Jahrgang X X III. 1917. No. 8.
U nterrichtsblätter
für
Mathematik und Naturwissenschaften.
Organ des Vereins zur Förderung des m athematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts.
B eg rü n d et u nter M itw irk u n g von
B ernhard S ch w a lb e
undF ried rich P ietzk er,
von diesem geleitet bis 1909, zurzeit herausgegoben von
P rofessor
K arl Schwab,
Oberlehrer an der Klinger-Oberroalsohule in Frankfurt am Main unter M itw irkung von Dr.A u g u s t M aurer,
Direktor des Kgl. Realgymnasiums in Wiesbaden.V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W. 6 7 . Redaktion: A lle fach w issen sc h aftl. M itteilu n g en und Sendungen
w erden an Prof. K. S c h w a b , F ra n k fu rt a. M., G ünthers- b u rg a lle c 33 erbeten. M itteilungen u. S endungen ü ber Schul- u. U n terrich tsre fo rm w olle m an d agegen d ire k t an D ire k to r D r. A. M a u r e r , W iesbaden, K ied erh erg str. 1, rich ten . Verein: A nm eldungen und B e itra g sz a h lu n g e n fü r den V erein
(5 Mk. Ja h re s b e itra g ) sind au den S ch atzm eiste r, P rofessor P r e s l e r in H annover, K ö n ig sw o rth erstraß e 47, z u ric h te n .
Vorlag: D er B e z u g s p r e i s fü r den J a h rg a n g von sN u m m e rn is tä M k .p r ä n u m ., fü r einzelne N um m ern 6 0 P f. Die V erein s
m itg lie d er e rh a lte n die Z e its c h rift k o ste n lo s; frü h ere J a h r g änge sind durch den V erlag bez. eine B u c h h a n d lu n g zu be
ziehen.
A n z e i g e n ko sten 2 6P f. fü rd ie 8 -g c sp . N o n p ar.-Z eile; bei A ufgabe h a lb e ro d . g a n z e r Seiten, sow ie bei W ied erholungen E rm äß ig u n g . — B e n ag eg eb ü h ren n ach U eb erein k u n ft.
N achdruck d er einzelnen A rtik el ist, w enn ü b erh au p t n ic h t besonders ausgenom m en, n u r m it g e n a u e r A n g ab e d e r Quelle und m it d er V erpflichtung d er E in sen d u n g eines B elegexem plars a n den V erlag g e sta tte t.
Inhalt: Die neue Prüfungsordnung für das höhere Lehramt und die Ordnung für die praktische Ausbildung in bezug auf die mathematisch-naturwissenschaftlichen Lehrfächer. Von Oarl H o in r. M ü l l e r in Frank
furt a. M. (S. 117). — Die Behandlung der sphärischen Astronomie und mathematischen Erdkunde an der Hand eines neuen Lehrmittels (D. R. Gr. M. gesetzlich geschützt). Vo n Prof. Dr. A. A c k e r m a n n in Bonn (S. 120). — Zur Herrmnnnschen Verallgemeinerung des pythagoreischen Lehrsatzes. Von Gymnasialoberlohrer E. S t u c k e in Leipzig-Gohlis (S. 123). — Der Pythagoreische Lehrsatz, eine Folge der distributiven Eigenschaft des skalaren Produktes. Von Prof. Joh. K l e i b e r in München (S. 124).
— Das Minimum der Ablenkung in einem Prisma. V o n E r a n z H o c h h e i m in Weißenfels a. S. (S. 124).
— Ein Nachweis der Resonanz hei Wechselstrom niederer Frequenz. Von F r a n z H o c h h e i m in Weißenfols a. S. (S. 126). — Die Verwendung des Wurzelzeichens im mathematischen Unterricht. Be
merkungen zu dem Bezeichnungsvorschlag des DAMN1J. Von H. E. T i m er ding in Braunschweig (S. 126,1. — Vorschläge zur Schulreform. Von Dr. S c h m i e d e b e r g in Bielefeld (S. 128). — Persön
liches (S. 131). — Büeher-Besprechungen (S. 131). — Verzeichnis der hei dem Verlage zur Besprechung eingegnngenen Bücher (S. 136). — Anzeigen.
D ie n eu e P rü fu n g so rd n u n g für das h öh ere L eh ram t und die Ordnung für die p ra k tisch e A u sb ild u n g in b ezu g au f die m ath em atisch - n a tu r w issen sc h a ft
lich en Lehrfächer.
Von Carl H e i n r. M ü l l e r (Frankfurt a. M.) D ie Veränderungen, die durch d iese N eu
ord n un g vom 28. Juli 1917 gegenü b er der alten Ordnung vom 12. Septem ber 18 9 8 hervorgerufen w erden, sind zum T eil recht einschneidender Art.
D as aber kann bereits von vornherein auch von den Vertretern der exakten Lehrfächer gesa g t w erden, daß die Hauptveränderungen freudig zu begrüßen sind, sow oh l die Z erlegung der S taats
prüfung in eine w i s s e n s c h a f t l i c h e und eine p ä d a g o g i s c h e als auch die Forderung von m indestens z w e i Hauptfächern und einem N eb en fach als G rundbedingung für ein Lehram ts
zeugnis. D iese G rundpfeiler der neuen Ordnung entsprechen unseren W ünschen durchaus, sie ver
bürgen ged ieg en e w i s s e n s c h a f t l i c h e A us
b ild un g und p r a k t i s c h e V erw endbarkeit im höheren Lehramt. W ir sind dem geschiedenen M inister, Herrn v o n T r o t t , zu lebhaftem Dank verpflichtet dafür, daß er d ieses W erk mehr
jähriger A rb eit noch unter D ach und Fach g e bracht, und w ir zw eifeln nicht daran, daß er sich dam it ein letztes, dauerndes Denkm al g e se tz t hat. D er P hilologenstand ist ihm zudem noch ganz besonders dafür dankbar, daß er den E ntw urf mehrfach den verschiedensten Kreisen der Oberlehrer zur eingehenden B egutachtung v o rg e le g t hat. D ie folgen de Besprechung b e
zieht sich im w esentlichen auf d ie P r ü f u n g s ordnung, w en ig er auf die Ordnung für die prak
tisch e A usbildung, denn letztere b rin gt nur w en ig F in g erzeig e in b ezu g auf die Sonderart von M athem atik und N aturw issenschaften. E tw as eingehender b eschäftigen sich schon die halbam t
lichen „Erläuterungen“ des Vortragenden M ini
sterialrates Herrn D r. K a r l R e i n h a r d t m it der praktischen A usbildung der exakten P h ilo lo g e n *.
1 Re i n h a r d t , Dr. Karl, Geh. Ob.-Reg.-Rat und vortr. Rat im Kultus-Ministerium: E r l ä u t e r u n g e n zu der Ordn. d. Prüfung u. zu der Ordn. d. prakt. Aus
bildung f. d. Lehramt an höheren Schulen in Preußen.
Berlin, Weidmann. 1917. Eine Würdigung dieser be
deutsamen und vortrefflichen Schrift nach der math.- naturw. Seite hin behalten wir uns vor. Hier sei nur bemerkt, daß das Buch vielfach Bezug nimmt auf des
selben Verfassers „Die schriftlichen Arbeiten“. 3. Aufl.
Weidmann. 1916.
S. U S . Un t e r r i c h t s b l ä t t e r. Jah rg . X X III. No. 8.
D ie F estsetzu n g der Studiendauer auf a c h t Halbjahre (§ 5) entspricht led iglich den tatsäch
lichen V erhältnissen. Erfreulich is t die V er
m ehrung der an technischen H ochschulen zu
lässigen S tu dienzeit von 3 auf 4 Halbjahre für M athematiker, P h ysik er und Chemiker. B eson ders w ich tig ist d iese B estim m ung für M athe
m atiker, d ie den A n w e n d u n g e n zuneigen, und das w ird w o h l bei den m eisten Schulmathema- tikern der F all sein. V iele haben es schon nach der alten Ordnung w oh ltätig empfunden, daß sie die ersten Sem ester auf technischen H ochschulen studieren durften, w o ihnen zahl
reiche G elegenheiten zu praktischen H ebungen, Z eichensäle u. dergl. zur V erfügung standen. W ie es dam it auf den U niversitäten steh t, is t satt
sam bekannt. A ber auch der P hysiker wird, w enn er N eigu n g für angew andte Mechanik und praktische P h ysik h a t, besonderen N utzen in t e c h n i s c h e n V orlesungen linden ( § 2 6 ) .
