Tlntemchtsblätter
flir
Mathematik und Naturwissenschaften.
Organ des Vereins zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts.
B e g rü n d et u n te r M itw irk u n g von
B ernhard S ch w alb e
undF ried rich P ietzk er,
vo n d iesem g e le ite t b is 1909, z u rz e it h e ra u sg e g e b e n von
Geh. S tu d ie n ra t D r.
P. Bode,
un(j P ro fesso rK. Schwab,
D irek to r der K linger-O berrealschule in F ra n k fu rt a. M. O berlehrer a. d. K iin g cr-O b e rrealsc h u le in F ra n k fu rt a. M.
V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W. 6 7 .
Jahrgang X X II. 1916. No. 7.
Redaktion: A lle fü r die R e d a k tio n bestim m ten M itteilu n g en und S endungen w erden a n G eh. S tu d ie n ra t D r. P . B o d e , F ra n k fu rt a. M., H erm esw eg 34, erbeten.
V erein: A nm eldungen und B e itra g sz a h lu n g e n fü r den Vorein (6 Mk. Ja h re sb e itra g ) sind an den S chatzm eister, P rofessor P r e s l e r in H an n o v er, K ö n ig sw o rth erstraß e 47, zu richten.
Verlag: D er B e z u g s p r e i s f ü r den J a h rg a n g von 8 N um m ern is t 4 Mk. p rän u m ., fü r einzelne N um m ern 60 P f. D ie V erein s
m itg lie d er erh a lte n die Z e itsc h rift k o sto n lo s; frü h e re J a h r g än g e sind d urch d enV erlag bez. eine B u c h h d lg . zu beziehen.
A n z e i g e n ko sten 26 P f. fü r die 8-gesp. N o n p a r.-Z e ile ; bei A ufgabe h a lb e ro d . g an zer S eiten, sow ie bei W ied erh o lu n g en E rm ä ß ig u n g . — B e u ag eg eb ü h ren n ach U eb erein k u n ft.
N ach d ru ck d e r einzelnen A rtik el ist, w enn ü b e rh a u p t n ic h t besonders ausgenom m en, n u r m it g e n a u e r A ngabe d er Quelle und m it der V erpflichtung der E in sen d u n g eines B elegexem plars an den V erlag g e sta tte t.
Inhalt: Vereins-Angclegonheiton (S. 121). — Der Verein zur Förderung dos mathematischen und naturwissen
schaftlichen Unterrichts in den ersten fünfundzwanzig Jahren seines Bestehens (Schluß) (S. 124). — Differentialquotient und Differentiale. Von A. S c h ülke in Tilsit (S. 125). — Eino Eigenschaft der gleichseitigen Hyperbel. Von E. M a g i n in Hamburg (S. 128). — Entfernungsmessung mit einfachen Mitteln. Von Prof. Dr. A. W e n dl er (S. 128). — Die theoretische Behandlung der Wechselströme im Unterricht. Von F r a n z H o c h h e i m in Weißonfels a. S. (S. 130). — • Deutscher Ausschuß für Er
ziehung und Unterricht. Der Aufstieg der Begabten. Von Dr. P. B o d e in Frankfurt a. M. (S. 135).
— Veranstaltungen der Königlichen Zentralstelle für den naturwissenschaftlichen Unterricht (S. 136). — Bücher-Besprechungen (S. 137). — Verzeichnis der hei dem Verlage zur Besprechung eingegangenen Bücher (S. 140j. — Anzeigen.
V ere in s-A n g eleg en h eiten .
D ie in der letzten Num m er angekündigte V o r s t a n d s s i t z u n g hat am 7. O ktober in F ra n k fu rt a. M. in der K linger-O berrealschule stattgefunden. Es w aren zugegen vom V orstand:
P rofessor D r. P o s k e (Berlin), als V orsitzender, Geh. S tu d ien rat D r. B o d e (F ran k fu rt a. M.), P ro fesso r v. H a n s t e i n (B erlin), S tu d ien rat P ro fesso r H e ß (N ürnberg), P rofessor B. S c h m i d (M ünchen); vom A usschuß: O berrealschuldirektor D r. L e v i n (Braunschweig) und O berrealschul- d ire k to r Dr. L i e t z m a n n (Jen a); als M itglied des P reisg e rich ts: P rofessor Dr. T i m e r d i n g , R e k to r der technischen H ochschule in B raunschw eig; als M itredakteur der „ U n te rrich ts-B lätter1- P rofessor S c h w a b (F ran k fu rt a. M.). E n tsch u ld ig t fehlte vom V orstand unser verdienter, lang
jä h rig e r K assenführer P ro f. P r e s l e r (Hannover), der als H auptm ann d. L. dienstlich am Erscheinen v erh in d ert w ar. D ie noch eingeladenen H erren D ire k to r D r. T h a e r und S tu d ien rat P rofessor D r. W i t t i n g w aren ebenfalls durch ihre Pflichten im H eeresdienst abgehalten, an der Sitzung teilzunehm en.
Nachdem der V orsitzende der V erstorbenen, vor allem der beiden früheren Vorsitzenden D irek to r G r i m s e h l und P rofessor P i e t z k e r in ehrenden W o rte n ged ach t hat, te ilt er m it, daß der preußische H e rr U nterrichtsm inister dem V erein sowie seinem M itbegründer und langjährigen V orsitzenden, P rofessor P i e t z k e r , anläßlich des fünfundzw anzigjährigen Bestehens des Vereins seine A nerkennung und seine G lückwünsche h a t aussprechen lassen. Das B ild von P rof. P i e t z k e r soll d er in den U n te rrich tsb lättern veröffentlichten V ereinsgeschichte beigegeben w erden. Diese V ereinsgeschichte soll noch in 500 Sonderexem plaren g ed ru ck t w erden, um an Behörden usw.
versandt zu w erden. D er A n trag des V orsitzenden, den früheren V orsitzenden H errn D irek to r P ro fesso r D r. T h a e r (Hambui-g), zum E hrenm itglied zu ernennen, w urde einstim m ig angenom m en.
Auch der vorher b efragte V ereinsausschuß is t diesem Beschlüsse einm ütig b eig etreten .
D as aus den H erren v o n H a n s t e i n , L i e t z m a n n , P o s k e , S c h m i d , T i m e r d i n g g eb ild ete P reisg erich t h a tte von den 16 für den W ettb ew erb eingegangenen A rbeiten nu r zw ei
S. 122. Un t e r r i c h t s b l ä t t e r. Jahrg. XXII. No. 7.
in B etrach t ziehen können. Nach ausführlicher B egründung seitens der P reisrich ter w urde ein
stim m ig beschlossen, den ausgesetzten P reis zu teilen und einen ersten P reis im B etrage von 300 M der A rb eit m it dem K en n w o rt: „Non scholae sed vitae discim us“ , einen zw eiten P reis im B etrage von 200 M der A rb eit m it dem K en n w o rt: „D eutschlands Jug en d — Deutschlands Z u k u n ft“ zuzuerkennen. D ie Eröffnung der Um schläge ergab als V erfasser der ersten A rb eit: H errn O berlehrer D r. W a l t e r S c h m i e d e b e r g von der O berrealschule in Bielefeld, als V erfasser der zw eiten A rb e it: H errn O berlehrer D r. G e o r g K l a t t von der O berrealschule in G örlitz. D ie erste S chrift behandelt die P reisfrag e vom m athem atischen S tandpunkt, die zw eite vom biologischen und chemischen. B eide A rbeiten w erden im V erlag von O tto Salle in B erlin als V ereinsschrift m it einigen vom P re isg erich t gew ünschten A enderungen herausgegeben. Es soll versucht w erden, als E rgänzung noch eine die Physik behandelnde A rb eit zu gew innen. Den V ereinsm itgliedern w ird die Schrift, die einen w ertvollen B eitrag zu den je tz t schw ebenden Erziehungs- und U n ter
richtsfragen b ildet, kostenlos zugestellt w erden.
