illT**,cznej

Zadanie 1

Zadanie 2

Zai,ańe 3

Zńanie

4 Zadanie 5

Zadanie 6

Zadanie7 Zadanie 8 Zadanie 9 Zadanie 10

Imię i nazwisko Numer indeksu

Studia stacjonarne, specjalność

. ^Kolokw**

"""11*,,x1

illT**,cznej

⁴

Uwaga.

Kńde

zadanie jest punktowane w skali (0-2pkt). Warunkiem zdliczenia kolokwium na ocenę dostateczną jest zdobycie co najmniej 12 pkt.

Zadanie L.

Wyznacz ekstrema funkcji, u

_

_a@) uwikłanej równaniem gnz + _U2

:

9.

ffifirk ^{rt] ;-} fi{',',;,Y# ^Ji mm' W' _ffi,

,{(,\= _J -,f]+gl ₌ JIL ₌ -+ au/,,Ąęlnwruątlł Ę ^ffiź{ę _ąć ^{,^*a,|Ą} _1h)=o

r',tr

(r,j) Ą ^-d

,,r,o

&.Ą, *ry,ą _T r^Ą,Ń

^_

^{r-9 f F(r,g).o} rĄ ^3ę0, _3d. ^xŁ-i-o, ł4

*tr:

!t Uy *i o/wuÓ.rĄ, ^(0.,))

' (0|-5):",ą*

_+trl"

pv"Ńo (pwieu.luń-

r(r,j)"o f 1t(r)'o).YY ,'r^tl,","g^ri tu[r) =.-Ji>. ^{"D^} (o,1)łr,a^tr 1*(Ą-H,-g ,tll

(.0d)m.o*.^1*

'l"o). ^{ffi-rr'o- EĘ"[} r'e'Ó*ił

'.r^tĄrI^^"

11-.J(I)

r,oą_d,l,a

,=;,hń

t ",4fu#trf. bńrhW,,W,"ffin ł",łłłxffi,W*Mffi;,łćj _;,; **

pammetryczny

p(t,s) :

(sinź, cos §, ź

* s) u

^punkcie

P :

(0, 1,0).

Ą,x,-rł) ^lłł= [ł

^{, O}

^1ł) j _{{*'(O tO,Ą} . W&hcł- ,,a.n^p,\L( W

*9.r-r*^ó łl ąllł,rąlł",tln Wwfroł;

^{, ł'/,t|}

. ^n!ą t I

^J al

-

wW)

m'(*,9,L) , iii€ 1^r'rli!łł!i9r<- Ir:;' ^*ą t ią ^łp}uĄ

b

^€tR,

ą^xłł\0/ *W

_jtat W ^{łr= ( |lc,O), 1dł,Će ,} P dru,d,",1 W

-"t^^rĘ _] 1. ^{Ą= (o,}

^a,

^o)

Zadanie 3,

WYznaczYĆ meto,d,g mnożni,ków Lagrange'a punkty stacjoname funkcjź f

(x,u) :

,?' -

a2, przU warunku

*

+ _u2

:25.

^J-

a^dĄ - n':'r,1)={r*,r''*i'tn,,!)

_{G (r ,1) ))}

l faię fi,,9\-- rt,,rłź0.

" *ż-T.

ⁿ

l(

*,

ił' - ig)

tfil,fri ^,- lL#i;ryi:=?,' /lt*:.u[łłl; ^{?=, 1-?}

<*) {i#ł. _L5.-r;=, ^,1 _{t p-z?o} ł:t ^{ą-) i i:r u .| i-=-J -}

|5".l- 1i,łe

^!

ł-* śt ś ^kł

*=

Ę,l

0..<x ^<

4

^t

Mł*^1

rWŁ łnflnuł-o,ńo

_:

Sn'

5{ł{*,1)ć* ł3 + {' ^{J' f ,,,n) d- J2}

2 1,ąź ^{7 ir-} _l

@ _ar))l

d

. 5" ^{,r,o T dn}

JJ q

= T 7ł^r ^z

Hołuó "rą Ą

{+g^ł":w"rytć

l ^(0,5\

_,;{0

_t+)

.otlo" ) ^-*

ł ^{L' (f}

_,

_o)

_{, c-§,}

O) dlĄ A=-!

.

Zadanie 4.

