Test χ2 dla rozkªadów dyskretnych Zaªó»my, »e zmienna losowa X ma rozkªad dyskretny zadany przez {(wi, pi

Test χ²  teoria

Niech X1, . . . , X_n b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu Pθ, θ ∈ Θ, oraz α ∈ (0, 1).

Oznaczenia: r  ilo±¢ statystyk obliczonych z próby,

F_χ²_(k−r−1)  dystrybuanta rozkªadu χ² z k − r − 1 stopniami swobody, u_1−α = F_χ⁻¹2(k−r−1)(1 − α).

Test χ² dla rozkªadów dyskretnych

Zaªó»my, »e zmienna losowa X ma rozkªad dyskretny zadany przez {(wi, p_i) : i = 1, . . . , k}, gdzie warto±ci wi, i = 1, . . . , k s¡ znane, a prawdopodobie«stwa pi, i = 1, . . . , k nie s¡ znane.

Oznaczenia: ni, i = 1, . . . , k  liczebno±ci empiryczne,

p⁰_i = P (X = w_i), i = 1, . . . , k  prawdopodobie«stwa teoretyczne, n⁰_i = np⁰_i, i = 1, . . . , k  liczebno±ci teoretyczne.

H₀ : (p₁, . . . , p_k) = (p⁰₁, . . . , p⁰_k), H₁ : (p₁, . . . , p_k) 6= (p⁰₁, . . . , p⁰_k) Statystyka testowa jest równa

χ² = Xk

i=1

(n_i− n⁰_i)² n⁰_i . Obszar krytyczny:

K = (u_1−α, +∞).

χ² ∈ K  odrzucamy hipotez¦ H0, przyjmujemy H1

χ² ∈ K/  nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0

Test χ² dla rozkªadów ci¡gªych

Zaªó»my, »e zmienna losowa X ma rozkªad o ci¡gªej dystrybuancie F . Dane grupujemy w k klas: I1 = (−∞, a₁], I₂ = (a₁, a₂], . . . , I_k−1 = (a_k−2, a_k−1], I_k = (a_k−1, ∞) takich, »e 10k 6 n oraz p⁰i ≈ ¹_k.

Oznaczenia: ni, i = 1, . . . , k  liczebno±¢ empiryczna klasy Ii,

p⁰_i = P (X ∈ I_i), i = 1, . . . , k  prawdopodobie«stwa teoretyczne, n⁰_i = np⁰_i, i = 1, . . . , k  liczebno±¢ teoretyczna klasy Ii.

H₀ : X ∼ F, H₁ : X  F Statystyka testowa jest równa

χ² = Xk

i=1

(n_i− n⁰_i)² n⁰_i . Obszar krytyczny:

K = (u_1−α, +∞).

χ² ∈ K  odrzucamy hipotez¦ H0, przyjmujemy H1

χ² ∈ K/  nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0

Uwaga: Je»eli n⁰_i < 10 dla pewnego i, to nale»y poª¡czy¢ odpowiadaj¡c¡ warto±¢ lub klas¦

z warto±ci¡ lub klas¡ s¡siedni¡ i zredukowa¢ liczb¦ stopni swobody (r w takim przypadku si¦

nie zmienia, zmniejszamy tylko k).