§4’. R´ownanie Bernoulliego

§4’. R´ownanie Bernoulliego

R´ ownaniem Bernoulliego nazywamy r´ ownanie r´ o˙zniczkowe postaci

(1) y

= a(x)y + b(x)y

,

gdzie a, b : (p, q) → R sa

‘ zadanymi funkcjami cia

‘ g lymi, za´ s α dowolna

‘ liczba

‘ rze- czywista

‘ .

W przypadku, gdy α = 0 lub α = 1, to r´ ownanie (1) jest r´ ownaniem liniowym.

W dalszym cia

‘ gu be

‘ dziemy zak lada´ c, ˙ze liczba α jest r´ o˙zna od 0 i 1.

Niech T = {(x, y) ∈ R

: x ∈ (p, q), y ∈ (0, ∞)}. Oczywi´scie prawa strona r´ ownania (1) jest okre´ slona i cia

‘ g la w prostoka

‘ cie T . Twierdzenie 1. Og´ o l rozwia

‘ za´ n r´ ownania (1) w prostoka

‘ cie T sk lada sie

‘ z funkcji φ : I → R postaci

(2) φ(x) = (ψ(x))

gdzie ψ : I → R przebiega og´o l rozwia ‘ za´ n dodatnich r´ ownania liniowego

(3) z

= (1 − α)a(x)z + (1 − α)b(x) w prostoka

‘ cie T .

Dow´ od. Niech φ : I → R be ‘ dzie rozwia

‘ zaniem r´ ownania (1) w prostoka

‘ cie T . Wtedy φ(x) > 0 dla x ∈ I i funkcja ψ(x) = (φ(x))

, x ∈ I jest funkcja

‘ r´ o˙znicz- kowalna

‘ oraz jej pochodna wynosi

ψ

(x) = (1 − α)((φ(x))

φ

(x) = (1 − α)((φ(x))

(a(x)φ(x) + b(x)(φ(x))

)

= (1 − α)a(x)ψ(x) + (1 − α)b(x), x ∈ I.

To oznacza, ˙ze funkcja ψ jest rozwia

‘ zaniem r´ ownania (3) w T . Odwrotnie, niech funkcja ψ : I → R be

‘ dzie rozwia

‘ zaniem (dodatnim) r´ ownania liniowego (3) w T . Wtedy funkcja φ(x) = (ψ(x))

, x ∈ I jest dodatnia i jest funkcja

‘ r´ o˙zniczkowalna

‘ , a jej pochodna wynosi φ

(x) = 1

1 − α (ψ(x))

ψ

(x) = 1

1 − α (ψ(x))

((1 − α)a(x)ψ(x) + (1 − α)b(x))

= a(x)(ψ(x))

+ b(x)(ψ(x))

= a(x)φ(x) + b(x)(φ(x))

, x ∈ I.

To oznacza, ˙ze funkcja φ jest rozwia

‘ zaniem r´ ownania (1) w T . To ko´ nczy dow´ od.

Twierdzenie 1 mo˙zemy sformu lowa´ c w postaci r´ ownowa˙znej:

1

2

Twierdzenie 1’. Funkcja φ : I → R jest rozwia ‘ zaniem r´ ownania (1) w prostoka

‘ cie T wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ψ : I → R dana wzorem

ψ(x) = (φ(x))

jest rozwia

‘ zaniem r´ ownania (3) w T . Niech A : (p, q) → R oznacza dowolna

‘ ustalona

‘ funkcje

‘ pierwotna

‘ funkcji (1 −α)a, za´ s B : (p, q) → R dowolna

‘ ustalona

‘ funkcja

‘ pierwotna

‘ funkcji (1 − α)

. Na mocy twierdzenia o istnieniu rozwia

‘ za´ n r´ ownania liniowego otrzymujemy, ˙ze og´ o l rozwia

‘ za´ n integralnych r´ ownania (3) w zbiorze (p, q) × R przedstawia sie

‘ wzorami (4) ψ

(x) = (B(x) + γ)e

, x ∈ (p, q),

gdzie γ jest dowolna

‘ liczba

‘ rzeczywista

‘ . Po l´ o˙zmy C = inf

x∈(p,q)

B(x), D = sup

x∈(p,q)

B(x) oraz

∆

= {x ∈ (p, q) : B(x) + γ > 0}.

Jak latwo wida´ c, zbi´ or ∆

= ∅, gdy γ ≤ −D oraz ∆

= (p, q), gdy γ > −C. W przypadku, gdy γ ∈ (−D, −C] zbi´or ∆

jest zbiorem otwartym (suma

‘ co najwy˙zej przeliczalnej ilo´ sci przedzia l´ ow otwartych).

