Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften. Jg. 22, No. 8

Jahrgang X X II.

U nterriclitslblätter

1916. No. 8

f ü r

¡Viathematik und Naturwissenschaften.

Organ des Vereins zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts.

B eg rü n d et u nter M itw irku ng von

B ernhard S ch w alb e

und

F ried rich P ietzk er,

von diesem geleitet bis 1909, zurzeit herausgegeben von

Geh. Studienrat Dr.

P. Bode,

und P rofessor

K. Schwab,

Direktor der Klinger-Oberrealsohule in Frankfurt a. M. Oberlehrer a. d. Klinger-Oberrealsohule in Frankfurt a. M.

V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W. 5 7 . Redaktion: A lle für die Redaktion bestimmten M itteilungen und

Sendungen werden an Geh. Studienrat Dr. P. B o d e , Frank­

furt a. M., Jlermosweg 34, erboten.

Verein: Anmeldungen und Beitragszahlungen für den Verein (6 Mk. Jahresbeitrag) sind an den Schatzmeister, Professor P r e s 1 o r in Hannover, Königswortherstraße 47, zu richten.

Verlag: Der B e z u g s p r e i s für dea Jahrgang von 6 Nummern ist 4 Mk. pränum., für einzelne Nummern 60 P f. Die Vereins­

m itglieder erhalten die Z eitschrift kostenlos; frühere Jahr­

gänge sind durch denVerlag bez. eineB uehhdig. zu beziehen.

A n z e i g e n kosten 2 6P f. fürdieS-gesp. N onpar.-Zeile; boi Aufgabe halber od. ganzer Seiten, sow ie bei Wiederholungen Ermäßigung. — Beilagegebühren nach Uebereinkunft.

Nachdruck der einzelnen Artikel ist, wenn überhaupt nicht besonders ausgenommen, nur mit g e n a u e r Angabe der Quelle und m it der Verpflichtung der Einsendung eines Belegexemplars an den Verlag gestattet.

Inhalt: Dio mathematisch-naturwissenschaftliche Bedeutung von G. W. Leibniz. Von Prof. A d o l f K i s t n e r in Karlsruhe i. B. (S. 141). — Ueber die symmetrischen Funktionen der Quadrate der natürlichen Zahlen­

reihe. Von A r t h u r C z w a l i n a in Berlin (S. 146). — Ein Dandelinscher Beweis für einen Steinor- schen Satz. Von E. M a g i n in Hamburg (S. 150). — Das konstruktive Prinzip der Maginschcn Kegel­

schnittbehandlung. Von Dr. A l o i s L an n e r in Innsbruck (S. 151). — Auflösung kubischer Gleichungen nach dem Einschieboverfahron. Von Dr. A l o i s L a t i n e r iu Innsbruck iS. 152). — Über einige Maxima und Minima. Von 0 . G r ü n dl er in Spandau (Ev. Johannisstift) (S. 153). — Kritische Bemerkungen zu einer Gronzwertbestimmung. Von 0 . Gr ü n dl er in Spandau (Ev. .Tohannisstift) (S. 155). — Pol und Polare am Kreise mit Ausblick auf dio Schnitte am beliebig schiefen Kreiskcgol. Von Ca r l H e r b s t , Dipl.-Ing., Westfalische Bergscliulo in Bochum (S. 156). — Büchcr-Besprechungon (S. 157).

Verzeichnis der bei dem Verlage zur Besprechung eingegangenen Bücher (S. 160:. — Anzeigen.

D ie m ath em atisch - n a tu rw issen sch a ft­

lich e B ed eu tu n g v o n G. W . L eibniz.

Von Prof. A d o l f K i s t n e r (Karlsruhe i. B.) U nter dem lebensw ahren B ild n is von L e i b ni z, das C l a u s M e y e r (D üsseldorf) für den Ehren­

saal des D eutschen Museums zu München g e ­ schaffen hat, findet sich d ie treffen de In sc h r ift:

G ottfried W ilhelm Leibniz,

geboren in Leipzig am 1. Juli 1646,

gestorben in Hannover am 14. November 1716.

Der universellste und vielseitigste Gelehrte der deutschen Nation, der Schöpfer der Analysis des Unendlichen,

Bahnbrechend auf vielen Gebieten der Naturkunde und Volkswirtschaft,

Verdienstvoll als Staatsmann und Historiker, Philo­

soph und Poet,

Unermüdlich tätig für die Organisation wissenschaft­

licher Arbeit, für die Verbreitung gemeinnütziger Kenntnisse.

A ls am 14. N ovem ber m itten im K riegslärm der T od estag dieses „U niversalgenies der W issen ­ sch aft“ w iederkehrte, gedachte man da und dort der philosophischen und diplom atischen V er­

d ienste dieses außergew öhnlichen Mannes, der nach F r i e d r i c h d e s G r o ß e n Ausspruch eigen tlich selb st eine A kadem ie darstellte. D aß

auch die m athem atisch - naturw issenschaftlichen K reise sich seiner erinnern müssen, hat man in den verschiedenen A ufsätzen, d ie zur 200 .W ied er- kelir des T od estages erschienen sind, kaum b eton t gefunden. Man erw ähnte höchstens seine „angeb­

lic h e “ Erfindung der Differentialrechnung, über­

g in g aber seine B edeutu ng für die naturw issen­

schaftlich-technischen W issen szw eig e, ob gleich man in diesen w oh l nur L e o n a r d o d a V i n c i n eben ihm nennen darf. E in G esam tbild seiner T ä tig k eit auf diesen G ebieten is t noch n ich t er­

schöpfend gegeben.* D as darf n ich t w under­

nehmen, b esitzt doch allein der Nachlaß eine ganz au ßergew öh nlich e G röße. A uß er vielen A ufsatzentw ürfen, N o tizzetteln und dergleichen b esteh t er aus 15 3 0 0 an L e i b n i z gerichteten B riefen von 35 fürstlichen und 1 0 2 8 anderen P e r s o n e n !

E in ig e E inzelb ild er aus seiner B esch äftigu n g m it unseren In teressen sgeb ieten zu zeichnen, ist gerade in diesen schw eren Z eiten , die uns D eu tsch e zu uns selb st führen müssen, eine E hrenp flich t.

* Eine gemeinverständliche Darstellung des Lebens und der mathematisch-naturwissenschaftlichen Tätigkeit von G. "W. Leibniz findet sich S. 23 — 36 in A. Kistner, Deutsche Physiker und Chemiker. München 1908.

S. 142. Un t e r r i c h t sis l ä t t e r. Jah rg . X X II. No. S.

„ W ie ein Straßenräuber“ wurde L eibniz vor 2 0 0 Jahren begraben, die von ihm geschaffene Berliner A kadem ie ged ach te seiner n i c h t , und erst ein F r a n z o s e ( F o n t e n e l l e ) hat ein Jahr später der W e lt g e z e ig t, w as sie in L e i b n i z verloren hatte.

W ir blättern zuerst in dem Buche, das die' Errungenschaften der M athem atik in ihrem W erd e­

gan g festhält, und finden L e i b n i z b ei der Ge­

sch ich te der D ifferential- und Integralrechnung genannt. N e w t o n s N am e steh t daneben und zw in g t uns genau zu lesen. H andelt es sieb doch um die L ösung der viel um strittenen F r a g e :

„Ist N e w t o n oder L e i b n i z der Erfinder der D ifferentialrechnung?“ In seiner trefflichen L eibnizbiographie, zu der man im m er w ied er greifen w ird, w enn man dem größ ten deutschen Gelehrten näherkomm en w ill, m ein t K u n o F i s c h e r : „So viel steh t bei allen, auch den G egnern, fest: daß L e i b n i z , der erste P h ilo ­ soph und M etaphysiker seiner Z eit, zugleich n a c h N e w t o n deren erster M athem atiker war.