D ie E rö rte ru n g Uber das V erhältnis der Landesverbände und O rtsgruppen zu dem H au p t
verein w u rd e w egen A bw esenheit des K assenw arts zurückgestellt und soll e rst nach dem K riege stattfinden. E ine energische W e rb e tä tig k e it für den V erein w ird allen M itgliedern dringend empfohlen.
D er V orsitzende berichtete über den deutschen Ausschuß für E rziehung und U n terrich t und te ilte m it, daß der V erein dem A usschuß beigetreten is t und durch den V orsitzenden ver
tre te n sein w ird.
In einer E rö rte ru n g üb er die A usgestaltung der U n te rrich tsb lätter w urde der W unsch g eäu ß ert, daß die Z eitschrift noch m ehr als bisher die In teressen v ertretu n g für die m athem atisch- naturw issenschaftlichen U nterrichtsfächer übernehm en m öge. Als besonders w ertvoll w urde eine ständige B erich terstattu n g üb er neue durch den K rieg hervorgerufene U n terrich tsliteratu r angesehen, vor allem sow eit sie die Schulreform bew egung betrifft, um so fo rt gegen Angriffe auf unsere F ächer w irksam Stellung nehm en zu können. D ie H erausgeber erb itten dafür die U nterstützung aller M itglieder. Vom nächsten Ja h rg an g an sollen auch regelm äßige M itteilungen ü b er Personalien von Fachgenossen gegeben w erden.
D ie nächste H auptversam m lung soll e rst nach Friedensschluß stattfinden. In erster Linie ist Düsseldorf, das schon für das J a h r 1915 dazu bestim m t w ar, in A ussicht genommen.
H err L i e t z m a n n berichtete noch ü b er die internationale m athem atische U n terrich ts
kom m ission (IMUK), die kurz vor dem A bschluß ih rer T ä tig k e it steh t. E r leg te das erste E xem plar der soeben erschienenen S chrift von L o r e y ü b er das Studium der M athem atik an den deutschen U niversitäten se it A nfang des 19. Jah rh u n d erts vor. Binnen kurzem w ird noch das le tzte H e ft von M. G i r n d t über die deutschen bautechnischen Fachschulen n eb st einem B eiiclit von P rofessor G u t z m e r über die A rbeiten der deutschen U nterrichtskom m ission erscheinen.
A n diese S itzung des V orstandes schloß sich am N achm ittag eine erw eiterte S itzung u n ter dem V orsitz von P rofessor P o s k e an, zu der außer den obengenannten H erren noch erschienen w aren : Von der K öniglichen U niversität in F ra n k fu rt a. M. die H erren S ta d tra t Dr. J . Z i e h e n , P rofessor der P äd ag o g ik , P rofessor D r. F r e u n d , D ire k to r des chemischen In stitu ts, P rofessor D r. D e g u i s n e , D irek to r des In stitu ts fü r angew andte P hysik, P rofessor Dr. B i e b e r b a c h , Professor der M ath em atik ; ferner H e rr P rofessor Dr. D ö h l e m a n n , P rofessor an der technischen H ochschule in M ünchen als V ertre te r des Bayerischen Landesvereins, H err R ealgym nasialdirektor D r. M a u r e r , W iesbaden, H e rr O berrealschuldirektor Z i n t , F ra n k fu rt a. M., H err P rofessor D r. H. C. M ü l l e r , F ra n k fu rt a. M.
D er V ersam m lung lag eine R eihe von L eitsätzen vor, die der V orsitzende eingehend begründete. Nach einer sehr lebhaften B esprechung w urden die L eitsätze in der w eiter unten m itgeteilten F o rm angenommen. D er V orsitzende w ies in seinem S chlußw ort darauf hin, daß durch diese bedeutsam en L eitsätze sow ie durch das E rgebnis des P reisbew erbs eine w ürdige F e ie r des fünfundzw anzigjährigen Bestehens des Vereins zustande geb rach t sei.
A n die T agung schloß sich am Abend eine gesellige Zusam m enkunft d er Teilnehm er an.
Am darauffolgenden Sonntag fand ein gem einsam es M ittagessen im P alm engarten sta tt, auf dem ebenfalls des 25 jäh rig en Bestehens des Vereins gebührend gedacht w urde. E ine sachkundige F ührung durch die G ew ächshäuser beschloß die V ersam m lung, die bei allen Teilnehm ern das B ew ußtsein h in ter
ließ, daß in dieser ernsten Z eit eine nicht unw ichtige positive A rb eit g eleistet w orden ist. B.
1916. No. 7. Ve r e i n s-An g e l e g e n h e i t e n. S. 1-28.
L e i t s ä t z e
über S tellung und A ufgaben des m athem atisch-naturw issenschaftlichen U nterrichts, aufgestellt von dem erw eiterten V orstande des Vereins zur F ö rd eru n g des m athem atischen und n atu r
wissenschaftlichen U nterrichts.
A. Z u r S c h u l o r g a n i s a t i o n i m a l l g e m e i n e n .
1. D er m athem atisch-naturw issenschaftliche U n te rrich t ist vor allen anderen Fächern geeignet, die F ä h ig k e it anschaulichen, auf Tatsachen beruhenden D enkens zu pflegen und die Schüler schon von der untersten Stufe an in steigendem M aße zur Selbst
tä tig k e it anzuleiten. D aher dürfen M athem atik und N aturw issenschaften, im H inblick auf die künftige W o h lfa h rt unseres Volkes, auf keinen F all eine V erm inderung der ihnen zugemessenen Stundenzahl erleiden. V ielm ehr ist, so w eit die im folgenden aufgestellten Forderungen nicht ohne Stundenverm ehrung durchzuführen sind, eine solche anzustreben.
2. M it R ücksicht auf die Schüler, die von der M ittelstufe abgehen, um in das praktische Leben einzutreten oder auf Fachschulen ihre w eitere A usbildung zu suchen, ist zu fordern, daß die M ittelstufe der höheren L ehranstalten von dem U eberm aß des frem d
sprachlichen U nterrichts en tlastet w ird . A uf dieser Stufe sind vielm ehr neben D eutsch, G eschichte und E rdkunde die M athem atik und die N aturw issenschaften besonders nach
drücklich zu betreiben, da fü r die A usbildung des W irklichkeitssinnes vornehm lich hier die G rundlage g e le g t werden muß.
3. An den hum anistischen Gymnasien bedarf der m athem atische U n terrich t auf der M ittel
stufe, der naturw issenschaftliche auf der O berstufe nam entlich in Chemie und Biologie der V erstärkung.
4. An den realistischen L ehranstalten m uß die B iologie bis in die obersten Klassen durohgefülirt w erden.
5. F ü r die in m athem atisch-naturw issenschaftlicher R ichtung einseitig begabten Schüler müssen in bezug auf das Aufvücken bis zur E rschließung des Hochschulstudium s die
selben A ufstiegsm öglichkeiten gesichert w erden, w ie fü r die nach anderen Richtungen einseitig begabten Schüler.
B. Z u r U n t e r r i c h t s g e s t a l t u n g i m b e s o n d e r e n .
6. Auf allen Stufen des m athem atischen und naturw issenschaftlichen U n terrich ts ist die E rziehung zur S e lb sttätig k eit in noch stärkerem M aße als bisher zu pflegen und in V erbindung dam it den Schülern G elegenheit zur praktischen B etätigung, nam entlich durch Schülerübungen, zu geben.