Zami,enić kolejność m,łkowania w enłce:

Md^ar lm.al.rułaia P@1 I,'I:,l@,u)d!ay

x=ll|

=? r= ĄqT x,l'n ł ^*- _\u\

^=

\,ąT

Zadanie 5.

Wyznaczyć wańość m,łki,

gdzie

D: _{(r,y) €Rr: l ś a2+92

_<

9,

_u>-0}.

ilUn^ł*

crołDewałrł,b-

:

Sg

^dril/j/-

ł?,4rą^Ą p

^iĄig,!|Ę,.

$rl _4,<|1 ^-.<l1 Ę ,l J,l,<l<l ^{f1tr..(r ś}

⁴

I I"@ ^*,d(,,u),

(,rlĄ V,ł,r,aian1 Y"ftw;evr,ĄĄ w

Ęr^o,,^! ', _itt,g)= (rr*l,, v.łn'rĄ\,

W ^nJlrn,ł). t, fre<

x.nr.Orl

Y'..rn,.d

e (q tT).

?n( ^96/,-ł) : _?T(1,6 l

Zadanie 6.

W u,łce

ułprowadzić zamianę zmiennych

x,g

całkowania.

f

(r,g)d(r,g)

gdzie

u : I * _a,

^D

:

fr

- ^u.

Określi,ć przedzi,ałg

I, r_:

na uru,

t^'

tfrlB yffi

il(

^-.Z

_1ś ^&-

^x

O( ^x< !

ńo4Y^r ^lĄrr/.a

Y(u,.l). (ry, tf )

J11,^,o).

IT Ł|. ^-',r-'ą

^{= - o',}

głt

=

Ł>

^n =\

uL:{-=

_L t ry _L.

_=Ź

Nąr,,ł.

@x w$V,ounłćfr.l

ł-*f ( Ęś ^a,-V I-ę

^

< _Ę+ Ę.,,

Ąś tu-ślł \ 0< _{0ś -9nsl} xśŁ 7

0 ś ątu śĘ

^l

( -rł,Ł U !t-.t

Na,ł.x

^-(ł.{U- _-<

! -

tŁ

^-<

V ź

I ',ł

?o aprrwtar,ą tłwte,*wrń

^:

ś ^S'ic v,g|,ł,|aoau

Ą ^_lL

Zadanie 7.

Stosujqc rachunek ^młkowy,

'j,-x-y d,lar,u,zż0.

^obliczyć

pole powierzchni, określonej równaniem:

z :

6= ^J5

^tt*

Q',)'"t!)' ilG,t)

=

ffidGQ=

,l,@.*tffiĄ

V ("gf*,x^tl."

^,

a-]ć..ł

',{'r.*..c*,fł;

rlr*{-^t ort

fi -Js ?

z,, !Iru ? ^{dGq) = *It lut =} W

%or,'

t,*. ^q

(,"*t*

płłhrtrcrrtrC'

r*e $ułn

^r.

&

A-1 tąć.T)

S t _{ĄĄv= I fu-r)}

^{d,. =}

0 l g'

t-tto§)=

^|,

r, t

ł1-1-

ł',= ^-,'

lD

l=

^

0

§

t

L,11

-?"n')l] , _t-lz =

?z

gd,zźe

D: _t(r,{). O' :0

<

z

<

,Mą, ^r

^{> 0}.}

Ńf@ {*f*

I ^x:

rt^*llrue{V

(, l}-=,;fr'nP ^:

X((tl,P)= ^ł@\L

łetOt))

Je(-E',\ _Y@,*)

Zadanie 9.

Wykorzystujqc Regułę Guldi,na, wyprowadź wzór na pole powierzchni bryły obro- towej powstałej

z

obrotu sześcżokqta forcmnego

ABCDEF

wokół boku

AB. Przyjmij,

że bok sześciokgta wynos,i

a.

^'

lrl = 1Ę ^tDl =

l,łłp U:ryIń,

t,|\==d*ł,, _ł'. }t!,i}, frl ^g

^tiył,l

Zadanie 8.

Obli,cz całkę

I I Irę'

⁺

^{u' +}

^{z2) d(x,y, z),}

ą, _^ęt,ń ^(ł-})

łor

"^>o

i

^2>O

§r-'tn.r)rtć*.1,ł)= a E

l§n

^L

jS's'

_rr,

i,r,rJłpłr,&= ^I \ ^{,rr.^,tr}

'"'",

f ł,, "rr; nc ^{*= in3 ,ł 9.ł*'=}

atłdft",

n,6nr|',' +f.