Ein glü ck licher Griff bei der F eststellu n g der Prüfungsfächer (§ 8) is t d ie Einführung von Z u s a t z f ä c h e r n neben den 1.3 Fächern, die man als Pflichtfächer bezeichnen kann. Bedauerlich ist nur, daß diese Zusatzfächer säm tlich im R ange von Nebenfächern erscheinen (§ 8, A bs. 5).
Ferner verm ißt man unter ihnen angew andte Mechanik und P h ysik , so w ie M eteorologie und G e o p h y sik ; d iese sind aus unerfindlichen Gründen nach § 26 dem Zusatzfache „A ngew andte M athe
m atik “ zu gew iesen w orden. — Nach der alten Ordnung w ar angew andte M athem atik ein H aupt
fach, und w ir erblicken in der H erabminderung ihrer S tellu n g einen R ückschritt. D as lä ß t sich leich t an einem B eisp iel erkennen. Nach der neuen Ordnung w äre die g eg eb en e Fachverbin
dung für einen G ym nasial-M athem atiker: M athe
m atik n eb st P h ysik als Hauptfächer und B io lo g ie (B otanik und Z oologie) als Nebenfach, ein voll g erü tteltes und g esch ü tteltes Maß, w o b ei ein Aufnehm en von angew andter M athem atik aus
gesch lossen erscheint. W o llte der K andidat aber B io lo g ie durch angew andte M athem atik ersetzen, so w ürde die Prüfung eine g e w isse Erleichterung erfahren, indem ein T eil der Anforderungen für die an gew and te M athem atik b ereits durch reine M athem atik g ed ec k t ist, aber seine V e r w e n d b a r k e i t in der Schule ist d a u n w e sen tlic h ein
geschränkt. D ie angew andte M athem atik kom m t also in s H intertreffen und doch ist s i e es gerade, die dem S c h u l m a t h e m a t i k e r n ottut, der viel eher auf ein ig e höheren G ebiete der reinen M athem atik verzichten könnte (§ 20 b), als auf die A nw endungen. Um die Sache kurz zu fa s s e n : Man hätte angew andte M athem atik, s o w ie M ineralogie und G eologie unter die 13 P flich t
fächer aufnehmen sollen , dam it sie g egeb en en falls auch als H auptfächer hätten auftreten können. Das H ineiupressen der M ineralogie und G eologie in die Chemie hat diese überaus w ich
tigen Fächer schon früher schw er gesch ädigt, und w ir sehen nicht, daß es für die Zukunft b esser w ird. A ndererseits is t die Aufnahme von Zeichnen, Singen und Turnen unter die Zusatz
fächer eine hoclierfreuliche Erscheinung. E s steh t zu erwarten, daß sich die M athem atiker r e c h t h ä u f i g das Zeichnen als Zusatz- und N eben
fach w ählen w erden, w as ihre Verwendbarkeit, nam entlich an R ealanstalten, erheblich verm ehrt.
W as nun die A n f o r d e r u n g e n in den ein
zelnen Fächern betrifft, so is t die kurze F assu ng in der M a t h e m a t i k (§ 20 ) nur zu b illig e n ; sie stich t (auch in der P hysik) w ohltu en d ab g eg en die b reite A usführung in manchen anderen Fächern. A uf keinem G ebiete is t dem Prüfer m e h r Spielraum zu gew ähren, als auf dem exakten. Sehr zw eck m äß ig is t auch die U nter
scheidung in H aupt- und Nebenfach sta tt in erste und zw e ite S tu fe; es steh t w ohl zu er
w arten, daß man noch mehr w ie bisher die B e
schäftigun g der Oberlehrer nicht mehr streng nach S t u f e n (Ober-, M ittel- und U nterklassen) bem essen w ird. U eb rigens hätte die M athem atik als N e b e n f a c h der analytischen G eom etrie des R aum es entbehren k ö n n e n ; diese h ätte durch
„U ebung im m athem atischen Zeichnen und nume
rischen R echnen“ ersetzt w erden sollen. Denn daß diese U ebungen auch zum Hauptfach g e hören, is t ganz selbstverständlich. D ie auf B e o b a c h t u n g gegrü n d ete Kenntnis der Grund
lehren der A stronom ie b ei M athem atik als H aupt
fach geh ört eigen tlich zur kosm ischen P h y s i k . D ie Anforderungen in der P h y s i k ( § 2 1 ) sind im allgem einen passend abgem essen. Man verm iß t eine A ngabe über den U m fang m athe
m atischer K enntnisse für P h ysik als Nebenfach.
D aß w ir angew andte Mechanik und P h ysik , so
w ie M eteorologie und G eophysik n ich t als A n
hängsel der angew andten M athem atik, sondern lieb er als s e l b s t ä n d i g e s Z u s a t z f a c h haben m öchten, ist bereits oben bem erkt w orden.
D ie C h e m i e (§ 22) ist in ihren A nforde
rungen recht ausführlich und doch m aßvoll er
örtert. D aß die ..Grundlehren der M ineralogie und G e o lo g ie “ hier ein gefü gt sind, ist an und für sich rich tig, darf aber n ich t zu einer H erab
setzun g dieser G ebiete zu einem Zusatzfache (im R ange eines N ebenfaches § 27) führen. — Den Ansprüchen in B i o l o g i e (§ 23 ) kann ein streb
sam er Student recht w oh l genügen, w enn sie auch zu sehr ins E inzelne geh en ; w ic h tig is t auf jed en F all die B etrachtung des m e n s c h l i c h e n
Organismus und der G esundheitslehre.
Auch die E r d k u n d e (§ 19) fassen w ir in den B ereich der m athem atisch-naturw issenschaft
lichen Fächer, da ohne Z w eifel eine g u te H älfte der schulm äßigen, erdkundlichen Betrachtungen in unser G ebiet fällt. Unseren Kandidaten ist dringend zu raten. Erdkunde als H aupt- oder N ebenfach in den B ereich ihrer Studien zu ziehen,
1917. No. 8. Di e n e u e Pr ü f u n g s o r d n u n g f ü r d a s h ö h e r e Le h r a m t u s w. S. 119.
denn sie gew in n en dadurch einen sehr er
wünschten A nschluß an die ethischen und sprach
lichen Fächer. In den unteren K lassen höherer Schulen b ild et die Erdkunde m it N aturkunde und M athem atik (Rechnen) eine g u t ab ge
sch lossen e, w irksam e E inheit. E rst in den M ittel- und O berklassen n e ig t die Erdkunde mehr der G eschichte zu; indessen so llte sie in derjenigen M ittelklasse, die die erste E r w e i t e r u n g der m athem atischen Erdkunde (nach der Sexta) bringt, stets in die Hand des Mathe
matikers oder N aturkundigen g e le g t sein. U nter den Prüfungsanforderungen ist die „V ertrautheit m it den E lem enten der K artenentw urfslehre“
warm zu begrüßen, denn sie b ild et im m er einen wunden Pun kt in der A usbildung des jungen G eographen. D ie K artenlehre ist ja eigen tlich ein T eil der angew andten M athem atik.
W enn bisher nur von den Ansprüchen in den Pflichtfächern § 8, A und B , und § 1 9 — 23 die R ede war, so bedürfen die A nforderungen in den Z u s a t z f ä c h e r n § 8, C noch einer g e son derten Betrachtung. D iese Fächer sind, en t
sprechend ihrem R ange als N ebenfächer, m aß
voll m it S toff bedacht. A ls sehr w ich tig ist die H ervorhebung der philosophischen Grund
lagen der M athem atik und N aturw issenschaften bei der p h i l o s o p h i s c h e n P r o p ä d e u t i k (§ 24) zu erachten. D ie exakten P h ilologen neigen bekanntlich mehr und mehr der A nsicht zu, daß diese Propädeutik in erster L inie in i h r e n B ereich geh ört, denn gerade hier findet man d ie einfachsten und daher b esten B eisp iele für L o g ik und Erkenntnislehre. W ir em pfehlen daher für die Zukunft die p hilosoph ische P ro
pädeutik unseren Fachstudenten als Zusatzfach.
