Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 6. Mocne prawo wielkich liczb – zadania do samodzielnego

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 6. Mocne prawo wielkich liczb – zadania do samodzielnego

rozwiązania

Zad. 6.1 Niech X₁, X₂, ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkła- dzie wykładniczym E(2). Oblicz granicę prawie wszędzie ciągu

Y_n=

Pn i=1X_i²

Pn i=1X_i .

Zad. 6.2 Niech X₁, X₂, ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na odcinku (0, π). Zbadaj zbieżność P -p.w. ciągu

Y_n =

Pn i=1X_i

Pn

i=1sin X_i .

Zad. 6.3 Niech X₁, X₂, ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkła- dzie jednostajnym na odcinku (−^π₂,^π₂]. Zbadaj zbieżność prawie wszędzie ciągu

Y_n=

Pn

i=1(X_i+ 1)²

Pn

i=1cos(Xi) .

Zad. 6.4 Niech X₁, X₂, ... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach jednostaj- nych na odcinku (1, 3). Zbadaj zbieżność prawie wszędzie ciągu

Y_n= (

2n

Y

k=1

X_k^(−1)k+1)ⁿ¹ .

Zad. 6.5 Zmienne X₁, X₂, ... są niezależne i mają rozkład wykładniczy z gęstością f (x) = 2e^−2xI_(0,∞)(x). Zbadaj zbieżność P -p.w. ciągu

Y_n=

Pn

k=1max(X_2i, X_2i−1)

Pn

k=1(X2i+ X2i−1) . Zad. 6.6 Znajdź granicę prawie wszędzie ciągu

Yn = 1 2n

2n

X

i=1

X_i^{(1+(−1)i+1)},

gdzie {Xi}_i=1,2,... jest ciągiem iid o rozkładzie jednostajnym na odcinku (0, 2).

Zad. 6.7 X1, X2, X3, . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jed- nostajnym na odcinku ^−^π₄,^π₄^. Zbadaj zbieżność P -prawie wszędzie ciągu

Y_n= 1 n² ·

n

X

k=1

tg Xk·

n

X

k=1

X_k².

Zad. 6.8 X₁, X₂, X₃, . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie geo- metrycznym z parametrem p = ¹₂. Zbadaj zbieżność P -prawie wszędzie ciągu

Y_n = 1 n

n

X

k=1

cos

π 2X_k



.

Zad. 6.9 X1, X2, X3, . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie geo- metrycznym z parametrem p. Zbadaj zbieżność P -prawie wszędzie ciągu

Y_n = 1 n

n

X

k=1

e^−Xk.

Zad. 6.10 Niech X₁, X₂, ... oraz Y₁, Y₂, ... są dwoma ciągami niezależnych zmiennych lo- sowych o rozkładach odpowiednio E(2) i dyskretnym zadanym następująco:

P (Y_i = −1) = 1/2, P (Yi = 0) = 1/3, P (Yi = 1) = 1/6.

Dodatkowo dla każdych i, j zmienne X_i, Y_j są niezależne. Wyznacz granicę P -prawie wszędzie i według prawdopodobieństwa ciągu

Z_n=

Pn i=1X_iY_i

Pn

i=1(X_i²+ Y_i²). Zad. 6.11 Oblicz granicę

n→∞lim

√1 n

Z 1 0

. . .

Z 1 0

q

x²₁+ . . . + x²_ndx₁. . . dx_n.

Zad. 6.12 Oblicz granicę

n→∞lim 1 nπⁿ

Z _π

0

. . .

Z _π

0

(sin x₁+ sin x₂+ . . . + sin x_n) dx₁. . . dx_n.