7. Tn der M athem atik is t auf allen Stufen neben der ldgischen Schulung, u n te r Zurüek- drängung der form alen H ebungen, auf die Beziehungen zwischen der theoretischen und der praktischen Seite noch m ehr als b ish er G ew icht zu legen, da gerade hierdurch G elegenheit gegeben w ird, zu selbständigem D enken in unm ittelbarem Anschlüsse an die Tatsachen anzuleiten.
S. In der Biologie soll u nter Z urückdrängung der System atik auch auf hygienische und volksw irtschaftliche G esichtspunkte R ücksicht genom m en und dam it zugleich der sta a ts
bürgerliehen E rziehung ged ien t w erden.
9. Auf w issenschaftliche G ründlichkeit is t in allen m athem atisch-naturw issenschaftlichen Fächern stren g zu halten. D aher ist weise Sichtung des L ehrstoffes unbedingt erforderlich.
10. In allen Zw eigen des m athem atischen und naturw issenschaftlichen U n terrich ts ist auch d er A nteil, der diesen G ebieten an der Behandlung der g roßen W elt- und Lebens
problem e zukom m t, zum V erständnis zu bringen und dadurch eine philosophische V ertiefung des U n terrich ts in der R ichtung auf eine idealistische W eltauffassung herbeizuführen.
S. 124. U n t e r r i c h t s b l ä t t e r . Jah rg . X X II. No. 7.
D er V erein zur F ö rd eru n g d es m a th e
m a tisch en und n a tu rw issen sch a ftlich en U n te rric h ts in den ersten fü n fu n d
z w a n zig Ja h ren se in e s B esteh en s.
(Schluß).
F. B esch lü sse des V erein s und K und
geb u n g en nach au ssen .
A u f d e r v o r b e r e i t e n d e n V e r s a m m l u n g i n J e n a 1890.
Di e auf dieser V ersam m lung gefaß ten B e schlüsse batten nur den Z w eck , dem dort g e w ählten A usschuß für die B egründung des V ereins A nhaltspunkte für seine T ä tig k eit zu geben.
A u f d e r b e g r ü n d e n d e n V e r s a m m l u n g i n B r a u n s c h w e i g 1891.
„Die Schüler höherer Lehranstalten sind im all
gemeinen noch zu wenig imstande, das Mathematische in den sich ihnen im Leben darbiotenden Erschei
nungen zu erkennen und zwar ist die Ursache davon vorzugsweise in dem Umstande zu suchen, daß die An
wendungen der mathematischen Theorie vielfach in künstlich gemachten Beispielen bestehen, anstatt sich auf Verhältnisse zu beziehen, welche sich in Wirklich
keit darbieten. — Daher muß das System der Sehul- mathematik von vornherein, unboschadet seiner vollen Selbständigkeit als Unterrichtsgegenstand, im einzelnen mit Rücksicht auf die sich naturgemäß darhictendc Verwendung (Physik, Chemie, Astronomie usw. und kaufmännisches Rechnen) aufgebaut werden. Die dem
gemäß heranzuziehenden Beispiele sollen die Schüler in solchem Grade daran gewöhnen, in dem sinnlich Wahrnehmbaren nicht nur Qualitatives, sondern auch Quantitatives zu beobachten, daß ihnen eine solche Beobachtungswcisc dauernd zum unwillkürlichen Bedürfnis wird.“
(Brauuschwciger Beschluß. Urheber: Prof. A.
R i c h t e r (Wandsbek)).
A u f d e r V e r s a m m l u n g z u W i e s b a d e n 1 894.
„Es ist dringend zu wünschen, daß in dem zur Einübung und Befestigung des mathematischen Systems bestimmten Aufgabensammlungen die Anwendungen auf die Verhältnisse des wirklichen Lebens und der tatsächlichen Naturvorgänge eine weit größere Berück
sichtigung finden, als dies zur Zeit fast überall der Fall ist.“ (Antragsteller: P i e t z k e r ) .
„Der in Braunschweig gefaßte Beschluß hat nicht den Sinn, daß der Unterricht in der Mathematik sich auf die Darbietung der im Leben und in der Natur
wissenschaft ganz unmittelbar verwandten Kenntnisse beschränken solle.“
(Beschluß zur Beseitigung von Mißverständnissen über den .,Braunschweiger Beschluß“, veranlaßt durch R i c h t e r (Wandsbek)).
„Zur Aufstellung von Normalverzeichnissen für dio Einrichtung der physikalischen Sammlungen an den verschiedenen Orten der höheren Schulen ist eine Kom
mission von 5 Mitgliedern zu berufen, die der nächsten Versammlung entsprechende Vorschläge zu machen hat.“
A u f d e r I. G ö t t i n g e r V e r s a m m l u n g 1895.
B estellu n g von R eferenten ( S c h w a l b e , H o l z m ü l l e r ) für die Fragen des U nterrichts an den T echnischen H ochschulen in seinem V er
hältnis zu dem exak tw issen schaftlich en U n ter
richt auf den höheren Schulen.
I m V e r l a u f e d e s J a h r e s 1895.
Erklärung des V ereinsvorstandes g eg en die ab fällige B eurteilu ng der m athem atisch - natur-O ~ w issenschaftlichen Lehrfächer durch den Pro- vinzial-Schulrat Dr. K a m m e r in S ch lesw ig.
(Text s. Unt.-Bl., Jahrg. I, S. 51).
A u f d e r E l b e r f e l d e r V e r s a m m l u n g 189G.
N orm alverzeichnis für die physikalischen Sam m lungen der höheren Lehranstalten.
(Text s. Unt.-Bl., Jahrg. II, S. 25 bis 27, S. 59).
U eb er die W irk u n g dieser B esch lü sse s. U nt.- B l., Jahrg. II, S. 5 9 /6 0 . E rlasse des Preußischen K ultusm inisters vom Mai 1896 und Juli 1897.
Versam m lungsbeschlüsse über die Beziehungen des m athem atischen U nterrichts zur Ingenieur- Vorbildung.
(Text s. Unt.-Bl., Jahrg. II, S. 73).
A u f d e r L e i p z i g e r V e r s a m m l u n g 1898.
Thesen über die Handhabung der Schul
hygiene, (von S c h w a l b e vorgeschlagen, von der V ersam m lung stillsch w eig en d g eb illig t).
(Text s. Unt.-Bl., Jahrg. IV, S. 71).
A u f d e r V e r s a m m l u n g z u H a n n o v e r 1 8 9 9 . Versam m lungsbesclüüsse betreffend das S tu dium der Lehram tskandidaten an Technischen H ochschulen.
(Vergl. Unt.-Bl., Jahrg. V, S. 37 u. 61, Sp. 1).
V ersam m lungsbeschlüsse betreffend den U nter
richt in der darstellenden G eom etrie und die Zusam m enstellung von M odellen und Instrum enten für den m athem atischen U nterricht an den höheren Schulen.
(Text s. Unt.-Bl., Jahrg. V, S. 61, Sp. 2).
A u f d e r V e r s a m m l u n g z u G i e ß e n 1901.
V ersam m lungsbeschlüsse über den U nterricht in der darstellenden G eom etrie.
(.Text s. Unt.-Bl., Jahrg. VII, S. 75/76).
A u f d e r V e r s a m m l u n g z u D ü s s e l d o r f 1902.
V ersam m lungsbescliluß betreffend die E in
führung des b iologisch en U nterrichts in die oberen K lassen der höheren Lehranstalten.
(Text s. Unt.-Bl., Jahrg. V III, S. 133, Sp. 1).
A u f d e r II. V e r s a m m l u n g z u H a l l e 1 9 0 4 . V ersannnlungsbeschlüsse betreffend den B e
trieb der P hysik als N aturw issenschaft.
(Text s. Unt.-Bl., Jahrg. X, S. 83).