Auch d ie P ä d a g o g i k ( § 2 5 ) tritt neuerdings mehr und mehr w egen ihrer psychophysischen Grundlagen in den B ereich der exakten Fächer;
ihre A nforderungen sind dazu w oh l ab gew ogen . In betreff der angew andten M athem atik (§ 26) so w ie der M ineralogie und G eo lo g ie (§ 27) haben w ir bereits oben den W unsch ausgesprochen, daß sie als H auptfächer angesprochen werden m öchten. V ielleich t lä ß t sich dies m it der Z eit noch durch eine E rgänzun gs-V erordn un g er
reichen, w ie ja auch die alte Ordnung mehrfach ergänzt wurde. Für diesen F a ll m üßten aller
dings d ie Anforderungen für angew andte M athe
m atik etw as erhöht w erden, und w ir schlagen vor, A stronom ie und G eodäsie (§ 2 5 , 1 und 2) m iteinander zu vereinigen und m it reiner M athe
m atik (als N ebenfach) zu einem H auptfach zu vereinigen. Entsprechend könnte man auch an
gew an d te Mechanik und P h ysik (§ 2 6 , 4 und 5) m it reiner M athem atik (Nebenfach) zu einem Hauptfach verbinden, das man am besten als
„angew andte P h y sik “ bezeichnen w ürde. — E nd
lich ist jedem K undigen ohne w eiteres klar, daß die ausgedehnten Forderungen in M ineralogie
und G eologie (§ 27 ) einem vollen Hauptfach und nicht einem Zusatzfach entsprechen.
D ie übrigen B estim m ungen der Prüfungs
ordnung erscheinen für uns exak te P hilologen überall zutreffend und w oh lerw ogen . D ie E r
setzun g e i n e r häuslichen A rb eit (§ 37) durch einen „B ericht über eine selb stän d ig durchge
führte p r a k t i s c h e A r b e i t , die unter den A ugen des Prüfers ausgeführt i s t “ , kann als eine treffliche N euerung bezeichn et w erden. Daß die Kandidaten der B io lo g ie ein ige F er tig k e it im E ntw erfen von Zeichnungen an der W and
tafel zeigen sollen, w äre am einfachsten, w ie in anderen F ällen, durch ein a m t l i c h e s Z e u g n i s nachzuweisen (§ 39). Besonders w ich tig und w illk om m en is t noch die B estim m u ng (§ 43), daß n ich t ausgeschlossen ist, „dem Kandidaten die B efäh igu ng für ein Hauptfach auch dann zu
zusprechen, w enn er in seiner S tellu n g dies Fach als N ebenfach an gegeb en h at“ .
U eber die z w e i t e P r ü f u n g für Ober
lehrer, die p ä d a g o g i s c h e , ist w eiter nichts zu sagen, als daß sie in allen T eilen zw e ck entsprechend erscheint. A ls Z iel einer z w e i
jährigen V orb ereitu ngszeit le g t sie m it R echt den H auptw ert auf p r a k t i s c h e B e tätigu n g und n ich t auf t h e o r e t i s c h e s W issen . Auch die Form eines K olloquium s b ei der m ündlichen P rüfung ist sehr sym pathisch. B ei den Lehr- proben (§ 53) könnte noch hervorgehoben w er
den, daß den Kandidaten der P h ysik und Chemie ein e x p e r i m e n t e l l e r S toff zur V orbereitung gegeb en w erd e; aber v ie lle ich t hat man das als selbstverständlich angesehen. D ie Ordnung is t sehr allgem ein gehalten, so daß es nicht m öglich ist, E inzelnes herauszuheben, w as für die exakten Fächer von B edeutu ng w äre. H ier kann erst die Erfahrung des nächsten Jahr
zehnts zu einem gesicherten U rteil führen.
Auch die O r d n u n g f ü r d i e p r a k t i s c h e A u s b i l d u n g kann w eg en ihrer allgem einen Form in w en ig en Sätzen besprochen w erden. D er Kernpunkt der ganzen Ordnung, z u e r s t prak
tisch e E infüh lu ng durch einen tüchtigen Schul
mann und d a n n erst t h e o r e t i s c h e U n ter
w eisun g in P äd agogik und D id aktik, ist gesund, w e il naturgem äß. D ie alte Ordnung m achte es bekanntlich so ziem lich um gekehrt und w irk te auf v ie le Kandidaten anfangs geradezu lähmend.
Für w en ig e Fächer w ird aber die Neuordnung naturgem äßer erscheinen als gerade für die Ma
them atik und die N aturw issenschaften. W as der Neuordnung fehlt, an besonderen H in w eisen auf die exakten Fächer, das holen d ie oben er
w ähnten „Erläuterungen“ R e i n h a r d t ’ s nach, die eine gesond erte B etrach tun g erfordern. H ier se i nur soviel g esa g t, daß die Erörterungen in Kap. H , 7, S. 9 0 b is 120 eine trefflich e P äda
g o g ik in nuce darstellen. Für d ie schönen W orte auf S. 111 Uber die m athem atisch-naturwissen-
S. 1 2 0 . Un t e r r i c h t s b l ä t t e r. J a h r g . X X III. No. 8 .
schaftlichen F ächer m üssen w ir „E xak ten “ dem Verfasser dankbar sein, denn sie stehen im g e raden G egensätze zu den phantastischen Lehr
plänen, m it denen in letzter Z eit die p äd agogi
schen Z eitschriften überschw em m t w erden und in denen die u n gerech tfertigte Verkürzung der m athem atischen Fächer eine H auptrolle sp ielt.
D a hält es schw er, d ie vornehm e Zurückhaltung der M athem atiker und N aturw issenschaftler jenen Schw arm geistern gegenü b er aufrecht zu erhalten.
D iese haben auch durch den K rieg n ich ts g e lernt und n ichts vergessen . A llerdings w erden die L eistun gen unserer K riegstechnik, die in der e x a k t e n B ild u n g unserer höheren Schulen w urzelt, m it B edacht n ich t an die breite Oeffent- lic h k eit g ezerrt; aber in unserem R iesenkam pfe sind sie von entscheidender B edeutu ng und das um so m ehr, als w ir h ier auch von unseren F e i n d e n lernen w ollen und m üssen.
D ie B eh an d lu n g der sp h ärisch en A str o n o m ie und m ath em atisch en E rdkunde an der H and e in e s n eu en L eh rm itte ls
(D. R. G. M. g e s e tz lic h gesch ü tzt).
Von Prof. Dr. A. A c k e r m a n n (Bonn).
In den Lehrplänen und Lehraufgaben für die höheren Schulen Preußens finden w ir bei den m ethodischen B em erkungen über die m athem a
tisch e Erd- und H im m elskunde den S a t z : „Jeden
falls ist darauf zu achten, daß neben der .Sicher
h eit der K e n n tn is s e G ew an d th eit in deren A nw endung zu erstreben is t .“ Sicherlich w ird jed er von L ieb e zu seinem F ach e b egeisterte Lehrer sich bem ühen, d ieser Forderung v o ll und ganz gerecht zu w erden. Er kann d ieses aber nur dann, w enn er dafür S orge getragen hat, daß die Grundbegriffe des zu behandelnden G e
b ietes seinen Schülern vollkom m en in F leisch und B lu t übergegangen sind. U nd hierin lie g t der springende Pun kt des Ganzen, hier h eiß t es, m it allen M itteln danach streben, b ei den zu lösenden A ufgaben klare V orstellun gen zu er
w ecken. Besonders w erden auf diesem G ebiete an das räum liche D enkverm ögen A nforderungen g este llt, die n ich t im mer jed em Schüler leich t fallen, w as man häufig im m athem atischen U nter
richt beobachten kann. Daher is t man ja auch im neuzeitlichen U nterrich tsb etrieb e bestrebt, das A nschauungsverm ögen durch g ee ig n ete Lehr
m ittel zu festig en und zu fördern.
B ei dem eingan gs erwähnten A bschn itt des m athem atischen U nterrichtes auf der Oberstufe g ilt es nun in erster L inie, die der W irk lich k eit angepaßten A ufgaben dem A uffassungsver
m ögen der Schüler nahe zu rücken und sie an
zuleiten, dem schw ierigen S to ß e durch häufige U ebungen das rich tige Verständnis und ganz b e
sonders S elb stän d igk eit en tgegen zu bringen.
N ur so kann man dann dam it rechnen, nicht
unter Z w ang Erlerntes und sehr rasch Vorüber
gehendes, sondern B leib en des erarbeitet zu haben.