Genug, daß er m it einem N e w t o n um die P riorität einer der größ ten m athem atischen Er­

findungen streiten durfte, daß es überhaupt fraglich sein konnte, w er von diesen beiden der U eb erlegen e w a r: N e w t o n oder L e i b n i z ! “

D en ganzen S treit hat ein in E ngland lebender S ch w eizer N . F a t i o d e D u i l l i e r (1 6 6 4 — 1753) m it einer S ch rift heraufbeschworen, die im Jahre 1 6 9 9 zu London erschien. V or aller W e lt stand da d ie B ehauptung, L e i b n i z habe eigen tlich nur das nachgeahm t, w as N e w t o n schon früher b esessen liabe. D am it w ar der Fehdehandschuh h ingew orfen , L e i b n i z nahm ihn auf und ver­

foch t m it einigen Freunden sein g u tes R echt g eg en N e w t o n m it seinen G etreuen. D ie E in zelh eiten des W affenganges können aus Raum ­ m angel h ier n ich t einm al anged eu tet werden.

A uf beid en S eiten stritt man unritterlich, manchmal sogar m it verw erflich en M itteln. P er­

sönliche G ehässigkeit, b lin de P arteileidenschaft, erbitterter N ationalitätenbader, b ö sw illig e r G e­

lehrtenneid und zu allem noch M ißverständnisse verschiedenster A rt haben den ganzen S treit zu einem betrüblichen A bschn itt in der G eschichte der M athem atik w erden lassen. G ew iß , L e i b n i z hat in diesem S treite F eh ler gem acht, d ie w ir bei gerechter A b w ägu n g nicht entschuldigen können und dürfen, aber er h at sich m it gu ten Gründen und ehrlichem G ew issen tapfer gew eh rt.

Und gerade das haben ihm seine englischen G egner besonders verübelt. D er V ergleich m it der G egen w art is t n ich t abzuw eisen, umsom ehr als auch in diesem M athem atikerkrieg dem E n g­

länder L eute folgten , die allen Grund gehabt hätten dem D eutschen dankbar zur S eite zu stehen.

B eid e Forscher sind von verschiedenen Seiten an die D ifferential- und Integralrechnung heran­

getreten , der B oden dazu w ar durch m annig­

fache infinitesim ale Betrachtungen län gst vor­

b ereitet. Durch gem einsam e B ekannte bestand zw ischen beiden Forschern ein g e istig e s Band, dessen V orhandensein w oh l kein er m erkte, ob­

gleich es die v ö llig e U n ab h än gigk eit kaum zu ließ.

E ine von der R oyal S o ciety g ew äh lte K om m ission trat am 24. A pril 17 1 2 zusam men und be- zeich n ete die Verfahren von N e w t o n und L e i b n i z als id entisch. N e w t o n habe seines früher gefunden (1 6 6 6 ), L e i b n i z das sein ige aber früher veröffentlicht (1 6 7 5 ). Nun liegen aber die V erhältnisse so : D ie Fluxionsrechnung von N e w t o n w ar unbeholfen, die D ifferential­

rechnung von L e i b n i z aber zw eck m äß ig. B esser als der ganze le id ig e P rioritätsstreit, z e ig t das die E n tw ick lun g, d ie d ie höhere M athem atik in den vergangenen zw e i Jahrhunderten genom m en hat. S ie fo lg te L e i b n i z , nicht N e w t o n ! D aß trotzdem der en glisch e Forscher vielfach höher g e w e r te t wurde, hat nicht zum w en igsten seinen Grund darin, daß N e w t o n seinen G egner überlebte. Im Kam pf m it dem toten L e i b n i z w ar es leich t die S iegespalm e zu er rin g e n !

D er Raum v erb ietet es uns leid er d ie ganze T ä tig k eit von L e i b n i z auf dem G ebiet der D ifferentialrechnung auch nur m it ganz großen Strichen zu zeichnen. D as aber sei besonders herausgehoben, daß w ir ihm die zur Sicherung des A lgorithm us unentbehrliche Schaffung einer zw eck m äß igen Sprache ‘ und Schrift verdanken.

Schon in seiner ersten m athem atischen A rbeit („de arte com binatoria“) h atte er u. a. den G e­

danken vertreten, daß die W issen sch aft nur dann vervollkom m net und erw eitert w erden kann, w enn sie über eine g e e ig n e te Zeichensprache verfügt. D aß er (1 6 7 5 ) das Zeichen für Di f ­ ferential und Integral erfand, m ag m ancher heute (w ie fr ü h e r !) n ich t als besonders w ertvoll an- sehen. L e i b n i z hat dazu ein e treffliche B e ­ m erkung in einem B riefe an H u y g e n s (1 6 9 0 ) gem acht. W ie w ertvoll sei es, daß man nicht m oder n statt x - oder x 3 schreib e! U nd g e ­ rade so sei es m it d x und d d x . In der Tat is t die M athem atik unter dem S ch w erg ew ich t unpraktischer B ezeichnungen niem als fo rtg e­

schritten. G ute Zeichen liefern nicht den E rfolg, aber sie helfen zu ihm („In hoc sign o v in c e s“).

D afür haben w ir aus L e i b n i z e n s T ä tig k eit m ancherlei B e w eise . W ie w ertv o ll w urde der Gebrauch der S tellen zeiger, die er (w oh l schon 16 7 5 ) als einfache Indices und 1693 als mehr­

fache einführte, um dam it zu der Behandlung der E lim inationsm ethode bei G leichungen ein praktisches W erk zeu g zu haben. A us der F ü lle der von L e i b n i z ersonnenen Zeichen heben w ir aus dem Elem entarrechnen heraus: den P un kt für das M ultiplizieren und den D op p elp u n k t für das D ivid ieren . Auch die Schulm athem atik b e ­ nutzt m it den B ezeichnungen A nalysis, Funktion,

1916. No. S. D i e . m a t h e m a t i s c h - n a t u r w i s s e n s c h a f t l i c h e B e d e u t ü n g v o n G. W . L e i b n i z . S. 143.

E xp onentialgröß e, algebraische und transzendente Kurven usw . glü ck liche Neuseh öpt'ungen von L e i b n i z .

D ie eigen artige Verquickung von philosophi­

schen und m athem atischen Gedankenverbindungen, die L e i b n i z stets eigen g ew esen ist, lassen es verständlich erscheinen, daß er auf dem Funda­

m ent der K om binatorik seine Ideen ausbaute.

¡Mit der Schrift „De arte com binatoria“ (1666) hat er den R eigen der A rbeiten eröffnet, um deren w illen man ihn als den Begründer der w issenschaftlichen K om binatorik und der kom ­ binatorischen A nalysis gelten lassen muß. Er war fest davon durchdrungen, daß „die V ervoll­

komm nung der A lgebra von der K om binatorik abhängt“ und hat diesen Gedanken auch in die Tat u m gesetzt. Er m acht z. B . die Kom bina­

torik der L ösung von G leichungen dienstbar und g ela n g t dam it zur D eterm inante, die später G. G r a m e r ( 1 7 0 4 — 52) als erster näher be­

trachtete. M it dem W erkzeu g der K om binatorik g ew in n t L e i b n i z ferner ganz selbstän dig die Sätze von A. G i r a r d (1 5 9 0 — 1632) und N e w t o n über die Potenzsum m en b ei höheren G leichungen und den polynom ischen Lehrsatz.