V ersam m lungsbeschlüsse betreffend die B il- duugsaufgabe der M athem atik.
(Text s. Unt.-Bl., Jahrg. X, S. 129 bis 133).
A u f d e r II. V e r s a m m l u n g i n J e n a 1 9 0 5 . V ersam m lungsbeschluß betreffend die Ein-
1916. No. 7. D i f f e r e n t i a l Q u o t i e n t u n d D i f f e r e n t i a l e . S. 125.
fügu ng der G eo lo g ie in den L ehrstoff der höheren Schulen.
(Text s. Unt.-Bl., .Taln-g. XI, S. 127, Sp. 1).
A u f d e r V e r s a m m l u n g z u E r l a n g e n 1906.
V ersam m lungsbeschluß betreffend die T ä tig k e it der G esellschaft deutscher Naturforscher und A erzte für die H ebu ng des m athem atischen und naturw issenschaftlichen U nterrichts.
(Text s. Unt.-Bl., Jahrg. XII, S. 8 6).
A u f d e r V e r s a m m l u n g z u D r e s d e n 1907.
V ersam m lungsbeschlüsse betreffend die grund
legenden G esichtspunkte für den m athem atischen und naturw issenschaftlichen U nterricht an den höheren Schulen.
(Text s. Unt.-Bl., .Taing. X III, S. 91/92).
A u f d e r H . G ö t t i n g e r V e r s a m m l u n g 1908.
Versam m lungsbeschlUsse betreffend die A b grenzung des im physikalischen U nterricht der höheren Schulen zu behandelnden Lehrstoffs.
(Text s. Unt.-Bl., Jahrg. XIV, S. 127).
A u f d e r V e r s a m m lu n g in M ü n s t e r i. W . 1911.
Z ustim m ung der Versam m lung zu den A us
führungen des P rof. F e l i x K l e i n über ak
tu elle P roblem e der Lehrerbildung.
(Text s. Unt.-Bl., Jahrg. X III, S. 90, Sp. 1).
S ch lu ssw ort.
W ir haben im G e iste, in v ie lle ich t für manchen trockener A ufzählung, vorüberziehen lassen, w as der V erein in den 25 Jahren seines B estehens erstrebt und erreicht hat. E s g ib t k ein e für den m ath em atisch -n aturw issen schaft
lichen U nterricht in B etrach t kom m ende Frage, die n ich t besprochen und kritisch behandelt w orden ist. E ine F ü lle von A nregungen ist ausgegangen von den Männern, die uns durch V orträge erfreut und b eleh rt, die durch glän zende Versuche uns neue W e g e gew ie se n , die sich an den fruchtbringenden D iskussionen b e te ilig t, die durch V eranstaltung von A us
flügen unseren Erfahrungskreis erw eitert haben.
N ich t nur d er, der einm al vorübergehend die Versamm lungen besuchte, h at an der e ig e nen Person erfahren, w elchen V orteil er aus den Verhandlungen für seinen U nterricht g e zogen hat, sondern vor allem d iejenigen, bei denen d ie P fin gsttage ein für allem al dem B e such der Hauptversam m lungen gew id m et waren, haben den S egen gespürt, der ihnen aus dem persönlichen V erkehr m it gleich gesin n ten F ach
gen ossen für ihre eigen e U nterrich tstätigkeit, für die K lärung vieler sie b ew egend er Fragen und für die E rfassung neuer P roblem e erw achsen ist. N ich t w eltum stiirzende Pläne wurden auf
g e s te llt; ruhig und besonnen wurden F ord e
rungen erhoben und V orschläge en tw ick elt, die d ie m athem atisch-naturw issenschaftliche B ild u n g der Jugend erw eitern und vertiefen sollten und deren Durchführung auch ohne grundlegende
Veränderungen m öglich war. W ir finden unter den M itarbeitern und Freunden aus U niversi- täts- und Schulkreisen die Nam en von Männern b esten K langes. Ihnen allen sei ged an k t für das, w as sie dem V erein, den von ihnen ver
tretenen Ideen und dam it der Jugend unseres V aterlandes g e le is te t haben. E s erübrigt sich für den K undigen, einzelne Namen liervorzu- lieben ; nur des einzigen Mannes m üssen w ir noch besonders gedenken, der lange Jahre den V erein in m ustergültiger W e ise g e le ite t hat und der den E hrentag sein es 25jäh rigen B esteh en s n icht mehr erleben s o ll t e : F r i e d r i cli P i e t z k e r s . D as L ebensbild des treuen Führers und H üters haben w ir an anderer S telle g eg e b e n (U n t.-B l.
1916, Nr. 5). M öchten sich alle M itglied er zu dem G elöbnis vereinigen, in seinem Sinne w eiter zu arbeiten, in treuem A nschluß an den Verein, dem bei der N eu regelu ng des U nterrichtsw esens nach dem K riege .groß e A ufgaben zufallen w erden.
P. B o d e .
D ifferen tia lq u o tien t und D ifferen tiale.
Von A. S c h ii 1 k o (Tilsit).
O bw ohl die M athem atik hauptsächlich w egen der stren g logisch en E n tw ick elu n g und Behand
lu ng der Sätze und B e w eise gesch ätzt w ird, so g ib t es doch zw ei w ich tig e S tellen, in denen b eim U nterricht eine strenge, w issenschaftlichen A nforderungen gen ü gen de Behandlung ganz aus
gesch lossen ist, nämlich das P a r a l l e l e n a x i o m und die G r u n d l a g e n d e r I n f i n i t e s i m a l - r e c h n u n g.
D ie Parallelentheorie kann erst g ew ü rd igt w erden nach Kenntnis der N ich teu klidisch en G eom etrie, und zum vollen V erständnis der D ifferentialrechnung geh ört der allgem einste F unktionsbegriff. W ährend aber in der Paral
lelen theorie vollstän d ige U ebereinstim m ung darin herrscht, daß auf der Schule nur eine a n s c h a u l i c h e Besprechung m öglich ist, und daß darauf eine strenge und gründliche Behandlung der Elem entar-G eom etrie folgen kann, so gehen b e i der Infinitesim alrechnung die Anschauungen v ie l w e ite r auseinander und d ies is t b ei der verhält
n ism äßigen N eu h eit der Sache erklärlich. Denn die Einführung der D ifferential- und In tegral
rechnung in den U nterricht is t erst 19 0 4 durch F . K l e i n in -weitere K reise gedrungen, und die offenen A ngriffe gegen eine schu lm äßige Behand
lu n g der D ifferential- und Integralrechnung sind erst nach den Erörterungen des V erfassers m it Herrn G eheim rat E. S t u d y , B onn (Zeitschr. f.
rnath. U nten-., S. 6 5 , 1909), verstum m t. A ber auch w enn man sich auf die „vernü n ftigen u F unktionen beschränkt, scheint mir der W e g , der gew öh nlich eingeschlagen w ird, um das W e s e n d e r s t e t i g e n V e r ä n d e r u n g m athem atisch zu erfassen, für Schüler n ich t zw eck m äß ig. D enn
S. 126. Un t e r r i c h t s b lä t t e r. Jah rg . X X II. No. 7.
die m eisten V erfasser* der zahlreichen, neu en t
standenen Schulbücher suchen d ies allein durch den D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n zu erreichen, und diese T atsache erklärt sich sehr einfach da
durch, daß in den w issenschaftlichen Lehrbüchern der D ifferentialrechnung als A u s g a n g s - p u n k t ausschließlich der D ifferential q u o t i e n t und n ich t d ie D i f f e r e n t i a l e ** gebraucht w erden. A ber neben dieser arithm etischen A uf
fassung findet man in der G eom etrie, P h ysik und in der ganzen angew andten M athem atik auch D i f f e r e n t i a l e , die mir für den U nterricht g e eign eter zu sein scheinen. D enn es g ib t viele F älle, in denen der D ifferential q u o t i e n t keine B edeutu ng hat und das V erständnis geradezu er
schw ert. E in ige B eisp iele m ögen dies b e w e is e n : 1. B a r d e v - L i e t z m a n n , II § 18, 114:
„Differenziere den Ausdruck für das Quadrat der H ypotenuse z = a2 b- b ei k onstant g e haltenem b nach iiu.