B e i der Durchnahm e der hauptsächlichsten astro
nomischen E rscheinungen ist nun zum klaren Erfassen derselben ein gu tes L ehrm ittel unum
gänglich n otw en d ig. H ier kom m t man m it dem trockenen W o rt und m it Zeichnungen allein recht schlech t aus. Ein solches Lehrm ittel braucht n ich t gerade ein k o stsp ie lig e s Tellurium zu sein, w elch es sich außerdem v iele A nstalten w egen des hohen K ostenpunktes nicht leisten können und w ollen. Außerdem haben diese Tellurien, R in gku geln u. a. m. auch den N achteil an sic h , den Schüler durch ihre ganze A rt der Zusam m enstellung, die häufig noch durch ein besonderes U hrw erk in T ä tig k eit g e s e tz t w erden m uß, zu verwirren und von dem eigen tlich en durchzunehmenden Lehrpensum abzulenken. H ier führt E infachheit am b esten zum Z iele. In dem von m ir m ehrere Jahre hindurch g eleitete n U n ter
richt habe ich gerade hierauf m ein besonderes A ugenm erk gerich tet, und das w eite r unten b e
schriebene Lehrm ittel is t ein G egenstand, dessen Vorgänger Gumm iball, Stricknadel und Pappe waren. Aus diesen H ilfsm itteln kann und soll auch jed erzeit der Schüler das, w as er g e z e ig t bekom m t, zu H ause nachbilden. Er g ew in n t durch d iese A rt der S elb sttä tig k eit sehr o ft A uf
schluß darüber, ob das Durchgenom m ene auch vollstän d ig von ihm verstanden w orden ist, oder U nklarheiten zurückgeblieben sind.
E ine w eitere A nforderung, d ie an ein gu tes L ehrm ittel zu stellen ist, w äre die, daß sich das nur je w e ils D urchzunehm ende oder zur A uf
gab e G ehörige darstellen läß t, so daß die A uf
m erksam keit des Schülers nicht durch störendes B eiw erk ab gelen k t w erden kann. E ine solche räum liche W iedergab e der A ufgabe erleichtert dem Schüler die A uflösu ng derselben ungem ein.
D ie E inrichtung m eines L ehrm ittels g e sta tte t hierbei in den m eisten F ällen ein sofortiges „A b
seh en “ des sphärischen D reieck es, w elch es später der Ausrechnung zugrunde zu legen ist. Auch ist außerdem die M öglich keit geb oten , das Er
geb n is der A ufgabe abzuschätzen, so daß die nachherige B erechnung auf ihre R ic h tig k e it g e prüft w erden kann. E in ig e am S chlüsse ange
führte B eisp iele zeig en dies, desgleichen auch die V erw end u ngsm öglichk eit des Lehrm ittels.
W en n nun in erster L inie an eine B enützim g des L ehrm ittels im U nterricht der m athem ati
schen Erd- und H im m elskunde auf der Ober
stufe ged ach t w orden is t , so kann es aber andererseits auch auf der U nterstufe im G eo
graphieunterricht zur D arstellun g der w ich tig sten H im m elserscheinungen m it E r fo lg V erw endung finden. Es lassen sich u. a. der täglich e und jährliche Sonnenlauf, die B e w eg u n g der G estirne und unseres M ondes so w o h l im Sinne des P to le- m äischen als auch des K op em ikanischen System s
1917. No. 8. Di e Be h a n d l u n g d e r s p h ä r i s c h e n As t r o n o m i e u s w. S. 121.
vor Augen führen, ebenso die zur B erechnung dienenden w ich tigen drei G rundsystem e, nämlich das H orizont-, A equator- und E k lip tik system . A useinanderzusetzen, in w elcher W eise dieses zu b ew erk stelligen ist, w ürde hier zu w e it führen.
E ine von der Firm a jedem L ehrm ittel b e ig e geb en e A n w eisu n g g ib t über alles eingehend A ufschluß.
Beschreibung des Lehrmittels. A uf einer Grund
p latte G is t unter einem W in k el von G7 0 die A chse A. eingeschraubt. Zur richtigen A ufstellun g dienen die auf der Grundplatte aufgem alten H im m elsrichtungen, w elch e m it den w irklichen des B eobachtu ngsortes übereinstim m en müssen.
E ine hölzerne, um die A chse drehbare H oh l
kugel von 18 cm D urchm esser ste llt die Erde dar. S ie erhält durch einen R in g i ihre vo rg e
schriebene L age. Oberhalb der K ugel w ird die kreisrunde Stundenscheibe S t angebracht, die an ihrem Rande eine E in teilu n g au fw eist, w odurch eine A blesu ng bis auf halbe Stunden m öglich is t; w eitere Z w isch en w erte sind abschätzbar.
A uf der K u gel selb st ist w eith in sichtbar der A equator als ein b reiter schw arzer K reisring auf
gezeich n et, desgleichen der B reitengrad 5 0 0 n. Br.
und ein M eridiankreis. Ein k leiner M essingstab, der den Buchstaben Z trägt, w ird in Bohrungen ein gesteck t, die nach dem M ittelpu nk te der K u gel gerich tet sind, w odurch die Zenitrichtung des B eobachtungsortes erkennbar ist. A ls Ortshori
zon t dient ein 6 cm breiter B lechring H, auf w elch en d ie vier H aupthim m elsrichtungen hervor
gehoben sind. D ieser R in g w ird senkrecht zu
der Z enitrichtung um die Kugel g e le g t, und zw ar so, daß die Nordsüdrichtung in die auf der K u gel aufgetragene M eridianlinie fällt. A uß er
dem is t auf dem R in g zum A blesen der A zim ut
w erte eine T eilu n g von 10 0 zu 10 0 angebracht.
E in D rahtbügel H k, der H öhenkreis, kann auf den H orizon trin g au fgesteck t und an den Zenit- zeiger a n gelegt w erden. S eine E in teilu n g in W in k elgrad e erm öglich t A blesungen der H öhen
w erte der Gestirne. Am unteren A chsenende befind et sich ein durchbohrtes, k räftiges, eisernes Zylinderstück C, w elch es um d ie A chse drehbar is t und durch die Schraube sx in jed er b elieb igen S tellu n g fe stg e ste llt w erden kann. E s trägt zw ei breitere R in ge, von denen der untere ri m it C fest verbunden ist, während der obere R in g r2 um G drehbar und an dem Z ylinderstück selb st durch die Schraube s.2 festgek lem m t werden kann. B eid e R in gstü ck e tragen durch
bohrte S eiten stutzen, in w elch e kreis
förm ig g eb o g en e Drähte einsteckbar sind, die ihrerseits durch die Schrauben s3 und ,s4 festgeh alten w erden können.
A uf beiden Drähten lassen sich k leine H olzkugeln verschieben, w elch e die Sonne, den Mond oder irgend einen Fixstern vorstellen sollen. D ie B e w e g lic h k eit des oberen R in ges r2 lä ß t die E instellun g eines b elieb igen Sternes in b ezu g auf d ie Sonne oder u m ge
kehrt zu. D er in den unteren R ing »q einsteckbare D raht, der D ek lin ation s
kreis, trägt eine g u t sichtbare E in
teilung. D ie Marke ,,0 “, kenntlich an 3 ringförm igen E inschnitten, w ird durch die verlängert ged ach te Aequa- torebene hervorgerufen. Von hier aus sind nach oben und unten 7 gleich e T eilstü ck e abgetragen, d ie so lang- bem essen sind, daß sie einem W in k elw ert von 3 1/ 3° entsprechen. Für diese 7 T eilstü ck e kom m t demnach ein G esam t
wert, von 7 • 3 x/ a = 2 3 1/.j° heraus, der m it g e ringer A bw eich un g dem höchsten W er te der S onnendeklination von 2 3 1/ 2 ° entspricht. Durch diese T eilu n g des D rahtstückes kann man daher die Sonne auf jed e erforderliche D ek lin ation ein
stellen . Für größ ere D ek lin ation sw erte als 2 3 1/ 2 °, w ie sie für manche F ixstern e in B etrach t kom m en, w ird ein längerer g e te ilte r D raht von der F in n a auf W unsch m itgeliefert. In das obere Ende der A chse kann ein D rahtring E ein g e setzt w er
den, der eine T eilu n g in 12 gleich e A bschnitte au fw eist und die E k lip tik w ied ergib t. D ie B e festigu n gsart ist so gew äh lt, daß d ie N eigu n g der E k lip tik eb en e m it der A equatorebene einen W in k e l von 2 3 1/o ° b ild et. Außerdem g esta tte t die D rehbarkeit des R in ges um das obere A chsen
ende eine leich te Veranschaulichung der E rschei
S. 122. U n t e r r i c h t s b lä t t e r. Jah rg . X X III. No. 8.
nung, daß die E k lip tik an der Um drehung des Sternenhim m els teilnim m t und tagsüber bald steiler bald flacher zum H orizont zu liegen kom m t. B em erk t sei noch, daß alle T e ile des L ehrm ittels leich t abnehmbar und w ied er zu
sam m ensetzbar sind, so daß die Handhabung eine m öglichst einfache wird. Dadurch is t w eiter der Z w eck erreicht, daß nur die T e ile verw en det w erden können, deren man gerade beim je w e i
lig e n U nterricht bedarf. A ußerdem ist neben gerin gem G ew ich t eine g u te F e stig k e it gew äh r
leistet, auch sind vielleich t verschleißende T eile rasch und leich t ersetzbar.