Schon 1695 h atte L e i b n i z diesen Satz näher untersucht, aber M o i v r e ( 1 6 6 7 — 1754) kam ihm w e n ig später durch die V eröffentlichung des auch von ihm selbstän dig erarbeiteten Lehrsatzes zuvor. A uf dem betretenen G ebiete drängten sich L e i b n i z die m annigfachsten Problem e zu.

Mit T s c l i i r n h a u s ( 1651 — 1708) korrespon­

diert er z. B. über die F rage der allgem einen L ösung einer G leichung fünften Grades und glaubt (schon 1678) einen B e w eis für ihre U n ­ m öglichkeit zu besitzen.

Für einen w ich tigen Satz der Z ahlentheorie hat L e i b n i z den B e w eis erbracht, ohne daß man davon w u ß te. F e r m a t ( 1 6 0 8 — 65) h atte nämlich 1640 seinem Freunde F r e n i e 1 e (1 6 0 5

J) __ [

bis 75) brieflich m itg eteilt, daß a — 1 durch p teilbar ist, w enn die ganze Zahl a den Prim ­ faktor p n ich t enthält. F ast hundert Jahre später lieferte L. E u l e r (1 7 0 7 — 83) den B e w eis (1 736).

Damals w u ß te man noch nicht, daß L e i b n i z den Satz am 12. Septem ber 1680 bereits b e­

w iesen hatte, w ofür w ir heute die sichersten B eleg e haben. Er hoffte, m it ihm G lück auf der Suche nach einer allgem einen Prim zahlen­

gleich un g zu haben, doch m ußte er vor den auch h eute noch nicht überwundenen H indernissen die W affen strecken. Durch das Studium der perio­

dischen Dual- und Dezim albrüche h atte er schon früher zu einer n otw endigen und hinreichenden Prim zahl b e d i ngun g Vordringen w ollen , doch führte der eingeschlagene W e g nicht zum Z iel. So ver­

sagten auch die Kräfte bei dem Versuch die Irrationalität von ,-r zu erhärten. B ei der L u - d o 1 p h i sehen Zahl hören unsere Schüler

w en igsten s auf der Oberstufe L e i b n i z e n s JJ

Namen, wenn für die Reihe 4

a b g eleitet wird, die den K reisinhalt für den D u r clim e sse rl angibt. L e i b n i z hat d iese R eihe im Jahre 1 6 7 4 ganz selbstän dig gefunden, ob­

g leich sie nur einen Spezialfall der a r c t ^-Reilie darstellt, die G r e g o r y (1 6 3 8 — 75) im Jahre

1671 an gegeb en hat.

E ine bei G eldgeschäften w ich tig e F rage hat L e i b n i z m it den U ntersuchungen über das

„Interusurhun“ angeschnitten, d. h. über den prozentual aus der .Schuldsum m e berechneten A bzug bei der D iskontierung. D ieses ganz un­

richtige, aber auch heute noch börsenm äßig übliche Berechnungsverfahren w ar nam entlich durch die A u torität des sächsischen Juristen B . C a r p z o w (1 5 9 5 —1666) unantastbar. L e i b n i z w ies 1683 auf die Irrtümer bei der „D iskon­

tierung von 1 0 0“ hin und trat für die allein rich tige „D iskontierung auf 1 0 0 “ ein, freilich ohne irgen dw ie E rfolg dam it zu haben.

Zur Erleichterung des m echanischen Rechnens hat L e i b n i z m it seiner Rechenm aschine eine w ertvolle H ilfe geschaffen. Zur A ddition b ezw . Subtraktion von G eldbeträgen hatte der neun­

zehnjährige P a s c a l (1 6 2 3 — 62) im Jahre 1642 ein „A rithm om eter“ erfunden, das aber der V er­

wendung g ew isse Beschränkungen auferlegte.

L e i b n i z hatte schon im Jahre 1672 einen E n t­

wurf zu einer R echenm aschine gefertig t, kam aber erst darauf zurück, als er bei seinem A uf­

enthalt in Paris das Arithm om eter von P a s c a l geseh en hatte. L e i b n i z e n s Maschine, von der sich noch ein Exem plar in Hannover befindet, erlaubte auch M ultiplikation und D ivision von sech sstelligen Zahlen, so w ie das A usziehen von Quadrat- und K ubikwurzeln. S ie stellte für ihre Zeit eine ganz unerhörte L eistun g dar und ist für alle späteren K onstruktionen das Vorbild gew esen . U n ter den nichtschreibenden R echen ­ m aschinen hat namentlich die von T h o m a s ( 1 7 8 5 — 1870) in Colmar ersonnene groß e Vei-- breitung gefunden. S ie ist. aber eigen tlich nur eine Nachahm ung oder w en igsten s V erbesserung der L e i b n i z m aschine.

Zur P h ysik leitet, uns die Brachistochronen- aufgabe, die J o h a n n B e r n o u l l i ( 1 6 6 7 — 1748) im Juni 1696 „den scharfsinnigsten M athematikern des ganzen E rdk reises“ vorleg te. L e i b n i z fand noch am gleich en T age, an dem er von der A ufgabe hörte, die C ykloide als Brachistochrone (oder T achystop tota, w ie er sie anfänglich nannte).

D ie erste A rbeit, die für d ie E n tw ick elu n g der P hysik B ed eu tu n g-b esitzt, veröffentlichte L e i b n i z schon im Jahre 1671. S ie schöp ft aus der A ethertheorie und A tom istik . D en W eltraum

S. 144. U n t e r r i c h t s b l ä t t e r . Jah rg . X X II. No. 8 .

soll flüssiger A ether füllen, durch den sich L ich t und B ew eg u n g fortpflanzen. L ich t und Schall w erden als A etherb ew egun gen angenom m en, auch die Schw ere ist eine F o lg e der A etherzirkulation.

S elb st den tieferen Grund für d ie chem ische V erschiedenheit der K örper glau bt L e i b n i z m it seiner A etherhypothese zu finden. Manches schim m ert hier durch, w as heute fester B esitz der theoretischen P h ysik und Chemie gew orden ist. Indem L e i b n i z seine G edankengänge man­

nigfach abändernd und erw eiternd verfolgte, g e ­ lan gte er zu dem B egriffe der M onaden, der substanziellen A tom e, die Träger von etw as L ebendigem sind. A us der V erein igu ng dieser m etaphysischen P unkte, denen er aus der prästa- b ilierten Harm onie heraus das G esetz der eigenen E n tw ick elu n g zuschreibt, entstehen die eig en t­

lichen physischen P unkte. Für den M athem atiker und P h ysik er hat die M onadologie eigen tlich nur dadurch In teresse, daß L e i b n i z bei diesen B e­

trachtungen zum B egriff des D ifferentials g e ­ komm en ist.

Im Jahre 16 8 6 tritt L e i b n i z in U n ter­

suchungen über das Kräftem aß ein. D en Karte- sianern erschien das P rodukt aus Masse und G e­

sch w in d igk eit als das Maß der K raft. An U ntersuchungen von H u y g e n s (1 6 2 9 — 95) über den S toß anknüpfend b eton t L e i b n i z , daß die B ew egu n gsgröß e dem P rodukt aus Masse und G eschw indigkeitsquadrat proportional ist. Zur näheren Begründung gab er im Jahre 16 9 5 eine A bhandlung, in der die Kräfte in „leben­

d ig e “ und „ to te “ ein g e te ilt w erden. Mangels scharfer F assu ng dieser Begriffe fand die strittig e F rage keine einw andsfreie K lärung. D er un­

glü ck lich e A usdruck „lebendige K raft“ , dem unsere Schulbücher ein e w ig e s Leben zu ver­

leihen sch ein en , muß durch den (1 8 5 5 ) von R a n k i n e (1 8 2 0 — 72) gegeb en en B eg riff „Ener­

g ie “ ersetzt w erden. W ir befinden uns dann durchaus auf leibnizisclier Grundlage, w enn w ir von p oten tieller und k inetischer E nergie reden.