D ie L ösun g is t — -— 2 « . W e it besser tritt dz
b da
aber der Sinn der A ufgabe hervor in der Fassung bei S c h i l l k e , A ufgaben-Sam m lung II, § 75, 7:
Es ist gem essen a — 100 m, b = 2 0 0 m, y — 9 0 °.
W elch en Einfluß hat ein M essungsfehler h ei a auf die B erechnung von c? c = 2 2 3 ,6 m;
2 c ».de — 2 (? • da ; d e — 0 ,4 4 7 • da, d. h. ein M essungsfehler d a — 1 cm b rin gt eine A enderung de = 4 ,4 7 mm hervor.
2. „Eine Strecke a is t so in zw ei T e ile zu zerlegen, daß das R ech teck aus diesen ein M axi
mum w ir d “ .
G ew öhnlich sa g t m an, daß F — x ( a — x) als G leichung einer Kurve angesehen w erden kann, und man se tz t zur L ösun g den D ifferen
tialq uotien ten g leich N ull. D ie G egner der E in führung der D ifferentialrechnung behaupten aber w oh l m it R echt, daß diese L ösun g ganz m echa
nisch erfolge und gar keinen bildenden W er t habe. Jed en falls sachgem äßer w ird die L ösung, w enn man den Z u w a c h s d F = ( a — 2x) d x untersucht. Zunächst ergib t sieb durch die A n
schauung, daß sich d F aus den R echtecken (a — x) d x — x d x zusam m ensetzt. Dann sieh t
* Z. B .: B a r d e y - L i e t z ra a n n , Aufgaben
sammlung f. K., B. G. Teulmcr 1914, s. auch Zeitsehr.
f. matb. Unt. 1914, S. 150: „es iihevwiegt die Be
nutzung des Differentialquotienten hei vollständiger Vermeidung der Differentiale — wenigstens erhält man diesen Eindruck aus der Literatur“.
*' Dabei ist es allerdings schwer zu erklären, warum z. B. hei O s g o o d , Funktionentheorie, B. CI.
Teubner, 1912, in den Grundbegriffen der Differential
rechnung und im Sachregister die Differentiale über
haupt nicht Vorkommen; S. 223 werden sic aber für das komplexe Gebiet eingeführt und später auch im reellen Gebiet oft gebraucht, z. 11. S. 236—237 hei Ab
bildungen. Dabei ist d y = f ( x ) ■ d x und unter dieser Voraussetzung wird </y = / \ y; dasselbe Zeichen wird also von der Wissenschaft in zwei verschiedenen Be
deutungen gebraucht.
man, daß F für k lein e W erte von x w ächst und für x > 0 ,5 a abnim m t. F w äch st also, solange als d F p ositiv b leib t, d. h. b is d F = 0 w ird.
3. „Den Schw erpunkt eines H albkreises zu finden“ .
D er naturgem äße A usgangspunkt ist w ohl das statisch e M om ent eines dünnen Streifens 2 m x d y • y und von diesem der U eb ergan g zum In tegral. So findet man z. B. d ie Ausführung in dem Lehrbuch der M athem atik für Studierende von S c h e f f e r s , L e ip z ig , V e it, 1 9 1 1 , das m athem atisch vollstän d ig einw andsfrei ist. Nach der D arstellun g der m eisten Schulbücher muß man aber vor A usführung der In tegration erst den D ifferentialquotienten des statischen M oments b ilden, der p h y s i k a l i s c h k e i n e B e d e u t u n g hat. D ieselb e U m ständlichkeit z e ig t sich bei den besonders häufig vorkom m enden Flächen- und Raum inhalten. D ie Anschauung liefert d F — y • dx , d . h . ein F l ä c h e n s t r e i f e n i s t L ä n g e m a l B r e i t e und F is t die Summe da
v o n ; w enn man d agegen , w ie B a r d e y - L i e t z m a n n u. a. nur vom D ifferentialquotienten aus- g eh t, so muß man den S a t z d l = y d. h. „der
° d x
D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t d e r F l ä c h e i st . d i e O r d i n a t e “ , an die S p itze stellen , und ich glaube nicht, daß der Schüler dies als Er
leich teru n g empfinden w ird, w eil dabei die An- sehaüng fehlt.
Ist nun d ieser V orschlag w i s s e n s c h a f t l i c h e i n w a n d s f r e i ? Vielfach w ird es als b e
sonderer V orzug gerühm t, daß beim D iffe r e n tia l quotienten durch lim A y und A . r = 0 die m ysti
schen und unbestim m ten D ifferentiale glü ck lich b e se itig t seien. A ber w enn auch N iem and die groß en F ortsch ritte leugnen w ird, die die neuere M athem atik durch schärfere F assu ng der Grund
begriffe gem acht hat, so scheint m ir doch gegen d ie D ifferentiale b ei „vernü n ftigen “ F unktionen eine unbegründete A b n eigu n g vorzuliegen. Denn diesen D ifferentialen h aftet n ich ts M ystisches an, sondern sie sind klar und nüchtern definiert da
durch, daß man G lieder m it d x2 und d x • d y neben G liedern m it d x w eglassen kann. D iese V ernachlässigung ist k ein e N ach lässigk eit, denn es is t u nm ittelbar zu erkennen, daß man durch
r - G — 10 — 100\
ein hinreichend k lein es d x ( 1 0 , 1 0 , 1 0 J den F eh ler unter jed e Grenze bringen kann;
die hierdurch ab geleiteten A usdrücke sind also nach der D efin ition von W e i e r s t r a ß v o ll
ständ ig streng.
D er p rin zip ielle U nterschied zw isch en diesen beiden A uffassungen ist n ich t so groß , w ie er auf den ersten A nblick zu sein scheint, denn w enn man das Problem tiefer zu erfassen sucht, kom m t man n o tw en d ig zu der A uffassung von H e s s e n b e r g (Abhandlungen der Friesschen
1916- No. 7. D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t u n d D i f f e r e n t i a l e . S. 127.
Schule 1 9 0 6 , S. 167), daß A x gar nicht gla tt
— 0 g e se tz t w erden kann, w eil man durch 0 n ich t dividieren kann, sondern man m uß auch für A x k lein e W erte nehm en, die sich der Null nähern.
W en n auch beide Auffassungen in ihrem innersten Kern Ubereinstimmen, so scheint mir d ie E inführung der D ifferentiale die Erfassung der stetig en Veränderungen sehr zu erleichtern.
Zunächst m acht sie die dopp elte Schreibung m it A x und d x überflüssig, w eil ja beides kleine G rößen sind. Tatsächlich m acht auch die W issen sch aft den U nterschied von A x und d x n ich t allgem ein, denn in der G eom etrie, in der P hysik und in der ganzen angew andten M athe
m atik w erden D ifferentiale in w eitem U m fange gebraucht; im V orw ort zu m einer A ufgaben
sam m lung II habe ich zahlreiche S tellen aus der E n zyklopädie der m athem atischen W issen sch aften dafür angeführt. A u d i in anderen F ällen w ird in W issen sch aft und U nterricht der strenge G renzw ert vom angenälierten W er t nicht durch eine besondere B ezeich n un g unterschieden, w eil jed er we i ß , w as gem ein t ist; ['2 = 1 ,4 1 4 , lo g 2 = 0 ,8 0 1 0 , sin 6 0 ° = 0 ,8 6 6 , jr = 3 ,1 4 2 sind bekannte B eisp iele dafür. In der G eom etrie w erden die B e w e ise gew öh n lich an gezeichneten F igu ren geführt, in denen die Linien endliche B reite haben. N iem and hält es für n ö tig , zum Schluß hinzuzufügen, daß man von den g e zeichneten F igu ren zur Grenze übergehen müsse.