U m nun die V erw end b ark eit des L ehrm ittels im U nterricht zu erläutern, m ögen ein ig e B e i
sp iele von A ufgaben folgen . D ie W iedergab e derselben am L ehrm ittel lä ß t man am b esten von den Schülern se lb st vornehm en und schreitet nach Sichtbarm achung des zur A usrechnung dienenden sphärischen D reieck es, w elch es aufzu
zeichnen ist,, zur rechnerischen L ösung. A ußer den son st aus Büchern zu entnehm enden A uf
gaben em pfiehlt es sich sehr, von Schülern S elb stb eob ach tetes und sich hieraus ergebende Fragen als A ufgabenm aterial zu verw enden. D a sich, w ie stets zu bem erken, die Schüler hierm it sehr gerne befassen und Freude em pfinden, selb st S toff für A ufgaben g e liefer t zu haben, so regen w ir sie auf diese W eise m it an, ihre Augen öfters zu der S tern en w elt zu erheben und sich eifriger m it den E rscheinungen zu befassen, die von jeh er das m enschliche G em üt m it besonderer Bew underung und Ehrfurcht erfüllt haben.
1. Beispiel. E in Stern m ag an einem Orte von 5 0 ° n. B. 9 Stunden über dem H orizont sichtbar gew esen sein. G efragt se i nach seiner D ek lin ation. Zu dem Z w eck e stec k t man den Z en itzeiger auf 5 0 ° n. B ., senkrecht zu diesem w ird der H orizontring in der schon angegebenen W eise um die E rdkugel g e le g t, und der D e k li
nationskreis in dem unteren R in gstü ck b efestig t.
D a der S te m 9 Stunden sichtbar g ew e sen ist, g eh t er I 1/^ h vor seiner oberen K ulm ination auf.
Deshalb ste llt man den D ek lin ationsk reis m it H ilfe der Stundenscheibe auf -D /o11 vor „obere K ulm ination“ und schraubt das Z ylinderstück fest.
Nunmehr w ird d ie auf dem D ek lin ationsk reis befindliche k leine K u gel so lange verschoben, b is sich ihre M itte in der H orizontebene befindet.
D ie g e s te llte F rage is t je tz t beantw ortbar. U nsere K u gel steh t näm lich zw ischen dem 5. und 6. T e il
strich, genauer b ei ö 1/^. D ieses g ib t um gereclm et
5- f + ä T ° = ^ = 17046/
D as zur A usrechnung dienende und leich t er
kennbare rechtw inklig-sphärische D reieck liefert einen W ert von 1 7 ° 4 8 '8 ,3 " .
2. Beispiel. An einem Orte g leich er B reite, w ie vorher, beobachtet, man an einem T age die
Sonne genau im Südosten stehend. Um w ie viel Uhr m itteleuropäischer Zeit, fand d ieses statt?
Nach der D ek lin ationstabelle b eträgt an dem b e treffenden T age d ie Sonnendeklination 1 0 °. Für den B eobachtungsort is t die L än gen zeit 3 2 111, die Z eitgleich u n g an dem T age -f- 5 , 2 sec. Man ste llt daher die Sonnenkugel auf den 3. T e il
strich des D eklin ationsk reises, b efestig t an dem H orizontring den H öhenkreis am Südostpunkte und dreht das Z ylinderstück so lange, b is die Sonne den H öhenkreis schneidet. A n der Stunden
scheibe ist je tz t 1 0 h w ahre S onn en zeit abzulesen, m ithin 1 0 h' -f- 3 2 1,1 - |- 5 , 2 sec = 1 0 ]l 3 2 “ 5 , 2 S m. e. Z. B ei der A usrechnung liefert das W e lt- pol-Z enit-Sterndreieck 1 0 h 1 2 “ w ahre Z eit, also 1 0 h 4 4 “ 5 , 2 s m. e. Z. D em nach ein hinreichend genau ab geschätztes E rgebnis am Lehrm ittel selbst.
D iese A ufgaben lassen sich nun in b elieb iger W eise vervielfältigen . E ine w eite re Anzahl der
selben findet sich noch in der dem Lehrm ittel b eigegeb en en A nw eisun g. E s se i hier noch zum Schlüsse ein B e isp iel aus der S elb sttä tig k eit der Schüler angeführt. Zur Z eit des ersten Mond
viertels am 8. Juni 19 1 6 w urde der Mond zur Z eit des Sonnenunterganges am sü dw estlich en Abendhim m el b eob ach tet. Es w urde die Frage nach der Z e it des M ondaufganges an dem b e treffenden T age aufgew orfen. Im M ondkalender w ar diese m it 1 1 h 1 8 “ vorm ittags nach Berliner Z eit angegeben. E ine k leine Um rechnung für B r eite und L än ge von Bonn lieferte I I 1* 4 5 “ . Zur Erzielim g einer rechnerischen L ösun g gab die D arstellun g am L ehrm ittel A ufschluß, nach
dem nochm als kurz die A rt des M ondumlaufes w ied erh olt w orden w ar. A ls B eobachtungsort w urde 5 0 ° n. B . g ew ä h lt; dieser z e ig t m it g e ringer A bw eich un g die gleich en V erhältnisse w ie Bonn. Mau konnte hierbei feststellen , w elches sphärische D reieck für d ie A usrechnung in B e tracht kam und w elch e K oordinatenw erte g e geb en sein m ußten. Nach der Stundenscheibe b etru g die A u fgan gszeit l l h 3 0 “ , die A usrech
nung lieferte l l h 3 1 “ 1 8 s. E ine U m rechnung in m. e. Z. und für d ie L änge von Bonn gab 1 2 h 0 1 “ . D a nun, w ie ebenfalls am L ehrm ittel d eutlich erkennbar, der Mond für nördlicher g e le g en e Pun kte früher aufgeht, so m ußte Bonn selb st einen etw as gerin geren W er t als 1 2 h 0 1 “ besitzen, w as ja auch tatsächlich m it der aus dem K alender erm ittelnden Z eit übereinstim m te.
N ebenbei sei h ier noch bem erkt, daß die son st in ihrer Erklärung S ch w ierig k eit b ieten de M ondbew egung durch h äu fige, während eines Jahres an gestellte B eobachtungen, die schrift
lich niederzulegen w aren, durch ihre nachherige V orführung am L ehrm ittel den Schülern sehr leich t verständlich war. Interessante Fragen nach der S tellu n g des M ondes und der A rt des M ondum laufes in anderen geographischen B reiten,
1 9 1 7 . No. 8 . z u r He r r m a n n s c h e n Ve r a l l g e m e i n e r, d e s p y t h a g o r. Le h r s a t z e s. S. 123.
so vor allem die Erscheinungen am A equator, am P o l und auf der südlichen Erdhälfte schlossen sich hier an und konnten ebenfalls restlos g e lö st w erden.