L e i b n i z fand das w ic h tig e E rgebnis, daß (in h eutiger A usdrucksw eise) die Sum me von p oten ­ tieller und k inetischer E n ergie ihren W er t nicht ändert. D as is t der Keim für den erst von R o b e r t M a y e r ( 1 8 1 4 — 78) allgem ein aus­

gesprochenen „Satz von der E rhaltung der Ener­

g i e “ . W en n w ir bedenken, daß jen e Z eit von den verschiedenen Form en der E n ergie und von ihren Zusammenhängen noch recht w en ig w ußte, verstehen w ir, daß L e i b n i z den Satz nur fin­

den Sonderfall m echanischer V orgänge finden konnte. W as G a s s e n d i ( 1 5 9 2 — 1655) und H u y g e n s nur dunkel geahnt hatten, rin gt sich b ei L e i b n i z erstm als v ö llig erkennbar an das Licht. So finden w ir bei ihm auch die klare Erkenntnis von der U n m öglich k eit des Perpetuum m obile. M it dem H in w eis, daß L e i b n i z als erster die h och w ich tige U nterscheidung zw ischen

„gleiten d er“ und „rollender“ R eibung gem acht hat, sei die S kizze seiner mechanischen Studien vervollstän digt.

Von seiner früheren Annahm e über die R olle des A ethers b ei der V erbreitung des Scballs hat sich L e i b n i z später freigem acht. W ir finden ihn ganz im Banne der akustischen Anschauungen von N e w t o n , w enn er die Mechanik der Schall- en tstehu ng genauer untersucht und durch die R esonanz gleich gestim m ter Saiten experim entell prüft. In der Optik kann er sich, so erstaunlich das ist, aus dem G edankenkreise von D e s - c a r t e s ( 1 5 9 6 — 1650) und N e w t o n trotz sch w erw iegen d er B edenk en n ich t zu der Undu- lationstheorie von H u y g e n s durchringen.

Eine hübsche Entdeckung- verdankt ihm die E lektrizitätslehre. A ls er zu Mainz im Jahre 1671 seine „H ypothesis pkysica n ova“ schrieb und sieb dabei auf d ie Luftpum penversuche von 0 . v o n G u e r i c l i e (1 6 0 2 — 86) stutzte, trat er in B riefw ech sel m it dem gelehrten Bürgerm eister.

An einer S ch w efelk u gel, die ihm dieser über­

lassen b atte, entdeck te L e i b n i z den elektrischen Funken. D a der betreffende B rief (vom 31.

Januar 1672) verloren ist, w issen w ir von der w ich tigen E n tdeckung nichts w eiter, als w as G u e r i c k e im A ntw ortschreiben vom 1. März 1672 andeutet.

Ein gu ter V orschlag zur V erbesserung des B arom eters kam leid er nicht g le ich zur A us­

führung. Schon 16 9 7 (21. Juni) schreibt L e i b n i z an P a p i n (1 6 4 7 — 17 1 2 ) von dem Ersatz des Q uecksilberbarom eters durch „eine A rt von w ohl geschlossenem B la seb a lg “ . Am 3. Februar 1702 t e ilt er J o h a n n B e r n o u 11 i m it, daß er an ein Barom eter aus einem lu ftdichten Lederbalg­

denke, den „das G ew ich t der L uft zusammen­

zudrücken sucht, w ährend er durch d ie Kraft einer elastisch en F ed er W iderstand le is te t“ . D as G anze so ll „in einem einer U hr ähnlichen k leinen B ehälter ein gesch lossen w erd en “. Er w o llte dabei, w ie der B rief an P a p i n vom 26. Septem ber 17 0 2 ze ig t, Leder benutzen, das nach dem von P a p i n ersonnenen Verfahren durch K ochen in Oel lu ftd ich t gem acht war.

D as Prinzip des Aneroidbarom eters ist also klar ausgesprochen. E rst 17 6 0 konstruierte Z e i h e r ( 1 7 2 0 — 84 ) ein ähnliches Instrum ent, freilich in unbequem er Form . D ie h eu tige E inrichtung des Aneroids hat erst L. V i d i (1 8 4 8 ) gegeb en .

D aß die frühesten instrum enteilen W etter­

beobachtungen in D eutschland auf L e i b n i z Zurückgaben, w eiß man nocli n ich t lange. Er ließ (1 7 6 8 ) zu H annover im D ien ste der W etter­

vorhersage Barom eterbeobachtungen anstellen, die S. R e y l i e r (1 6 3 5 — 17 1 4 ) in Kiel von 16 7 9 bis zu seinem T ode fortführte. H ier sei gleich an­

gesch lossen, daß L e i b n i z P e t e r d e m G r o ß e n den V orschlag m achte, erdm agnetische B e o b ­ achtungen veranstalten zu lassen. Auch das

1916. No. 8. D i e m a t h e m a t i s c h - n a t u r w i s s e n s c h a f t l i c h e B e d e u t u n g v o n G. W. l e i b n i z . S. 145.

A ufsuchen einer nordöstlichen Durchfahrt nach Indien riet er ihm.

N ich t ganz Vorbeigehen können w ir an dem, w as L e i b n i z in seiner „P rotogaea“ (1687) über die U rgesch ichte der Erde und ihrer L ebew esen schreibt. S treift man idle Phan­

tastereien ab, so b leib t ein B ild zurück, an dem die h eu tige W issenschaft nur verhältnismäßig- w en ig zu ändern brauchte. H ier und vor allem in seinem Nachlaß b egegn en w ir regem In ­ teresse an den beschreibenden N aturw issen­

schaften. So fesseln ihn in der Z o o lo g ie nam ent­

lich die Insekten, in der B otan ik die A rbeiten des Linne-Vorläufers J. J u n g i u s (1 5 8 7 — 1657) zur w issenschaftlichen M orphologie der Pflanzen.

W ir finden L e i b n i z in B riefverkehr m it b e­

rühmten M ikroskopikern w ie L e e u w e n h o e k ( 1 6 3 2 — 1723) , M a l p i g h i (1 6 2 8 — 94), S w a m - m e r d a m ( 1 6 3 7 — 80) u. a. m. Ganz modern m utet uns ein e S te lle in einem B riefe (1 7 1 5 ) an L e e u w e n h o e k an, in der er rät ..junge L eute zu m ikroskopischen B eobachtungen anzu­

leiten, wodurch gleichsam eine m ikroskopische S chule aufgerichtet würde, w elch e b esteh en und den Schatz der m enschlichen W issen sch aften ver­

m ehren k ö n n te“ . Von einer solchen P fleg e ver­

spricht er sich w ic h tig e Einflüsse auf die N aturw issenschaften und auf die M edizin, über die er o ft nachgedacht hat. Ihre praktische A usübung und die öffentliche G esundheitspflege w ünscht er gefördert und em pfiehlt, w as h eute in teressiert, eine tü ch tige A usbildung von Chi­

rurgen für die unabweisbar n ötige H ebung des S anitätsw esens beim Heer.