W arum soll man allein beim Differentialquo- tienteii dies jedesm al hinschreiben?
E ntscheidend ist aber, daß die Schule die allgem ein e Grundlage für das Verständnis un
serer g egen w ärtigen K ultur geb en soll und daß die A u f n a h m e d e r I n f i n i t e s i m a l r e c h n u n g i n d e n U n t e r r i e h t d e s h a 1 b e r f o l g t i s t , w e i l d i e m a t h e m a t i s c h e B e h a n d l u n g d e r s t e t i g e n V e r ä n d e r u n g e n d i e n o t w e n d i g e V o r b e d i n g u n g f ü r j e d e s t i e f e r e E i n d r i n g e n i n M a t h e
m a t i k , P h y s i k u n d T e c h n i k i s t . Nun erw eist sieb aber b ei Flächen- und Rauminhalten, bei d.93 = d x ~ -j- d y - , bei Krüm m ungskreis und E volu te, b ei A bbildungen, die in den k leinsten Teilen ähnlich sind, bei A rb eit, statischem und T rägheitsm om ent usw ., die k l e i n e n G r ö ß e n , die D i f f e r e n t i a l e als anschauliche und w esen tlich e Grundlage der Betrachtung, und bei T angenten und G esch w in d igk eit sind die Quo-
(l y d s
Renten der k leinen G rößen - — und - ebenso d x d t
?/ s
a b g ele itet w ie tg a = - und v — -■
D aß die D ifferentiale den naturgem äßen A us
gangspunkt bilden, z e ig t sich auch darin, daß d ie Ausführung aller Rechnungen gar k eine neuen R egeln erfo rd ert; man berechnet den
Zuwachs und die S te ig u n g w ie die U nbekannte einer G leichu ng; man braucht — und dies ist nam entlich für G ym nasien w esen tlich — w ed er den binom ischen Satz noch besondere Differen
tiationsregeln . D ie gan ze R echnung w äch st bei L ösung b estim m ter A u fgab en organisch aus dem U nterricht heraus, und erst, w enn die Schüler m it diesem G edankengang v ö llig vertraut sind, kann man b estim m te R egeln zur A bkürzung der Rechnung einführen.* S etzt man d agegen das frem d artige Sym bol AJ .‘m ^ an den Anfang, so muß man auch fernerhin deduktiv verfahren,
d u • v die Sätze — — oder
d x
d ’ [/'(x ) ‘ H ( 4 ] d j d y ^ __ d t . ö f
d x ’ d x d x d x ö y
ableiten und in akadem ischer W eise D ifferential
rechnung treiben, w ob ei die B efü rchtu ng nahe lie g t, daß diese R egeln von den Schülern leich ter au sw end ig gelern t als verstanden w erden; dazu komm t, daß die Anschauung dabei verloren geh t und nur m echanische R echnung übrig b leib t, w ie oben an einfachen B eisp ielen g e z e ig t wurde.
D ie F ra g e, ob im U nterricht D i f f e r e n t i a l e benutzt w erden, ist vor kurzem von der Internationalen M athem atischen U nterrichts-K om m ission behandelt (s. Ztschr. f. math. Unt. 1914, S. 1 5 0 — 152) und die W en igen , w elche sie ein
gefü hrt haben, sprechen sich g ü n stig darüber aus. A ber aus der F ragestellu n g g in g hervor, daß man die D ifferentiale nur für Ä p p r o x i - m a t i o n e n oder für m e t a p h y s i s c h e G r ö ß e n gehalten h at; die Tatsache, daß die Differentiale durch d ie oben angegeb en e D efin ition für die ganze Schulm athem atik vollkom m en streng rich
tig e E rgebnisse liefern , w urde von der In ter
nationalen U nterrichts-K om m ission nicht in B e tracht gezogen . Auch die V orschläge zur V er
einh eitlich un g der B ezeichnungen vom D eutschen A uscchuß für m athem atischen U nterricht kennen nur A x .
D ie V erhältnisse lieg en für d ie Schule und die U n iversität v ö llig verschieden. In der Schul
m athem atik kommen nur F unktionen vor, die nach P otenzreihen en tw ick elb ar sind. In der reinen M athem atik aber w erden noch groß e K lassen von anderen F un ktion en b ehandelt und zw ar abgesehen von den u nstetigen und se lt
sam en Form en auch solche, die scheinbar ein
fach und regelm äß ig verlaufen und doch in keinem Pun kte in eine T aylorsche R eih e ent
w ickelbar sind. Für alle diese F älle is t die D efin ition T '/ = *'ln n —— geschaffen. D a je-
d x A x = 0 A x
doch d ie Schüler solch e F u n k tion en n ie kennen
* Die nähere Ausführung findet sieh in der Auf
gabensammlung von A. S o h ü 1 k e , Leipzig, Teubner, 1910.
S. 128. tjNTERRICHTSBLÄTTER. Ja h rg . X X II. No. 7.
lernen, so können sie auch n ich t verstehen, (l II
warum in und f y d x nur rlas ganze Sym bol d x
eine B edeutung haben soll, aber w e d e r d y , n o c h d x , n o c h d e r B r u c h s t r i c h . D ie di
rekte N achahm ung des U niversitätslehrganges ist also für die Schule n ich t ein Zeichen von größ erer W issen sch aftlich k eit, sondern sie b ew eist nur A ritlim etisierun g der M athem atik und A bkehr von der A n sch au u n g; man vernachlässigt das W esen der Sache zu Gunsten eines rein m athe
m atischen G esichtspunkts, der für die Schule n ich t in B etrach t kom m t.
Für die w eitau s g rö ß te Mehrzahl aller Schüler b ild en also die D ifferentiale als k lein e G rößen den naturgem äßen und zu gleich leich testen Zu
gan g zur D ifferentialrechn un g; aber auch für die k lein e Zahl derjenigen Schüler, w elch e sich der reinen M athem atik w id m en , sch ein t mir dieser W e g zw eck m äß ig, denn der Studierende hört b ei B egin n des ersten Sem esters, daß er auf der Schule nur besondere F älle kennen g e lernt h at und daß auf der H ochschule neue Funktionen b etrachtet w erden, die neue D efin i
tionen erfordern. Dadurch w ird am b esten dem o ft getad elten Schwänzen der A nfangsvorlesungen vorgebeugt.
E in e E ig e n s c h a f t der g le ic h s e it ig e n H y p e r b e l.
Von E. M a g in (Hamburg).
0 ist der Mittelpunkt einer gleichseitigen Hyperbel ta — ,j'J — a 2' Iin Abstande 0 C = c ist zur £-Achse die Parallele gezogen. Man lasse die Hyperboi um dieso
Parallele rotieren. Der Rotationskörper wird durch eine Ebene J_ f-Achse geschnitten in den Kreisen Ai (Ai F) und M ( M Q). Diese Kreise werden, wie die Figur an- gibt, in die f »/-Ebene umgelegt. Die Parallele C schneidet
die Hyperbel in H . Die Behauptung ist: die Kreise M ( M Q) und M (M P ) schneiden den Kreis C ( C U ) unter Winkeln y, und y2, die für alle Lagen der Schnittcbonc konstant sind.