A lles d ieses m ag g en ü g e n , um in ganz kurzen U m rissen zn zeigen , w ie das so sch w ie
rige U nterrich tsgeb iet der mathem atischen Erd- imd H im m elskunde den Schülern aufgeschlossen und anregend g e sta lte t w erden kann. N ich t trockene W o rte und Form eln sollen es sein, die den jungen heranwachsenden M enschen in der Schule plagen und lan gw eilen, L eben soll der U nterricht atm en und F reude an der N atur und N aturbeobachtung hervorrufen. Darin lie g t der Kernpunkt unserer ganzen Jugenderziehung und glücklich die Lehrfächer, w elch e es verstehen und zu ihrer vornehm sten A ufgabe rechnen können, die Jugend zu lehren, in dem großen und unerschöpflichen B u ch e der Natur zu lesen und sich zurechtzufinden.
A n m . : D as L ehrm ittel is t durch d ie F in n a H a n s H i l g e r s in Bonn zum P reise von M 25 zu beziehen.
Zur Herrmannschen Verallgemeinerung des pythagoreischen Lehrsatzes.
Von Gymnasialoberlehrer E. S t u c k e (Leipzig-Gohlis).
Der erste der auf Seite 87 dieser Zeitschrift an
geführten Sätze ist Spczialfall eines sehr allgemeinen, aber ebenfalls einfachen Satzes, der sich auf beliebige Dreiecke bezieht. Er lautet:
Satz 1. W e n n man eine Strecke in der Ebene eines Dreiecks auf die drei Seiten projiziert, so ist von den Rechtecken, welche aus jo einer Seite und der zugehörigen Projektion gebildet werden, stets das größte gleich der S u m m e der beiden kleineren.
Der Satz läßt sich rein planimetrisch mit Hilfe des Satzes von P a p p u s beweisen. Es sei (Fig. 1)
P Q die projizierte Strecke. Ma n trage auf den proji
zierenden Loten die Strecken
P P l = <?<?! = «
P P . , = R R 2 = b Q Q'.i 7 Ä Ä g — C
ab und bringe P., R 2 mit Q3Ji3 in S zum Schnitt.
Es ist dann R R 2 ^ &S A C A B , und folglich S B
gleich und parallel P P y Dann ist nach P a p p u s Parallelogramm PP, Q, Q gleich der S u m m e von P P2R 2 P und Q Q3 B 3 R . Jedes dieser Parallelogramme ist aber gleich einem der Rechtecke, von denen in Satz 1 die Rede ist.
Es ist auch stets leicht zu ermitteln, welches von den drei Rechtecken das größte ist. M a n versehe die Strecke P Q mit einem Richtungssinn, so erhalten auch die drei Projektionen einen solchen. Jede der drei Projektionen erzeugt also einen bestimmten Umlaufs
sinn des Dreiecks, und zwar immer zwei den gleichen, eine den entgegengesetzten. Diese letztere gehört zum größten Rechteck.
Der H e r r m a n n sehe Satz ergibt sich als Spezial
fall, wenn man A B C rechtwinklig macht und Q in einen Endpunkt der Hypotenuse rücken läßt. Macht man P Q zur Hypotenuse, so ergibt sich der Satz des P y t h a g o r a s , macht man P Q zur Kathete, so ergibt sich der Satz des Euklid.
Satz 1 läßt sieh übrigens leicht auf beliebige Viol- ecke übertragen (Fig. 2). Z u m Beweis braucht man bloß das Vieleck durch eine Diagonale in zwei Teilo
Fig. 2.
zu zerlegen. Gilt dann der Satz für jeden dieser Teile, so zeigt man leicht, daß er auch fürs Ganze gilt.
Endlich möchte ich noch auf eine hübsche Folgerung aus Satz 1 hin weisen. Ist in Figur 3 P der U m kreismittelpunkt, so ist sicherlich
M l + M 2 + M 3 — N , -f- V 2 -f- iV3, weil ja die S u m m a n den rechts und links paarweise gleich sind.
Läßt man P an eine an
dere Stelle rücken, so
ändern sich diese Sum- Fig. 3.
S. 124. Un t e r r i c h t s b lIt t e r. Jah rg . X X III. No. 8.
manden, der Gesamtbetrag der Aenderung ist aber nach Satz 1 rechts und links Null. Die obige Geichung gilt also für jeden beliebigen Punkt P.
Für das rechtwinklige Dreieck läßt sich diese Gleichung auch aus dem ersten H e r r m a n n s c h e n Satz ableiten.
Einen anderen, sehr durchsichtigen Beweis erhält man, wenn man jedes der Rechtecke nach dem ver
allgemeinerten Satz des P y thago ras folgendermaßen ausdrückt
2 M, = BC2 -f BP2— CP-,
D e r P y t h a g o r e is c h e L e h r sa tz , ein e F o lg e der d is tr ib u tiv e n E ig e n s c h a f t d es
sk a la r e n P r o d u k te s .
Von Prof. Joh. K l e i b e r (München).
Die von Prof. H e r r m a n n in Nr. 5/6, Jahrg. 1917 dieser Zeitschrift unter I. gegebene interessante Erwei
terung des Pythagoreischen Lehrsatzes veranlaßt mich auf die g e m e i n s a m e Quelle hinzuweisen, aus welcher sich sowohl der H e r r m a n n sehe Satz als auch der Pythagoreische Lehrsatz ganz m ü h e l o s ergeben.
Auf diese letztere Eigenschaft möchte ich deswegen besonderen Nachdruck legen, da die Ableitung des PI e r r m a n n sehen Satzes, so einfach sie sich äußer
lich darstellt, doch ein Produkt eines speziellen Kunst
griffes ist, der immerhin das Restgefühl dos Zufälligen ein wenig in uns zurückläßt.
Das Bestreben H e r r m a n n s durch Polarisation der Pythagoreischen Gleichung:
a2 _j_ ¿2 _ c2 jn a . x b . y — c . z
eine der Pythagoreischen Gleichung ü b e r g e o r d n e t e F o r m zu erhalten, weist uns unmittelbar auf den Weg, die in der Pythagoreischen Gleichung auftretenden Quadrate a2, 62, c2 als Spezialfälle von Produkten (Recht
ecken) a ■ x , b ■ y, c ■ z aufzufassen.
Es liegt weiter der Gedanke sehr nahe, die Strecken x , y , z mit den Projektionen einer (übergeordneten) Strecke s auf die drei Seiten a, b, c des Dreiecks zu identifizieren. Die Produkte a ■ x, b ■ y, c ■ z sind dann identisch mit den Produkten a ■ s cos <p, b ■ s cos I ' , c • s cos X (wenn <p, 'P, X die Neigungswinkel der Strecke s gegen die Seiten a, b, c des Dreiecks sind) oder — in der Sprache der Vektoranalysis — identisch mit den skalaren Produkten
[a, s], [5, s], [c, sj der Strecken a, b, c mit der Strecke s.
a) Nun gilt für jedes Dreieck (mit den Seiten
«, b, c) bekanntlich der Satz, daß die Projektion der Strecke c (auf eine beliebige Achse) gleich ist der S u m m e der Projektionen der Seiten a und b (auf die
selbe Achse). Als Achse wählen wir die durch s gehende Gerade. Dann ist
a ■ cos <p -(- b ■ cos ,I ' = c • cos X .
Dieser Satz macht keinem Schüler Schwierigkeit, da er aus der unmittelbaren Anschauung hervorgeht.
b) Multipliziert man nun diese Gleichung mit der Strecke s, so folgt:
a ■ s • cos <p -f- b • s • cos 1l ' — c - s - cos X .
Nun sind s ■ cos <p, s ■ cos P, s ■ cos X identisch mit den drei Projektionen x . y, z der Strecko s auf die drei Seiten a, b, c des Dreiecks. Daher gilt für jedes Dreieck:
a ■ x - \ - b ■ y — c ■ z .
Dies liefert uns, geometrisch ausgesprochen, den „Drei- streifensatz“, der in der Figur dargestellt ist. (Man beschreibe über jeder Drei
ecksseite ein Quadrat und suche in diesen Quadraten die Schattenstreifen, die entstehen, wenn man die Strecke s auf die Seiten des Dreiecks senkrecht projiziert.)
Aus diesem, dem Schüler leicht zu demonstrieren
den Dreistreifensatz, ergeben sich nun viele Spezial
fälle. Er ist die Quelle für den H e r r m a n n s c h e n und den Pythagoreischen Lehrsatz. M a n braucht ihn nur auf das rechtwinklige Dreieck anzuwenden.