L e i b n i z ens Beziehungen zur Chem ie reichen w e it zurück, stand er doch als J ü n glin g zu N ürnberg im D ien st der R osenkreuzer, -der ihn das Treiben der A lchem isten kennen lehrte. D aß er einm al „Laboranten, Charlatans, M arktschreier, A lchem isten und andere V aganten und G rillen­

fänger“ in einem Atem nennt, verrät geringe A chtung vor den A depten der schwarzen Kunst.

D ie praktische S eite der A lchem ie schätzt er n ich t sehr hoch ein, während ihn die theore­

tisch e fesselt, da er aus ihr eine Förderung der N aturerkenntnis erhofft. D ie Chemie g e s c h i e h t e verdankt L e i b n i z eine aufschlußreiche „Historia inventionis P hosph ori“ ( 1 7 1 0 ) , zu der der Nachlaß verschiedene E rgänzungen liefert. A us dem G ebiet der technischen Chemie z e ig t er In teresse für die Spiritusbrennerei. B ei der B e ­ sprechung ihrer handelspolitischen B edeutu ng bezeichn et er ( 1711) den Branntwein als „ein Getränk, w elch es als eine A rzney w o h l nützlich, aber zum ordentlichen Gebrauch als ein A lim en t höchst schädlich und g e w iß v ie l tausend Menschen dadurch ihr Leben verlieren “ . Im Jahre 17 1 4 spricht er von K onserven für die Ernährung der Truppen im F eld und gedenkt als erster „des E xtraktes aus F le isch “, w ie ihn viel später

J. v o n L i e b i g ( 1 8 0 3 — 73) erfunden hat.

U nter den zahlreichen N otizen des Nachlasses b e g eg n et man vielen aus der Chemie von Küche und Haus. Gerade in unseren T agen so llte man seine H in w eise beachten, aus jungen Tannen­

zapfen einen w ohlschm eckenden Salat oder K on­

fitüren zu machen, chinesischen T ee durch Salbei zu ersetzen, Kapern aus K nospen von Gänse­

blumen herzustellen, Lam pendochte aus H olunder­

mark zu verfertigen usw .

W ie er hier die Chem ie in den D ien st des täglichen L ebens stellt, verknüpft er auch seine physikalischen Ideen m it technischen Problem en.

So verdanken w ir das Prinzip der E nergieauf­

speicherung, dessen w ir uns h eute so mannigfach bedienen, seinen Versuchen zur B ew ä ltig u n g des Grundwassers in den Silbergruben zu Claustal und Zellerfeld. Er w o llte (1 6 7 8 ) die Energie des W in d es zum H eben des lästigen A ufschlag­

w assers benutzen, sie in diesem aufspeichem und dann zum B etrieb der gew öh nlich en W asserräder an den Grubenpumpen heranziehen. A llerlei M ißhelligkeiten, m it der B ergbehörde n ötigten leider schon 1 6 8 5 zur E in stellu n g dieser V er­

suche, die für die Mechanik das A kkum ulator­

prinzip bergen. V ieles aus der mehr technischen T ä tig k eit von L e i b n i z is t der V ergessenh eit anheim gefallen und w urde sp äter „nacherfunden“ , so z. B . sein e d opp eltw irk en de Pum pe durch den A rzt J. N . d e L a H i r e ( 1 6 8 5 — 1727) im Jahre 1716, so w ie der H eißluftm otor, über den er sich in Briefen an P a p i n (1 7 0 6 und 08) deutlich ausspricht. Daß der Marburger P h y­

sik er (1 7 0 6 ) die erste Hochdruckdam pfm aschine bauen konnte, verdankt er L e i b n i z , der ihm am 6. Januar 17 0 5 Zeichnungen der D am pf­

m aschine sandte, für die T h . S a v e r y (gest.

17 1 6 ) im Jahre 16 9 8 ein en glisch es P aten t er­

halten hatte. Fiir die M aschine von N ew com en g ib t man m eist P o t t e r (1 7 1 2 ) als Erfinder der Selbststeuerung- a n ; tatsächlich aber m achte L e i b n i z diesen V orschlag schon am 4 . Februar

1707 in einem B riefe an P a p i n .

D ie allgem ein e Einführung der F euerspritzen m it W in dk essel [also in der noch h eute üb­

lichen E inrichtung, die auf den Zirkelschm ied Hans H autsch in N ürnberg ( L655) zurückgeht]

hat L e i b n i z ein g eleitet, indem er der von ihm ins Leben gerufenen B erliner A kadem ie ein P riv ileg erw irk te für d ie Einführung und B e ­ schaffung „der rechtschaffenen Feuerspritzen der­

gleich en noch nicht gebräuchlich“ .

Zu den physikalischen Fragen der Luftschiff­

fahrt hat L e i b n i z als erster m it Berechnungen über die T ragkraft der L u ft (um 1675) b e ig e ­ steuert. D er von ihm gep rägte T itel dieser Stu die „A ero-nautica“ m utet uns ganz neuzeitlich an. U nsere h eu tige K riegstech nik ben utzt über­

haupt m anches, w as L e i b n i z sich ausgedacht hat. So hält er z. B . für das H eer P ontons

S. 1 4 6 . _____________ U n t e r b i c h t s b l ä t t k b . ' Jah rg . X X II. No. 8.

aus M etall für praktischer als die schw eren aus H olz. A uch die G eschichte des T auchbootes und der H interladergeschütze ken nt L e i b n i z e n s Namen. R echt bedauerlich ist es, daß uns nähere A ufschlüsse zu der A ngabe in einem B rief an S p i n o z a fehlen, nach der er eine neue L insen­

form für ein Fernrohr ausgedacht hat, das dadurch zum Entfernungsm esser w ird. Au Errungen­

schaften der m odernen K riegstech nik w erden w ir erinnert, w enn w ir hören, daß er sich einen W agen au sdachte, der dadurch über a u fg e­

w eichten B oden fahren kann, daß er selb sttätig b reite U nterlagen für die Räder auf die Erde leg t. W as J. J. B e c h e r (1 6 3 5 — 8*2) in seiner

„Närrischen W e ish e it“ von „Leibnizens P o st­

w agen von H annover nach Amsterdam in sechs Stunden zu fahren“ sagt, ist freilich nur eine boshafte R ache, w eil L e i b n i z i h m e i n e „alche- m istisch e G aunerei“ vereitelte, lie g t aber für unsere Technik schon lange im B ereich des M öglichen.

B e g le ite t man L e i b n i z in ehe verschiedenen G ebiete, die w ir hier durchwanderten, so b e­

g e g n e t man einer F ü lle neugeschaffener w issen ­ schaftlicher W erte, die uns noch heute Aner­

kennung abringen. W as er als höchstes Z iel für einen G elehrten aufgerichtet hat, nämlich B etä tig u n g auf den verschiedensten A rbeitsfeldern und gründliches B esch lagensein im E in zelgeb iet, bat er in einem Maße erreicht, w ie es die G e­

schichte der W issen sch aftsp flege nicht mehr kennt. Unfruchtbare G eleh rten ein seitigk eit hat es in seinem ganzen L eben niem als gegeb en , darum eifert er auch gegen sie und sucht überall (w ie er in einem B riefe an B o u r g e t sagt)

„Studien aller A rt m iteinander zu verbinden“ . H ier lieg en die W urzeln zu seinen Gründungen von A kadem ien, um einer Zersplitterung von Einzelkräften w irksam zu b egegn en . Und hier liegen auch die W urzeln zu seinem genialen Plan, in die groß e Masse naturw issenschaftliche B ild u n g hinauszutragen, Sam m lungen für tech ­ nische M odelle und W erkzeu ge, für physikalische, chem ische und astronom ische Instrum ente zu schaffen. W as L e i b n i z vor 2 0 0 Jahren für die n aturw issenschaftlich-technische B ild u n g der A llgem ein h eit anstrebte, konnte erst in unserer Z e it W ir k lich k e it w erden, die uns in dem ein zig ­ artigen „D eutschen Museum von M eisterw erken der N aturw issenschaft und T ech n ik “ zu München en tgegen tritt. Ob w ir dort die A llgem ein h eit

1) <p (x, m) — x (x - f 2) (x + 4) (x + 6) . . . , Dann ist 2) qp (x, m) = x (x2 — 4 • l 2) (x2 — 4 • S2) (x2 —

oder in unseren Schulen die Ju gen d im m athe­

m atisch-naturw issenschaftlichen U nterrich t zum realistischen B ildungsideal im Sinne von L e i b n i z hinauffiihren, die R ichtschnur finden w ir in seinem L ieb lin g sw a h lsp ru ch : „In W orten die K larheit, in Sachen den N u tzen “ .

