Wykazać, że zbiór A &sub

Pełen tekst

(1)1. Przestrzeń Rk .. 1. Udowodnić ośrodkowość i zupełność nastepuj acych przestrzeni metrycznych: R, Rk . 2. Udowodnić, że podzbiór domkniety zbioru zwartego jest zwarty. . i ograniczony. 3. Wykazać, że zbiór A ⊂ Rk jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkniety . 4. Udowodnić, że funkcja ·∞ dana wzorem x∞ = max1jk |xj | dla x = (x1 , . . . , xk ) ∈ Rk jest norma w Rk , a zatem generuje metryke d∞ (x, y) = y − x∞ .. 5. Na podstawie nierówności Cauchy’ego wykazać, że przestrzeń Rk z funkcja 2 (x, y) =. k |x. i. i=1. − yi |2. dla x = (x1 , . . . , xk ), y = (y1 , . . . , yk ) ∈ Rn jest przestrzenia metryczna.. ace równania określaja metryki: 6. Wykazać, że w przestrzeni Rk nastepuj (i) 1 (x, y) =. k. i=1. |xi − yi |,. (ii) ∞ (x, y) = maxi=1,...,k {|xi − yi |} . kula otwarta i domknieta w przestrzeniach R i R2 z metryka dyskretna. 7. Pokazać, jak wyglada . 8. Pokazać, że dla x, y ∈ Rk zachodzi tzw. wzór polaryzacyjny. 1 x + y22 − x − y22 . x, y = 4 w przestrzeni Rk spełnia warunek 9. Udowodnić, że norma euklidesowa · 2 . x + y22 + x − y22 = 2 x22 + y22 , x, y ∈ Rk (tzw. warunek równoległoboku). Czy ten warunek spełnia norma ·1 ?. 10. Niech an = (a1n , a2n ), a = (a1 , a2 ) ∈ R2 . Wykazać, że an − a → 0, n → ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla i = 1, 2, |ain − ai | → 0, n → ∞ (przez · oznaczamy norme euklidesowa w R2 ). Uogólnić powyższe twierdzenie dla an = (a1n , . . . , akn ) ∈ Rk .. 11. Wykazać, że w przestrzeni unormowanej (X, ) norma jest funkcja ciagł a, jednostajnie ciagł a, a nawet spełnia warunek Lipschitza ze stała 1 (tzn. dla dowolnych x, y ∈ X mamy | x − y | 1 · x − y). w przestrzeni unormowanej jest zbiorem wypukłym. 12. Udowodnić, że kula domknieta 13. Wykazać, że w przestrzeni Rk zachodza nierówności:. x 2. x ∞. x1 . √. k x , 2. √. x2 k x , ∞. x ∞ x1 k x∞ dla x ∈ Rk , czyli normy te sa równoważne. 14. Niech 1 i 2 bed a dwiema normami w przestrzeni wektorowej X. Wykazać, że każdy ze wzorów x = x1 + x2 , Arkusz 1.

(2) x =. x21 + x22 ,. x = max {x1 , x2 } , również określa norme w przestrzeni X oraz, że normy te sa równoważne.. 15. Podać postać nierówności Schwarza w przestrzeni Rk z normami || ||1 , || ||2 , || ||∞ . 16. Sprawdzić, że iloczyn skalarny ·, · jest zgodny z norma ·, jeśli x =. x, x.. tzn. 17. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej X jest odwzorowaniem ciagłym, jeśli xn → x i yn → y, to xn , yn → x, y . 18. Dla i ∈ {1, 2, . . . , k} niech ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rk , (1 na i-tym miejscu). (i) Pokazać, że układ e1 , . . . , ek jest liniowo niezależny. (ii) Sprawdzić, że dla każdego x = (x1 , . . . , xk ) ∈ Rk mamy x = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xk ek , przy czym przedstawienie to jest jednoznaczne, tzn. jeśli x = α1 x1 + . . . + αk xk dla αi ∈ R, i ∈ {1, . . . , k}, to αi = xi . 19. Wykazać, że w przestrzeni unitarnej X dla wektorów x1 , x2 , . . . , xn parami ortogonalnych, zachodzi x1 + x2 + . . . + xn 2 = x1 2 + x2 2 + . . . + xn 2 .. 20. Wykazać, że w nierówności Schwarza zachodzi równość wtedy i tylko wtedy, gdy wektory x, y sa liniowo zależne. wektorami określamy jako ∠(x, y) taki, że 21. W przestrzeni unitarnej kat miedzy cos∠ (x, y) =. x, y . x y. w trójkacie o wierzchołkach w punktach: Obliczyć katy . (i) (1, 1), (4, 1), (1, 4) w przestrzeni R2 , (ii) e1 , e2 , e3 w przestrzeni R3 .. 2. Funkcje jednej zmiennej o wartościach wektorowych.. 22. Sprawdzić, czy podane funkcje sa klasy C 1 (R)?. (i) f (x) = (x|x|, ex ), . (ii) f (x) = x2 sin x1 , sinex , . −x2. (iii) f (x) = e. , g(x) , gdzie g(x) =.   . 2x2 − x2 sin x1 dla x = 0,. 0 dla x = 0; 23. Rozwinać w szereg Tylora z reszta w postaci Peano funkcje:. (i) f (x) = (ex , sinx),. (ii) f (x) = (cosx, sin2x), (iii) f (x) = (sin2 x, sinxcosx), Arkusz 2.

(3) 2. (iv) f (x) = (e−x , ln(1 + x)), (v) f (x) = (e−x sinx, cos2 x). 24. Niech f, g : R → R2 . Znaleźć pochodna iloczynu skalarnego f ◦ g, jeśli:. 1 (i) f (x) = (ex sinx, lnx), g(x) = ( 1+x 2 , cosx), 2. 2. (ii) f (x) = (e−x , arctgx), g(x) = (ex , (1 + x2 )2 ),. (iii) f (x) = (lnsinx, cosex ), g(x) = (cosx, sin2 2x). 25. Podać przykład funkcji f : U ⊆ R → R2 , takiej, aby nie zachodziła równość w twierdzeniu o przyrostach skończonych. 26. Niech f : U → R2 . Stosujac twierdzenie o przyrostach skończonych, wykazać, że f jest na U: jednostajnie ciagła (i) f (x) = (x, ln(3x + 2)), U = (1, +∞), (ii) f (x) = (x + sinx, arctgx), U = R, . x , U = (−1, 1). (iii) f (x) = x2 , 4−x 2. funckja ciagł 27. Niech (a, b) ⊂ R i niech f : (a, b) → Rk bedzie a. Wykazać, że jeśli f ma pochodna równa zero w każdym punkcie przedziału (a, b), to f jest stała.. ciagiem funkcji różniczkowalnych. Sprawdzić, czy w poniższych 28. Niech fn : U → R2 bedzie . równa sie granicy pochodnych ”: przykładach można twierdzić, że “pochodna granicy ciagu . x(n2 x2 +2) , 1 , U = R+ , n2 x2 +1 1+nx2. n , U = a, b, gdzie a < b sa ustalonymi stałymi. (ii) fn (x) = 2x2 + n12 sin nx , n+x 2 2 ciagiem funkcji różniczkowalnych określonych jako: 29. Niech fn : U → R bedzie . 1 xn , n2 +x , U = − 14 , 14 . Sprawdzić, czy szereg ∞ 2 n=1 fn można różniczkować wyraz. (i) fn (x) =. zie.. Arkusz 3. fn (x) = po wyra-.

(4)

Wykazać, że zbi&oacute;r A &sub

Wykazać, że zbiór A &sub