I. Geht die Strecke s von e i n e m Endpunkt der Hypotenuse aus, so ergibt sich ersichtlich der H err- m an n solio Satz. Dabei kann s noch beliebig lang und beliebig gerichtet sein.
II. Fällt die Strecke s g a n z mit der Hypote n u s e zusammen, so ergibt sich ersichtlich der Pythago
reische Lehrsatz.
III. Füllt s mit einer K a t h e t e zusammen, so ergibt sich der Satz vom Kathetenquadrat.
IV. Fällt s mit einer Seite eines beliebigen Dreiecks zusammen, so ergibt sich der erweiterte Pythago
reische Lehrsatz, der als Kosinussatz bekannt ist.
Nebenbei sei bemerkt, daß der Dreistreifensatz seinerseits wieder nur ein Spezialfall des „Vielstreifen
satzes“ ist, der sich ergibt, wenn man eine Leit- Strecke s auf die Seiten (bezw. die Seitenquadrate) eines Polygons projiziert. Dieser Vielstreifensatz hat aber keine besondere Wirkung. Dies erkennt man schon, wenn man die Ableitung dos Dreistreifensatzes vom Standpunkt der Vektorrechnung (Streckenrechnung) betrachtet Dabei werden die Strecken mit Sinn und Richtung (wie die Kraftpfeile in der Physik) aüsge- stattet. M a n bezeichnet solche Vektoren gemäß Uebor- einkunft mit deutschen Buchstaben. Bilden nun die Vektoren a und b einen geknickten Linienzug über c, so ergibt sich c als S u m m e zweier Vektoren:
c = a + b.
Ist nun § der Vektor, der der Strecke s entspricht, so ergibt sich offenbar, wenn man die vorstehende Gleichung mit § skalar multipliziert,
c • § = « • § + b ■ §,
d. h. c • z = a ■ x - ¡ - b ■ y . Der Pythagoreische Lehrsatz wie der H e r r m a n u sehe Satz sind also vom höheren Standpunkt aus nichts weiter als unmitttelbare Folgen der distributiven Eigenschaft des skalaren Produktes C • §. Da nun die Zerlegung von c in mehr als zwei Summanden einer Wiederholung (Iterierung) gleich
kommt, so kann nur der „Dreistreifensatz“ Fundamen
tales bringen, indes der „Vielstreifensatz“ des Interesses ganz entbehren muß.
D a s M in im u m der A b le n k u n g in ein em P r ism a . Von F r a n z H o c h h e i m (Weißenfels a. S.).
Die mathematische Begründung des Minimums für don Fall des symmetrischen Durchgangs des Lichtes durch ein Prisma wird wohl von den meisten Fachkollegen als ein wenig angenehmes, leider unumgängliches Kapitel des Physikunterrichts empfunden: die reine Begründung mit der Differentialrechnung dürfte für die Schule zu schwer
1917. No. 8. Da s Min im u m d e r. Ab l e n k u n g i n e i n e m Pr i s m a. S. 125.
sein, die arithmetische Ableitung (mit den sin-bez.
tg-Proportionen) ist langweilig, auch keineswegs so leicht verständlich für die Mehrzahl der Schüler, die geometrischen Ableitungen sind zwar elegant, werden aber meiner Meinung nach auch nicht leicht verstanden.
Zu dem sind, wie Keferstein in einer Abhandlung der Z. f. d. ph. u. ch. U. (Nr. 20, S. 89) mit Recht sagt, die Ableitungen „unphysikalisch“, und es bedarf eines Be
weises, „der mit den Tatsachen in steter Fühlung bleibt, dessen einzelne Schritte in der Erscheinung selbst ver
folgt werden können“. Mit ändern Worten: der Kern der Sache, der experimentelle Vorgang der Drehung des Prismas (oder des einfallenden Lichtstrahles), ist unmittelbar mathematisch zu verfolgen. Auch die folgende Ableitung verfolgt dieses Ziel, wie die von K o f erst ein a. a. 0. gegebene, deckt sich daher, ob
wohl ohne Kenntnis der Kefcrsteinschon entstanden, mit der letzteren teilweise. Die Abweichungen in der Begründung von den Ausführungen Kefersteins sind dadurch veranlaßt, daß ich eine kleine arithmeti
sche oder geometrische Betrachtung für leichter ver
ständlich halte, als eine abstrakte, wenn auch noch so scharfsinnige Erwägung über das verschiedene Wachs
tum der Winkel, wie sie Keferstoin gibt.
Wird in bekannter Weise der Strahlengang A , S A 2 an der Spitze des Prismas konstruiert (nach Fig. 1, in
Fig. 1.
der das Verhältnis der äußeren Kreisradien den Brechungsindex, der innere Kreis den Einheitskreis darstellt, oder Fig. ä, in der der Kreis der Einheits
kreis ist, während der Brechungsindex durch das Ver
hältnis S C 1 : S D i usw. gegoben ist), so ergeben sich die Beziehungen (;■ = Prismenwinkel)
A = a, -f- a2 — 7 (1), ß i ~ \ ~ ß i = 7 00 Der Eintrittswinkel aj sei größer als der Austritts
winkel a2. Denken wir uns nun den eintrotondeu Lichtstrahl (oder das Prisma) ein wenig gedreht, so daß er steiler auffällt, so vermindert sich (der Bogen auf dem Einheitskreise) «, u m d a ¡ , ßy u m d ß , da
gegen vermehrt sich ß 2um d ß , a2 um d a 2 \ die Gleich
heit der Abnahme von ß , und der Zunahme von ß 2 folgt aus Gleichung 2 oder aus der Konstruktion, da
B x B 2 stets eine gerade Linie ist. Die neue Ablenkung A'= aj — d a, —p a2 -j- d a2 — y = 8 — d a x-f- d a 2 (3) ist also größer oder kleiner als die Ablenkung <5 vor der Drehung, je nachdem d a 2 ^ d a , ist. Es ist nun zunächst auf jeder Prismenseite
, cos ß d a = n •d ß.
cos a (4)
Dies Resultat ergibt sich entweder durch direkte Differentiation des Brechungsgesetzes oder durch v e r k a p p t e (aus sin (a ± d a ) — nsin ( ß+ d ß ) durch Auf
lösung der Klammern unter Berücksichtigung, daß sin da Gada, cos d a 1 ist, und Subtraktion der Glei
chung des Brechungsgesetzes) oder durch elementare geometrische Grenzbetrachtungen : ln Fig. 1 ist
A XA \
d ß cos a,
:n und auch =
d a x ‘ cos ßy
weil sie dieselbe Projektion D x D \ haben, in Fig. 2 ist d aj • cos aj = Cl C ' 1 = S C 1 — S C 'x = n(Sfl,- S D \ ) — n ■ D x D \ — n - d ß ■cos
/?,;
entsprechend für die rechte Seite des Prismas.Da also d a!: COS ßy
cos aj d ß, d a 2 = n cos ß 2 cos a2■ d t ist, kommt es nur darauf an, auf welcher Seite -
cos a
den größeren Wert hat. Es ist nun leicht zu zeigen, daß dies auf der Seite des größeren Winkels a dor Fall ist. Arithmetisch ergibt sich nämlich
1 r sin2 a
« 2 1
. tg2 a = 1 -F
(5) da n )> 1, die Klammer also positiv, wächst dies mit wachsendem a von 1 bis oo. Geometrisch folgt aus Fig. 1
' S A ,
’
cos ß,By Ay
-f-
Ay DyS B , -
’
alsocos ßy 1
n
X dessen Wert u m so größer wird, jo mehr sich das Sehnenstück Ay Dy verkürzt, d. li. je größer
a, wird; ebenso folgt aus Fig. 2 £££^1 = welches
1 COSOj Ay C,
von ay = 0 bis «i = ~ stetig von 1 bis oo zunimmt;
entsprechend auf der rechten Prismenseite.
Im betrachteten Falle ist also zunächst d a x ^> da2, d. h. A hat bei der Drehung abgenommen. Dreht man so u m kleine Stücke weiter, so nimmt <5 beständig ab,
. j j 1 e i COS ß . COS ß o
so lange d a¡ )> d a2, d. h. so lange -- — )> — , cos ci-^ cos Ö2 oder, wie oben gezeigt, a x ^ > a 2 ist; dies ist der Fall bis zum symmetrischen Durchgang, wenn a x und a2 gleich sind.