H eb er d ie sy m m e tr isc h e n F u n k tio n e n der Q u a­

d ra te der n a tü r lic h e n Z ah len reih e.

Von A r t h u r C z w a l i n a in Berlin.

Es ist folgender Satz zu beweisen: Jede rationale symmetrische Funktion der Quadrate der orsten h inatür­

lichen Zahlen ist eine Funktion nur von »i derart, daß sie, wenn man in ihr m durch in — ^ ersetzt, den Wert der entsprechenden symmetrischen Funktion liefert, die aus den Quadraten der Hälften der ersten m ungeraden Zahlen gebildet, wird.

Ein Beispiel möge zunächst die Bedeutung des Satzes erläutern, und zwar sei das einfachste gewählt. Die ein­

fachste symmetrische Funktion der Quadrate der ersten;«

natürlichen Zahlen, also der Zahlen 1, 4, 9 m - ist ihre Summe: Sie ist bekanntlich ^ in (in -(- 1) ( 2 m -]- 1).

Nun besagt der Satz, daß, wenn wir in diesem Aus­

druck für tu, m — ^ substituieren, so daß wir also erhalten

l [m ~ ij) ('" + jj) ’ 2 = Y> 1,1 (2 “ ü (2 m + 1>>

dieser AVert die Summen der Quadrate der Hälften der ersten m ungeraden Zahlen liefert. In der Tat ist

\ ( | + 3“ + . . . (2 Mt 1)2J - i m (2 Ml - 1 ) (2 Ml -LI).

Dieser Satz soll im folgenden ganz allgemein bewiesen werden.

Es seien die Quadrate der ersten.m natürlichen Zahlen mi t #, , x2, xa, . . . . x m bezeichnet, also x1= . l 2,

# 2 ==22, x s q2, ...— Entsprechend seien die Quadrate der Hälften der ersten hi unge­

raden Zahlen mit jq, i/„,. . . t/„, bezeichnet also

l2 ' 32 (2 h i — l)2

ü i — 4 !/s — - y , V« — 5

Ferner seien die m symmetrischen Elementarfunktionen bezeichnet mit

+ * 3 + ... + x -n = ft (*>■)

a q a-*2 - f - X 2 - j - X , X g - f - - f - Xm—l Xm = fo ( - l ' r )

aqx2 x3 ... x,„_/ x m = f,n ( x v). Entsprechend ist i/l + 1/2 + ...+ Um = f \ i'Jv) USW.

Die Symbole f„ (x,.) und f0 (y„), die die Symmetrie der später entwickelten Gleichungen erhöhen sollen, haben die Bedeutung 1.

Wir führen endlich eine Variable x ein und be­

trachten die Funktion

( x -f- 2 m ) ■ ( x .— 2) ( x — 4 ) ...(x — 2 1«) 4 • 32) ...(x2 — 4 M i2)

95 (x, tu) — x ( x - — 4 x,) (a^----1 x 2) ( x - — 4X3) (x2 — 4 x Mi) Entwickeln wir diese Funktion nach fallenden Potenzen von x, so ergibt sich

3) <P (x, Ml) = x 2 '” + 1 _ 4 1 (x,.) x - ' " “ 1 4. 4 2f 2 (a:r) x ~111 ^ + ---f- (— 1 ) ' 4 ' f o (x„) x 2 m — ~ e + ... + ( - 1 ) ' ” ‘ 4 m f m ( « ) •>•

Substituiert man hier so folgt

1916. 'N o. 8. i;HEit DIE SYMMETB. FUNKTIONEN D B B Q ü A B B A T E D E R NATÜRL. ZAHLBXBEIHE. S. 147.

4) cP ( x + \ , m ) = ( x + l ) ‘i m + l _ 4 1 ^ (*„)(* + 1) 2 wi “ 1 + 42/-2(^)(a: + l) 2 w _ 3 + . . . . - + ( - 1)0 + 0 f „ (X v ) (X 4 ! ) 2 * » - 8 f + 1 + . . . . + ( _ 1} «* 4 f m ( X v ) (X J_ l) Entwickeln wir die Glieder der rechten Soite nncli dom binomischen Satz und ordnen wieder nach fallenden Potenzen von .r, so folgt

6 ) „ < * + ! , . > = / " + i + ( 2" t ‘ ) « 2 " ‘ + [ r » + * ) h

+ [ f Y 1 ) - 4 , f r 1) ^ ]

^{2 m — 2}

_

³

, [ /2h i - P1\ ( 2 m —1\ 1 2»i _c ' I V 4 2 ) f t (x,.) + i 2f , ( x v)J x

+ ...

i | / 2»i - t - l \ ( 2 m — 1\ ( 2 m — 3 \ I 2 m — g -f L IA Q 4l l. q — 2 //,(* „ ) + 42 \ o - 4 / f., (.r ,.)- f J.r

+ ... + (—1)"' 4m frn ( x v) Substituiert man dagegen in 1) x / / x - \ - 1, so folgt

6) rp ( x -j-1, m ) = ( x - f l ) ( x -j- 3 ) ...( x + 2 m — 1) ( x -f 2» » 4 -l) (* — 1)(* — 6) ...( x - (2 m — 1)) Faßt man jedes Glied ( x -)- /•) mit dem entsprechenden ( x— /.) zusammen, so folgt

(p ( x 1, m ) = [ x -j- (2 m -f- 1)] ( x - — l ä) ( x - — 32) ...( x 2 — (2 m — l ) 2) V (x + 1) m) = [x - f (2 m 4- 1)] ( x 2— ly,) ( x 2 — 4 i/2)...(x2 — 4 y Hl),

also 7) y ( x + l , » 0 = \ * + ( 2 m + m ( J m _ 4\ ^ J i m - \ 4z f2( y j J i m " 4 . . + (_ ” 4" ' ( , „ (y„)) Multipliziert man aus und entwickelt wieder nach fallenden Potenzen von x, so ergibt sich

2»1 + 1 2 m \ 2m — 1 1 2m — 2

8) rp (a; + 1, m) = x - f ( 2 m -f- 1) a: — 4 /j(y,.) — 4 ( 2m - f 1) /j (y„) x

2 m — 2 £? -f- 1 2 m — 2p

+ + ( - 1) e 4 Q f o (;/„) * + ( - 1 ) 0 -i- (2 m + 1) f g (y„) * -}-•...-p (— 1) m 4 m f m ( y r ) X -}- (— 1) nt 4 m (2 m -p 1) frn (¿/r)

Vergleicht man nun 5) und 8) bezüglich ihrer Koeffizienten und bedient man sich des Symbols f° = 1, so ergibt sich folgendes Glcichungssystcm

/2m + l \ 1

V 9 ) f 0 ( x , . ) ~ 4 /j(.r„) = — 4 / j (y,,)

/2» i - f l \ 1(2 m — 1\

l 3 ) f 0( x , . ) - 4 l 1 ) f, (*„) = - 4 ( 2»11 + 1)A (.'/-)

/2wi+l\ l/2m —1\ 2 2

V 4 ( * ,.) _ 4 { 2 j fi (*r) + 4 h (x,.) — 4

7 2 » i- f 1\ 1/2 m — 1\ 2 / 2 m — 3\ 2

V 5 Jfo(.rr) - 4 l 3 ) h (x,.) + 4 l 1 ) f2 ( x , ) = 4 (2m + l)/-2(yr) usw.