ą- ^{ouĘ# {r. ubłl^r#}

.Ą

^om'

^dwĘ

(r,lrUłł}..' tłl

Ą

*ń,rł.ola

6Jł or.\

_,

^lWfłY'

^o

ń=q9 _"

1,)

)iT * ^{6i @* : $"'1,}

6. ^o,

Ł(:

^d)

|1

{D )- Ń ąI^ilootłfa ł*^rt/"

ru|= _{6_?t__}

Zadanie 1O.

Wyznacz współrzęd,ne środ,ka ciężkości zbi,ora

K:{(r,y)

e

R' ł2+(u+2)' <9^y<0}.

Gęstość

p(x,a) :

I.

i. lry

^zbt'o+ct

ⁱ

^5tr,3\=

^l , ul1"vilr,a

r

l'€ ^dllL

⁽ rc _, oJć)

łntl,n' \j ^{yc=o, Ull*ua^1} allnll,Ł| {c.

fL=

//ź

l=O ż)

x!*'{

9l

l'= L

{=

r15

} T, ^N,:Ł ry,,ń7,r^trrlT\W

I{BOL t3{01 ^rrl,)

lu ⁽ⁱⁱ ,lT)

t!Cr,^\- r

§S*r' ^,,r ł"rd,l,

⁼

o=o

f ^,o

@,)r*(^*{*Ł).ś9

r"or.ł * ihąrl f

_{kyr{ut[{ q}

_{ś ą}

,rL r\,,l

ytęł -5

^{< O}

A=łl6ąttŁł

_{+ l.0}

ł.= -łhLt-@Tl?o-' _,

_,.l

-_{-rJ },,l=

t-jrń"/,-@"Ę*l ya -@'ro ^{Ą ----}

^J

lltrx= fi#ac,D= _{ś.5ołnł- ł-,v} łvdF:

= io,rr"fl,jł ^{d,L --|r-,r-}}

_rłi

^0ą

§I _ll?

t,"rrł

dl

,ł nJkdl

⁼

ąd L= +i= ł Ę,nqq@r,b ^{rylń u/nąhłłle}

3M" ganlnąłalvtlb. i wyłł*rrt- tŃ,i trrp W ^olfr, WT\W ^,tp r"ł,t^łu (0,'))-

.Y_olta.zfurt,

G t / ^łpb|rul

^{,^rńp.}

Wąll,rpłlU.

9ł I{'ł(§)^ Ąol,, t\_- / / _\ilTu ^ tJ l ^l

/ "/ ^{1_," *r^Ą M^ł}

-iĘ\z/iffi*'ĘJ,;ł Ą§/ ,jfri,Jż'qŁ, f ło _*ftry ^{_.(x ś} {g#

-Lq <1*a

POWODZENIA.

o

a _ur*uoh F

§ f ^{*^ixan =}

",Ą?

r_Y:!, _1'urn ^{rĘv^l,} r-ź-L

p=

fSo,-ł L=ftw

n-q, _Ę{,"1

dr,ĄY6, _=z d,e(orf,l) ^{( *rro}

*,*Ąę

p [t+

W ^H= #/*,r"l -,{,ro'r,9)- _I§

", !&rĄt

o ^{w^} ;' ^*Ą,-ry

= f rr6(xł,r,) Ą+ _{nc*+ IĄę;dł=

= -d, C(z"fr\\l: - _QTl+zĄ ę)?rn!ł ^ź

dflx=

H*"1r i"

7 _{ilo(- r+Ę)} * 9/o(ent zoĄĘ) ^{= Lft +}

^3lT-

^{- q *Ą} €

|ł^tdr-l) ^* I ^.,1 d(,,l)'(

Ś" Ę

')'-§Ł7,rd,Ą1 ^{re gg, ?} f#ó-Ęu ^IrĄ8,

a"clą

^g)

-ż

(0lJ,) r(ł",Ą

a4 s)

!i_'ur.1-łE q* _!n LnF-r,Ą::ff ;Ę']*-thtzr*tĄ?łf*=

^-

-or}*(q

! ^bś, 2)

('n,iP'i*

rrvorrvt0{to{lXo

\{f1ler*& x$t^lp'v0tł' t.ptEVi

_t

^ki ,,ąfł. ,rbł",/oĄ u/i'dłc, w,ł,urą. oWtu.a,tl nfułulaarQ oloupła,, @