 13, v({1, 2, 3}) = 10

13 v({1, 2, 4}) = 7

13 v({1, 3, 4}) = 7

13 v({2, 3, 4}) = 8 13.

Zad 6. Rozwa»my tzw gr¦ wa»onego gªosowania [w1, . . . w_n, q] w której gracz i dysponuje wi gªosami, a q jest liczb¡ potrzebn¡ do podj¦cia decyzji. Funk- cja charakterystyczna v przyjmuje warto±¢ 1 dla koalicji S, które s¡ w stanie podj¡¢ decyzj¦ i zero je±li nie. Oblicz siª¦ graczy posªuguj¡c si¦ indexem Shapley'a i Banzhafa dla nast¦puj¡cych gier:

(a) [49, 48, 3; 51]

(b) [2, 2, 1; 4]

(c) [2, 2, 1, 1; 4]

(c) [40, 12, 12, 12, 12, 12; 51]

(d) [40, 10, 10, 10, 10, 10, 10; 51].

2