Da f j (x„) und f . (y„) nur von 7. und m abhängen, so setzen wir ü) f } (.r,.) = (m) und f._ (y„) = <p- (>«).

Außerdem setzen wir zur Vereinfachung der Schreibweise

10) ( - 1) 1 4;- f } (m) = Ff. (m) und ( - 1) 1 4 A 9;. (.») = <l>; (nt), so daß auch (>«) = <l>0 (hi) = 1 ist. Dann erhält unser Gleichungssystem die Form

U ) ( 2 m + l ) ! ^ = 0 i

(2 ”' + = <2«. + l)* i

( 2 + 4) /■; + ( 2 V *) /<', + 2

f m5+ 1 ) ^ + (2S,8- V , + f V 3) ^ * = l2m + l)</.2

( 2m + 2) A'V I-(2f - 21j i V + - • • + (2,o7 _ ! | i + • ■ ■ + ( ; w _ J i - 3) i' } . _ i + ^ . =

(!l; " iI 1) + ( !SU

- 11

) Fl + • • •+ (2 t - i e t i ) ^ + ... + ( 2,'i - i ;’ + ' ) i,,;- = (2^ ”*+ 1}*'•

Aus diesem System 11) soll ein anderes hergeleitet werden, das die '/' nicht mehr enthält. Wir ziehen daher die letzte der aufgeschriebenen Gleichungen von der mit (2 m -p 1) multiplizierten vorletzten ab.

So erhalten wir

[C ~.t *) » * • + » - ( 1 7 1 1 ) 1 + [<ST±Ö <2 • + « - S 7 - ! ) ] " . + . . . . .

+ t r . r i l , + ') 0 « + » - ( i T z i l s t ! ) ] » + . . . . + [ S . +.) - (2 - 1+ • ) ] « - *

Da nun ist, so ist

/ 2 in — 2 o -j- 11 12 in — 2 o 4- 1\ 2 m — 2 1. - j - 1

\2;. — 2p + l / = ( 2 /. — 2 Q ) 2 1 — 2o + l ’ " S0

( 2 m - “ e

+

iN) (am

, 1 ) _

( - m - 2 S

+ 1\ = (2»> — a e + IW , 2 m - 2 i + i\

V 2 1 —2 p ) + ’ V2 * — 2 p + l / \ 21. — 2 g / V ^ 2 1 — 2o + i y /2 m — 2 p + 1\ 2 [2 m (1 — p) + 2 1 — o|

— V 2 1 — 2 p / 2 1 — 2 p + l ' Also gewinnt unsere Gleichung, wenn wir durch 2 dividieren die Gestalt

/2m + l\ 2 m l + 2 1 , (2 m — 1\2 , « ( 1 — 1) + 2 1 — 1 /2m — 2p + l \ 2 m ( 1 — p) + 2 1 - p t.

\ 2 1 / 2 1 + 1 ' ' 0 + V2; - — 2 / ' 2 1 — 1 '1 + + \ 2 1 —2n 2 1 — 2p + 1 '

+ + f * " , W + 1 f ’' ' V + 1

Es gilt daher die Rokursionsformcl *

0 = 1 - 1

. . . . ' ' O / 2 m — 2 p + 1\ 2 m ( l — p) + 2 i — p

1 2) 1 ^,H) — > ( 2 1- 2p j S T =2"0 + T F n {m) g = 0

S. 148. Un t e r r ic h t sb l ä t t e r. Ja h rg . XX1T. No. S.

Bezeichnen wir weiter l.'l) i^l^m — ^

Durch die Substitution m / / m — ~ gehen dann in der Gleichung 12) die F in die V über, der Aus­

druck 2m — 2p + 1 in 2 m — 2 g und 2m (! — p) + 2 1 — p in 2m (! — p) + 1, und es ergibt sich iür die die Rekursionsformol

, , , - « r i W - s ' V . T - . * . ' ) -

0 = 0

Nun müssen wir noch eine Rekursionsformel für die '/> herstellen. Ersetzen wir in Gleichung 7) x + 1

durch s-, so ergibt sich

2 m 2 m — 2 2 m — 4

15) qp {x, m ) = [.r + 2 m] [(x — 1) + </>] ( x— 1) + <[> 2 ( x — 1) + + <I> m]

* Will man aus der Formel 12) die F l . wirklich berechnen, so setzt man zweckmäßiger Weise F o = (— 1 ) ' (^>V? + l ) 2 2- Dann geht die Rekursionsformel über in die Gestalt.

p = l — 1

1 + 1 12 nt + 2 \ . __ "STi / \ p / 2 m + 2 p + 1\ /2 m + 2\ 2 m (l — p) + 2 1 . — p (— 1) 1 V 2 1 -+-1 ^ y A V - V \ 2 1 — 2 p / \ 2 p + 1 / 2 1 — 2 o + l qL‘

g = 0

Es ist aber "\ii ~Jl § *) (o™ + f ) “ ($>;.*+ f ) (o p + l ) ' ^ onn lnan 3 ‘es einsetzt und die ent­

stehende Gleichung durch ( o ^ + j f ) dividiert, so ergibt sich

n — 1

/ \ Ä -f- 1_____ __ / \ Q/ 2K -j- 1\ 2vt% (/. — g) -f- 2/. — g

V - l ) 1 ■ g 1 2 j 1 - 1 / l 2 p + 1) 2 1 — 2 o + l ^q p.

Nun ist i'0= l , also g0 = — j_ o' Hieraus ergehen sich dann, wenn auch mit mühsamer Rechnung¹ i m + 2

die weiteren Werte, nämlich

1

< ) 0 ~ 2 m 4 - 2 F » ~ f 1

¡2 m + 2\

9i = i ^ i = — ( a )

^’ 2 — t \ 5 j

?3 = TT ( 3 5m~ + 9 1 m + 6°) F 3 — — (~ ")

92 — y (5 m + 6^{) F-2 — +} ?2

„ ( 35 m - + 91 m + 60) 1

94 = (175 ma + 735 m2 + 1046 >« + 5U4) /''4 = + | L “ j g4

lf)- (385 m4 ^{+ 2310 m}3 + 5291 m- + 5478 m + 2160) F ü = — ^ 2| p5 16

!t

Die 9 sind rational nicht zerlegbare Funktionen.

1916. No. 8. 'ÜBEIt PIK SyMJLBTH. FUNKTIONEN D E R (-¿UADRATE D E R NATO Hl,. ZAHLEXRKlilE. S. 149.

Den Inlmlt cler zweiten eckigen Klammer entwickeln wir binomisch nach fallenden Potenzen von x . Er ist

- fr).*“-*+1 fr)+*.i„*—*-[fr)+f v 2) *.].*—8 fr)«*—1+1 fr)+». l,8” - 2 - [fr)+f “r 2) *.]