Es ist:
A / P = » / - f c , M Q = r) — c, C I P = & -f « 2 , C M — S.
Alan verbinde die Schnittpunkte
Sj [Kreise C ( C I I ) X M ( M <?)], S2 [Kreise C ( C I I ) X M ( M P ) ]
mit Ai. Außerdem C mit 5j und S 2. Für C.Sj M — yt folgt aus A C S i M:
«*■ +«*+ — e
COS V, = ----'■ ■, --- = --- ;--- ■ 2 I'c2 -(- (>/ — c) Je2 -)- a- Fiir 2 ^ C S., M — ;>2 folgt:
“ c3 + a2+ ( , + c)2 _ | 2 e cos yQ = ... ...= -f- ■ .
2 ['c 2 + a 2(»/ + c)
1
c2 -j- a 2 Demnach ist: /'! y2= 2 P . Sy und S 2 liegen mit M auf einer Geraden. Die Figur zeigt sofort, daß 0 C A — y2, der Nebenwinkel also = y1 ist. Für i — a werden die beiden Kreise M gleich groß, für f <[ a werden die Kreise M imaginär. Für c = 0 wird der Kreis C zum Hauptkreis der Hyperbel, */i = J’a = 90 °.Entsprechende Eigenschaften erhält man, wenn man die Parallele c, im Abstande 0 6j = Cy zur »/-Achse legt. Man lasse die Hyperbel um diese Parallele als Achse rotieren und schneide den Rotationskörper durch eine Ebene J »/-Achse. Der Kreis Cy (Cy H y) wird von den Kreisen M, (Af, Qy) und My (Af, P,) unter den kon
stanten Winkeln y3 und •/., geschnitten und zwar ist mit Cj My = y,
<h2 — “ 2 + (f — ci) 2 — n- ci COS Vq = — __H' --- = ---- /■:.■■■■ Lj
2 l'cj2 — «o ( i — cx) ) ci a -
cos n = = + _ g i _ .
2 ) V - o 2 (f + c1) W - « 2 Die AVinkel y3 und y4 sind offenbar imaginäre Winkol AVird c, < a, so wird der Kreis Cy (Oj Hy) imaginär.
AVird c , = 0 , so y3 = y4 = 90 °, alle Kreise M { gehen durch die Scheitel A der Hyperbel. Sie schneiden den Kreis f2 -|- »;2 — — a- orthogonal.
Die Kreise C,( C H ) gehen für alle AVcrtc c durch die Scheitel A der Hyperbel, die Kreise Cy (Cy Hy ) gehen durch die Punkte »/ = d_ i a der »/-Achse.
E n tfe r n u n g s m e s s u n g m it e in fa c h e n M itte ln . Von Prof. Dr. A. AVe n d l e r (Erlangen).
Die Bedeutung der Entfernungsmessung für den Unterricht liegt darin, daß sie (in naturgemäßem An
schluß an das schon möglichst frühzeitig zu betreibende Entfernungsschätzen) von den mittleren Klassen an bis hinauf zur Oberprima Gelegenheit gibt, mathematische und physikalische Kenntnisse zu verwerten, weiter darin, daß sic die Alöglichkeit der von den Schülern mit Recht so geschätzten Betätigung im Freien bietet und endlich ganz besonders in dem Zusammenhang mit der Aufgabe der militärischen .Tugendausbildung (s. auch den Aufsatz von P. S p i e s in der Zeitschrift für den physikalischen Unterricht, Bd. 1915, S. 182).
Mit Rücksicht auf den letzteren Punkt erscheint es mir durchaus wünschenswert, die Schüler der oberen Klassen mit den militärisch wichtigen Telemetern auch praktisch vertraut zu machen, was sich bei ent
sprechendem Entgegenkommen der in Frage stehen
den militärischen Stellen leicht ermöglichen ließe.
(Der AVunsch, durch Ueberlassung wissenschaft
lichen Alaterials von den an der militärischen Aus
1916. No. 7. En t f e r n u n g s m e s s u n g m it e i n f a c h e n Mi t t e l n. S. 129.
bildung dor Jugend unmittelbar interessierten amt
lichen Stollen unterstützt zu worden, erstreckt sich auch auf andere Objekte, wie z. B. den Lohratlas für die Herstellung topographischer Karten usw.).
Neben den zahlreichen Entfernungsmessern mit abgostcckter oder abgeschrittener großer Basis und dementsprechend großer Parallaxe interessieren, mit Rücksicht auf die militärische Praxis, ganz besonders die Apparate mit kurzer .Basis (ßasisschieno als Be
standteil des Telemeters), welche daun eine kleine mikrometrisch oder mikroskopisch zu messende Pa
rallaxe bedingt. Nachfolgend möchte ich nun zeigen, wie sich ein Entfernungsmesser dieser Art, dor im Prinzip den Cerebotanischen Instrumenten verwandt ist, mit einfachen Mitteln improvisieren läßt, so daß sich ein für angemessene Entfernungen brauchbares Lehrmodell ergibt, das vor allem in übersichtlicher AVeiso gestattet, prinzipielle Seiten der Entfernungs
messung klarzulegen, Zielübungen mit kontrollierbarem Erfolg zu veranstalten und das AVesen des stereoskopi
schen Effektes sinnfällig zu erläutern.
Das neue Konstruktionselomont dieses einfachen Distanzmessers ist ein an einem Reißbrett (bezw. Meß
tisch) befestigtes Sphärometer, wie es heutzutage wohl in jeder Sammlung mindestens in einem Exemplar vor
handen ist. (In Fig. 2 ist dieses Sphärometer unver
hältnismäßig groß gezeichnet). Die bewegliche Spitze der Mikrometerschraube dient dabei als Visierkorn, dessen seitliche Verschiebung v auf V200 mm ebge- leson werden kann. Das zweite Konstruktionsolement ist auf dem gleichen Reißbrett glatt aufgezogenes Millimeterpapier, dessen Lineatur zunächst der Her
stellung paralleler Visierlinien dient. Solche bekommt man z. B. dadurch, daß man (Fig. 1) 1—2 cm hohe, 1 cm breite Randstrcifchcn des ÍT1 ß Koordinatenpapiers senkrecht auf-
■ biegt und an korrespondierenden Stellen mit feinen Tuschestrichen (Diopterfäden entsprechend) bezw.
einem Visierloch von 3/4mm Durch- ]rjg_ p messer versieht. Die Verwendung
des auf ein Stativ leicht dreh
bar aufzusetzenden Reißbrettes * ergibt sich aus Fig. 2.
Hier ist A B die in Fig. I angegebene Visierlinie. Das mit einer Klemmschraube befestigte Sphärometer ist am Brettrand so aufgesetzt, daß zwei dor Dreifußstifte in die Reißbrettebene fallen und die Schraube seitlich (nach rechts) in Richtung dor einen Linienschar des Koordinatenpapiers verschiebbar läuft. C ist ebenfalls ein aufgebogenes Randstreifehen mit Visierloch; A C — b beträgt in meinem Fall nur 483 mm. C S ist mit Hilfe der zweiten Linienschar des Koordinatenpapiers pa
rallel zu A ß festzulegen, wobei für S ein für allemal eine passende Nullstellung angenommen ist. (Es ist
t? b
b — 483 111m, a = 344 mm, so daß - = - = tan a ~ a
a x
als Parallaxe zu gelten hat. Würde man das Sphäro
meter an die Stelle von C und C an Stelle von ,S bringen, so wäre die Verschiebung v links gerichtet und Figur nebst Formel entsprächen dann dem be
kannten stereophotogrammetrischen Schema, wobei man nur a durch die Brennweite f der Kamera zu er
setzen hätte). Richtet man A B nach einem endlichen Ziel Z, so muß S um S S ' = v verschoben werden, da-
* Das B rett ist mit einer Libelle natürlich möglichst genau zu horizontieren.
mit 7j auch von der linken Visierlinie C S ' getroffen wird, und es ist dann A Z : A C = C S ’ S S 1, oder
x : a ■ . , ., T „ a u a b c 166152
= b : v und sonnt 1. x = ■ - = ---- = ——---
V Vmm
oder; - 1 6 6 ' 1 5 2
Vmtfi X .