Von da ab aber überwiegt a2, also auch da2 und A nimmt wieder zu. Im Falle des symmetrischen Durch
gangs ist also die Ablenkung am kleinsten.
Wie man sicht, läßt das geschilderte Verfahren noch mehrere Varietäten zur Wahl, für die man sich je nach Geschmack und dem Standpunkt der betreffen
den Schülergeneration entscheiden kann; ich gebe im allgemeinen (in UI) der verkappten Differentiation und der arithmetischen Begründung des Wertes von C53-^ den Vorzug.
S. 126. Un t e r r i c h t s b l ä t t e r. Jah rg . X X IH . No. 8.
E in N a c h w e is d er R e s o n a n z b ei W e c h se lstr o m n ie d e r e r F r e q u e n z .
Von F r a n z H o c h h e i m (Weißeniels a. S.).
ln der Abhandlung1 in Heft 7 dos 22. Jahrgangs dieser Zeitschrift habe ich auf S. 134 darauf hinge
wiesen, daß es schwer ist, bei Wechselstrom der ge
wöhnlichen Frequenz die Resonanz experimentell zu zeigen. Der Resonanzfall tritt ein, wenn o) L —
ist. Hat mau z. B. Papierkondensatoren von insgosamt 0 = 20 Af F , so ist bei der üblichen Frequenz von « = 50 zur Resonanz
1 106 1 w
~ ofi 0 4 ji2 502 • 20 2 '
zur Resonanz erforderlich, d. h. eine recht hohe Selbstinduktion, die im allgemeinen im Scliulinven- tar nicht vorhanden und schwierig genau herzustellen sein dürfte. Dazu kommen als Komplikation die Ober
schwingungen des gewöhnlichen Wechselstromes, die für sich Resonanzstellen besitzen. Es gelingt nun sehr leicht die Resonanz zu zeigen, wenn man nicht die üblichen Frequenzen, sondern etwas höhere in der Größenordnung von einigen Hundert verwendet, wo
bei ihre leichte akustische Wahrnehmbarkeit zur Er
zielung eines Tonmaximums im lautsprechenden Tele
phon und zum Nachweis der Resonanz hiermit benutzt werden kann. Den Strom würde man so vielleicht durch Einwirkung einer elektromagnetisch angeregten Stimmgabel auf ein Mikrophon gewinnen können.
Ich verfahre anders: Der Strom einer kleinen Gleichstrommaschine (etwa 200 Watt) erwies sich mit Hilfe der B r a u n schon Röhre2, untersucht als p u l sierender Gleichstrom, und zwar ergab sich bei einer Umdrehungszahl 30/sek. eino Frequenz (akustisch feststellbar) von 480. Dieser Maschinengleichstrom (10 bis 15 Amp.) wird durch die Primärwindungen eines Trans
formators geschickt p sekundär8 resultiert ein Wechsel
strom von 480/sek., der sich mit Hilfe der B r a u n - schen Röhre als schön sinusförmig4 erweist. Für diesen ist bei 20 M F das resonanzbewirkende Selbstpotential
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da das Selbstpotential des Transformators noch hinzukommt, genügt hier eine einfache Spule mit wenig Windungen und hincinschiebbarem Eisenkern, u m Resonanz herzustellen. Werden nun in den Sekundär
kreis zunächst 20 M F ohne Spule geschaltet, so wird die Amplitude auf dem Schirm der B r a u n sehen Röhre minimal; Einschaltung einer kleinen Spule verstärkt sie aber; wird endlich in die Spule ein Eisenkern allmäh
lich eingeführt, so wächst die Amplitude bis zu einem Maximum und nimmt von da ab bei weiterer Einsen
kung des Kernes wieder ab: die Resonanzstelle ist äußerst scharf zu erkennen. Vermindert oder vermehrt man während der Resonanz die Zahl der Kondensatoren, so geht die Amplitude in beiden Fällen bedeutend herab, und es ist der Eisenkern der Spule im ersten
' D ie th eo retisch e B e h an d lu n g d e r W echselström e im U n terrich t.
* V ergl. die A b h a n d lu n g des V erfassers in d er Z eitschrift fü r den ph y sik a lisch en und chem ischen U n te rric h t N r. 29, S. 1.
5 Ic h b en u tze bei B eobachtung des Sekundftrstrom es in der B r a u n sehen R öhre gleich viel "Windungen p rim ä r und sekunditr : bei Speisung e in er G lühlam pe m uß eventuell herauf- oder h erab tra n sfo rm iert w erden.
* Bei A bw esenheit von S e lb stp o ten tial (außer dem T ran s
form ator) und E in sc h a ltu n g von 20 M F t r it t eine O berschw ingung hei B e obachtung d e r B r a ll n sehen R öhre im ro tie ren d en Spiegel schw ach hervor.
Falle weiter hinein-, im zweiten weiter herauszuziehen, u m die Resonanz wieder herzustellen; die Maximal
amplitude ist in allen drei Fällen die gleiche; denn da sich im Resonanzfalle der Kapazitäten- und Selbst- induktionswiderstand gerade aufhoben, sind nur der O h m s c h e Widerstand und die Spannung für die Stromstärke maßgebend, die in allen drei Fällen un
verändert bleiben. Auch mit einer kleinen Glühlampo anstelle der B r a u n sehen Röhre läßt sieb die Resonanz zeigen, aber bei weitem nicht so scharf. Der Nachweis mit dem Telephon ist natürlich auch möglich; ich be
nutze ihn nicht, da die im Lehrzimmer befindliche Maschine selbst einen lauten Ton gibt.
Der geschilderte Nachweis der Resonanz ist eine ziemlich weitgehende Bestätigung der Eonnoin 11c und 11 d meiner oben zitierten Abhandlung, jedenfalls eine für die Schule völlig hinreichende. Denn für den genauen quantitativen Nachweis der Formeln müßte man außer den Kapazitäten die Selbstpotentiale der Spule (mit dem Eisenkern an der bestimmten Stelle) und des Transformators kennen: Da die Selbstpotentialc bei Anwesenheit von Eisen mit der verwandten Strom
stärke stark variieren, dürfte das Resultat nur sehr un
genau sein. Aber schon der qualitative Nachweis ist didaktisch wertvoll, zumal, wenn der Schüler in der B r au n sehen Röhre, den Wechselstrom vor Augen hat und den Durchgang durch die Resonanzstclle deut
lich beobachten kann.
D ie V e r w e n d u n g d e s W u r z e lz e ic h e n s im m a t h e m a tis c h e n U n terrich t.
Bemerkungen zu dem Bezciclinungsvorschlag des D A M N O .
Von H. E. T i m er ding (Braunschwoig).
Die erneute Erörterung des von dom D A M N U ge
machten Vorschlages hinsichtlich der Wurzelbezoich- nung auf der Schule läßt es geboten erscheinen, dio Gründe, die für die Festlegung dieser Bezeichnung maßgebend gewesen sind, nochmals in Kürze anzu
geben. Es wird dadurch vielleicht klarer werden, was damit beabsichtigt gewesen ist, und die Erörterung wird auf solche Weise eine sichere Grundlage be
kommen, wenngleich sie natürlich derart keineswegs abgeschnitten, sondern nur in feste Bahnen gelenkt werden kann.
Zuzugeben ist ohne weiteres, daß dio Verwendung des gewöhnlichen Wurzelzeichens, welche der D A M N U vorgeschlagen hat, von der Bedeutung, welche dieses Zeichen in wissenschaftlichen mathematischen Werken hat, abweicht. Doch ist die Abweichung nicht derart, daß es dem später zum Studium der Mathematik über
gehenden Schüler Schwierigkeiten bereitet, sich in dio veränderte Auffassungsweise zu finden. Wir waren der Meinung, daß dio Schulmathematik das Recht in A n spruch nehmen darf, wo es Im Interesse des Unter
richtes nötig erscheint, sich ihre W e g e und Ziele un
abhängig von einer fachlichen Sonderbestimmung zu wählen, sofern sie sich mit dem wissenschaftlichen Geiste und dem Inhalt der mathematischen Forschung nicht in Widerspruch setzt. Das ist aber gewiß nicht der Fall, wenn nichts weiter getan wird, als daß das Wurzelzeichen | als eindeutiges Zeichen für einen bestimmten reellen Wert, den positiven, wo ein solcher vorhanden ist, und den negativen, wo ein solcher, aber kein positiver existiert, benutzt wird.