+[fr)+f v 2) ♦.+♦.].2—4- [fr)+f v 2) ♦ ■ + f vv*]„*

+

Demnach erhalten wir aus (lleichung 15 die Gleichung

2m + 1 2m— 1 16) ip (x , m) = x -j- a:

2 2 [fr)+f ^t 2) ■ - -*■ fr) - 2»*. i

[ ( " ? ) + * , - > . f r ) ]

- X

+ ; 2 ” " | f r ) + f r * ) * . + * • - » «

f r ) - 2 » f

” r 2) ♦.]

_ „ a “ _ 4 [ f ) +

f r * )

* . + f , - 4) f r * ) * - * - « J

+ ...

Nun war aber zufolge Gleichung 3)

2 m 1 2 m — 1 2 in — 3 2 m — 5

ip (x, ni) — x -j- I ' \ x b \ x + l ' sx + ...

Vergleicht man die Koeffizienten der Potenzen mit gleichem Exponenten in dieser und der 16. Gleichung, so ergibt sich das System

171 i \ _ < P l + [ ( T ) - 2 » f r j i ] ' ,.0

o

= [ f v 2) - H

* i + [ ( i ) ~ a “ f ” ) l 4' "

* • ,=

* , + [ f r * > - * » f r * ) l

" • • + K i l - ^ f D J * .

o _ [ f r ^ - „ ] * t + [ f r * ) ~

2

^» f r * ) I * . f [ ( * " ) - a “ f ) ] * »

i i = * 2 + [ f ” “ r l 2 ) - 2 “d 2” l f i _ ^ ] * i - 1 + [ f ” 4; 2 i ) - s ” ' f ” i j 2 i ) ] i ' i - 2

+ + V t O t f ♦ , + • • • • + [ f , i 4) - * - g ? r J ) ] * .

„ _ [ f « r * ^ - H I . + [(»— j » * » ) _ s».(2' » - 2' - + 2)| ...

[(. f r f # i) - ! - ß " r ! s)l * e + • • • ■ + l(s f ” i) - f ) l

Dieses System 17) ist die Auflösung bozw. Umkehrung des Systems 111. Es ist einfacher als jenes, da die Hälfte

(

^{j j \ / j n}

f\ —

p 4- 1/ = \p / p -f 1 vereinfacht werden. Auf Grund dieser Formel ist nämlich der Koeffizient von 0 in der vorletzten Formel£

/2m — 2 p — 4\ 2 m — 2 / . —3 0 “1 /2 m — 2 p — 4\ 2 m (2 1.— 2 p — l) -f-2 7. + 3

(

2

A — 2p - l) [ 2A — 2p - mj ^ } 2(1

und der Koeffizient von 0 p in der letzten Formel

■8)

Daher nimmt das System 17) die Form an o = 1.

/ 2 m — 2 p \ [ ~ 2 m — 21. 0 1 „ /2m 2 p N 2 m( A — p ) + l

\21. — 2 p J [2 ^ — 2 p + 1

J “ “

\21. — 2 p / 2 ( 1 - p ) + 1 r„ N 1 ■sn /2m — 2p — 4\ 2 m ( 2 1 . - 2 p - 1) + 2 1 . + 3 . .

18) F X ( m ) = - g \ (2 ; _ 3 J ---i — -- <M*»>

o = 0

e = l . - l

, , , . '«O / 2 m — 2 p\ 2m (1. — p) -f-1. , , , 13) - 1.0 . ( m ) = > , ( 2 ;. _ o J ^ r Z T s p + i ^ ^ )

p = _0__________________________________

Vergleicht man nun mit dieser Formel die Formel

p = o

so stellt man völlige Gleichheit fest, abgesehen davon, daß an Stelle von F, 0 tritt. Da nun aber (I'0 (m)

— ’F0 (in) — 1 ist und überdies in der einleitenden Bemerkung gezeigt ist, (obgleich das eben erwähnte bereits allein für den folgenden Schluß genügt), daß q>l (m) = /j |m — , also fI \ (m) — —4 rpt (m) = — 4 f x |m —

= 1<\ |m = F x (m) ist, so erhellt, daß allgemein jedes 0;.(m ) — XF ) (m) ist. Es ist also zufolge

S. 150. Un t h r r i c h t s b l ä t t e k. Jahirg. X X II. Nu. H.

13) '/') (in)= F ) — 0j , woraus sich infolge von 10) ergibt

(m) — fi. ( i n -

Für die symmetrischen Elementarfunktionen ist also der in Rode stehende Satz bewiesen. Nun läßt sich aber bekanntlich jede rationale symmetrische Funktion als Funktion der symmetrischen Elementarfunktionen aus- driieken. Daher gilt allgemein der Satz: Jede rationale symmetrische Funktion der Quadrate der ersten in natür­

lichen Zahlen ist eine Funktion nur von inderart, daß sie, wenn man in ihr mdurch in— - ersetzt, den Wert der entsprechenden symmetrischen Funktion liefert, die aus den Quadraten der ersten in ungeraden Zahlen gebildet wird.

Anmerkung: Es ist bemerkenswert, daß dieser Satz, der von den Quadraten der ersten in natürlichen Zahlen und den Quadraten der ersten inungeraden Zahlen spricht, nicht auch von den ersten in natürlichen Zahlen selbst und den Hälften der ersten inungeraden Zahlen gilt. Denn es ist z. B. die Summe der ersten innatürlichen Zahlen gleich ~ in (in- f- 1). Dieser Ausdruck liefert aber durch die Substitution in /in — die Funktion ^ (m 2— während die Summe der Hälften der ersten in ungeraden Zahlen ~ m- ist. ln dem ange­

führten Satz sind also die Worte „Quadrate“ und „rational“ unentbehrlich.

E in D a n d elin sch er B e w e is ftlr ein en S te in e r sc h e n S a tz . Von E. AI a g i n (Hamburg).

ln „Grelles Journal“, Bd. 45, S. 189—911, hat S t e i n e r über die Kegelschnitte einen Satz folgen­

den Inhalts analytisch bewiesen.

Zeichnet man zu einem Kegel­

schnitt (Ellipse oder Hyperbel) zwei den Kegelschnitt symmetrisch be­

rührende Kreise mit den Alittel- punkten auf der Hauptachse und zieht von einem Kegelschnittspunkt an diese Kreise die Tangenten, so ist die Summe oder Differenz dieser Tangenten (je nach der Lage des Punktes zu den Berührungspunkten der Kreise und des Kegelschnitts) konstant. Das Verhältnis der Tan­

gente an einen In nenkreis und des Abstandes des Kegelschnitts­

punktes von der Berührungssehne des Innenkreises und des Kegel­

schnitts ist konstant =■ - . a

Die Beweise dieser Sätze in D a n d e 1 i n scher Betrachtungsart sind außerordentlich einfach. In der Figur 1 ist E E eine den Kegel S in einer Ellipse schneidende Ebene. Es sind zwei beliebige Kugeln M l und M., konstruiert, welche den Kegel längs m, und m., berühren. Aus diesen Kugeln schneidet die Ebene E E die Kreise Q und i2 aus. Die Punkte B B (C C) sind die Schnittpunkte von mi („¡2) und <i (i2). Da diese Punkto an­

drerseits Ellipsenpunkte sind, sind

sie die Berührungspunkte der Innenkreise mit der Ellipse. B B und C C sind demnach die Berührungs­

sehnen. Wie man leicht sieht, sind von einer be­

stimmten (trenzlage der Kugeln M an die Beriihrungs-

Fig. 1.

punkte imaginär, die Berührungssehne ist nach wie vor die Schnittgerade der Ebenen ml oder m2 mit E E . P ist eine beliebiger Ellipsenpunkt. Von P sind die Tangenten t x und t , an die Kreise il und i2 gezogen.