(m) ■
V(mm)
T
Fig. 2.
Die Apparatkonstantc c ist also unmittelbar dem Koordinatenpapier zu entnehmen. Bei der Kleinheit der Basis (483 mm) ergibt der Apparat natürlich zu
nächst nur geringe Tragweite (etwa bis 40 m). Mit der Größe des Reißbrettes, die aus naheliegenden Gründen zu beschränken ist, wächst die Konstante e.
Für Distanzen bis zu 150 m benutze ich zwei parallel und korrespondierend am Reißbrett angeschraubte Metermaß- stäbe (Fig. 3a), deren Justierung durch das Koordinaten-
0 K
---
Flg. 3a.
papier erleichtert wird. Die rechte ABsierlinie ist dann durch korrespondierende vertikale Striche, wie z. B.
A 2 und B 2 oder A 3 und B3 gegeben, über die wie bei der Methode des „Einweisens“ hinwegvisiert wird. Soll die Basis noch weiter verlängert werden, so kann man sich eines an einem Doppelfaden befestigten Diopters bedienen, wie es Eig. 3 zeigt. Die Führung der gleich langen Fäden erfolgt durch vier Stiftchen, denen wieder mit Hilfe des Koordinatenpapiers leicht die richtige Parallelstellung gegeben werden kann.
S. 130. Un t e r r i c k t s b l ä t t e r. Ja h rg . X X II. No.
Bei Jon Versuchen mit Jom in Fig. 2 skizzierten ursprünglichen Apparat konnte man durch die Soh- löcher bei A bezw. C nach der Strichmarke von B bezw. der Schraubenspitze S blicken, wobei das Auge der schärferen Zentrierung wegen etwa 10 cm vom Soli- locli entfernt bleibt. Ein schärferes Zielen ermöglicht die Methode des „Einweisens“, indem man statt der Sehlöcher bei A und C die dort angebrachten Strich- marken mit oinvisiert. In diesem Falle tritt man etwa zwei Scliritto vom Reißbrett zurück und sucht dem Körper durch Anlehnen usw. eine möglichst ruhige Haltung zu geben.
Die in Betracht kommenden Fehlerquellen sind nun folgende:
a) Abweichungen von der horizontalen und pa
rallelen Lage von A B und CS; b) Unstabile Mon
tierung ; c) Einflüsse mangelhafter Belouchtungsvcrhält- nisse; d) Zielfehler bei A B ; o) Zielfehler bei C S ; f) Schrauben- und Trommelfehler; g) Papierverzorrung
X A
a
_uA A
j kA
A ' Fig. 3.
Subtrahiert man von Gleichung 1 die Gleichung I + A * = r + fA c '
so erhält man als Fehlerformel 11
± = » = - - £ # , also für den relativen Fehler:
- 4 5 .1 0 0 »
x c
Er wächst also proportional der Entfernung und nimmt mit wachsender Basis ab.
Man berücksichtigt alle Fehlerquellen, wenn man in Uebereinstimmung mit einer Bemerkung von R e i n h e r t z ihren Einfluß 3—5 mal, im Durchschnitt also 4 mal so hoch bewertet als den Zielfehler von C S , und dieser ergibt bei den oben gewählten Dimensionen dos Apparates und einer Zielgenauigkeit von 30"1 die Abweichung 0,03 • * %.
1 D ie Diopter-Zieteenaui^keit wäre nach B a u e r n f i n d 10"—15"; nach J o r d a n ois zu 52", nach W a g n e r 7"—8",
■ A % •
Der insgesamt zu befürchtende, mittlere relative Fehler wäre demnach :
± C* ) - 0>12%-
Würde man bei A B ein kleines Zielfernrohr mit n-facher Vergrößerung benutzen, so würde sich der Zielfehler auf der rechten Seite auf den « ten Teil reduzieren.
Nachstehende Tabelle gibt einige Probon von Meß- resultatcn, die unter Beihilfe von Schülern mit dem Apparat der Fig. 2 (c — lliß, 152) gewonnen wurden.
Vmm Xm = -c
be
rechnet Xm nach
ge
messen
Erwarteter Fehler
* •0 , 1 2 «/„
Tat
sächlicher Fehler
liemerkuugen
12,7
1 2 ,6 8
ß,ß 4’JZ3,87
13,08 13,19 20,77 25,17 39,84 42,93
12,85 13 20,15 26 40,92 45,55
1,54 »/o 1,56 % 2,42 o/,, 3,12 o/o 4,91 n/o 5,47 o/„
1,79 o/0
1,46%
3,07 o/o 5,2 o/o 2,64 o/ 0
5,75 o/
Messungen in
\ Sillen und ( Gängen der
Anstalt
\ Messungen im 1 Schulhof
Die Tabelle zeigt, daß man mit dem von mir be
nutzten Apparat noch bis zu 10 in gehen kann. Will man den relativen Fehler herabdrückon, bezw. unter gleichen Gcnauigkeitsvorhältnissen wie oben, größere Strecken messen, so sind die besprochenen Vorlänge- rungsschicnon anzuwenden.
D ie th e o r e tis c h e B e h a n d lu n g der W e c h s e ls tr ö m e im U n terrich t.
Von F r a n z H o c h h e i m (Wcißonfcls a. S.) In einer 1908 erschienenen Programmabhandlung1
habe ich die Behauptung aufgestollt, daß im physika
lischen Unterricht der oberen Klassen der Rcalanstalten die Wochselströnie nicht nur praktisch, sondern auch theoretisch unter Benutzung der Differential- und In
tegralrechnung zu behandeln seien. Diese Behauptung ist seinerzeit verschiedentlich in Rezensionen der Ab
handlung angegriffen worden, u. a. von G r i m s o h l , an zustimmenden Mitteilungen hat es freilich auch nicht gefehlt Ob G r i m s o h l später anders darüber gedacht hat, weiß ich nicht, nach der zweiten Auflago seines Lehrbuches möchte ich es fast glauben, da sich in ihr eine ziemlich eingehende Behandlung der Weohsol- stromtheoric findet, die sich mit der mcinigon in vielen Punkten deckt. Während sich meine Behauptung 1908 noch auf keine unterrichtliche Erfahrung stützen konnte
— die mathematische Grundlage fehlte den damaligen Primanern —, kann ich heute auf Grund einer längeren Erfahrung sagen, daß sich der Gedanke durchaus als durchführbar und zweckmäßig erwiesen hat: bei oinom planmäßigen Zusammenarbeiten des mathematischen und physikalischen Unterrichts gewinnen hierbei beide Fächer. Für die Mathematik ist gerade die Wochsei
stromtheorie ein vorzügliches Anwendungsgebiet des
„funktionalen Denkens“ ; es treten die variabelen, von der Zeit abhängigen „Augenblickswerte“ (B , i) den kon
stanten immer wiederkehrenden Größen (Scheitelwerte, Effektivwerte, Frequenz) gegenüber. Letztere lassen sich messen (B rau n seh e Röhre, Hitzdrahtinstrumente, Tou
renzähler), aber auch erstcre sind nicht nur orrechnete, in toten Formeln ausgedrückte Gebilde, sondern werden
1 Progr.-Xr. 35<>. Elementare Theorie der W ecbselstrünie T, im Buchhandel erschienen hei B. G. Teubner.