Na mocy twierdzenia 1 i wzoru (4) otrzymujemy Wniosek 1. Og´ o l rozwia

‘ za´ n r´ ownania (1) w T jest postaci (5) φ

(x) = ((B(x) + γ)e

)

, x ∈ I, gdzie I jest dowolnym przedzia lem zawartym w ∆

, za´ s γ dowolna

‘ liczba

‘ rzeczywista nale˙za ‘

‘ ca

‘ do przedzia lu ( −D, ∞).

Latwo pokaza´ c

W lasno´ s´ c 1. Na to, by funkcja (5) by la rozwia

‘ zaniem integralnym r´ ownania (1) w T potrzeba i wystarcza, by przedzia l I by l sk ladowa

‘ zbioru ∆

.

Zauwa˙zmy teraz, ˙ze w przypadku gdy α > 0, to r´ ownanie (1) posiada rozwia

‘ zanie sta le

(6) φ(x) = 0, ˜ x ∈ (p, q).

Zbadamy, czy istnieja

‘ rozwia

‘ zania r´ ownania (1) w zbiorze ˆ T = {(x, y) ∈ R

: x ∈ (p, q), y ∈ [0, ∞)} kt´ore otrzyma´c mo˙zna przez sklejenie rozwia

‘ za´ n typu (5) z rozwia

‘ zaniami sta lymi (obcie

‘ ciami rozwia

‘ zania (6)).

Zauwa˙zmy, ˙ze je˙zeli funkcja φ

dana wzorem (5) jest rozwia

‘ zaniem integralnym r´ ownania (1) w prostoka

‘ cie T , przy czym przedzia l I = (p

, q

) ̸= (p, q), to istnieja ‘ granice

x→p

lim

φ

(x) =

{ 0, gdy 0 < α < 1 + ∞, gdy α > 1, o ile p < p

lub

lim

x→q⁻1

φ

(x) =

{ 0, gdy 0 < α < 1 + ∞, gdy α > 1, o ile q

< q. W konsekwencji, uwzgle

‘ dniaja

‘ c ewentualnie lemat o sklejaniu rozwia

‘ - za´ n otrzymujemy naste

‘ puja

‘ ce

3

Twierdzenie 2. Przyjmijmy za lo˙zenia twierdzenia 1. W´ owczas (i) je˙zeli α > 1, to og´ o l rozwia

‘ za´ n integralnych r´ ownania (1) w prostoka

‘ cie ˆ T sk lada sie

‘ wy la

‘ cznie z rozwia

‘ za´ n integralnych postaci (5) w prostoka

‘ cie T oraz z rozwia

‘ zania sta lego postaci (6),

(ii) je˙zeli 0 < α < 1, to ka˙zde z rozwia

‘ za´ n integralnych postaci (5) w prostoka

‘ cie T , w kt´ orym przedzia l I = (p

, q

) ̸= (p, q), skleja sie

‘ z cze

‘ ´ scia

‘ rozwia

‘ zania sta lego postaci (6).

Rozwa˙zmy na koniec, szczeg´ olny przypadek r´ ownania Bernoulliego postaci

(7) y

= a(x)y + b(x) √

y

,

gdzie a, b : (p, q) → R sa ‘ zadanymi funkcjami cia

‘ g lymi, za´ s n jest liczba

‘ naturalna

‘ (w szczeg´ olno´ sci n = 1) a m liczba

‘ ca lkowita

‘ . R´ ownanie to w zbiorze (p, q) × (0, ∞), ba ‘ d´ z w zbiorze (p, q) × [0, ∞) rozwia ‘ zujemy korzystaja

‘ c z twierdzenia 1, ba

‘ d´ z z twierdzenia 2, przyjmuja

‘ c tam α =

. Ale r´ ownanie (7) posiada te˙z rozwia

‘ zania w zbiorze (p, q) × (−∞, 0), o ile zachodzi jeden z przypadk´ow:

(a) n- nieparzyste i m - nieparzyste, (b) n - nieparzyste i m - parzyste, (c) n - parzyste i m - parzyste.

Mianowicie, rozwa˙zaja

‘ c obok r´ ownania (7) r´ ownanie liniowe

(8) z

= (1 − m

n )a(x)z + ( −1)

(1 − m n )b(x) analogicznie jak twierdzenie 1 dowodzimy

Twierdzenie 3. Og´ o l rozwia

‘ za´ n r´ ownania (7) w prostoka

‘ cie (p, q) ×(−∞, 0) sk lada sie ‘ z funkcji φ : I → R postaci:

w przypadku (a)

φ(x) = −(ψ(x))

gdzie ψ : I → R przebiega og´o l rozwia ‘ za´ n dodatnich r´ ownania liniowego (8) w (p, q) × (0, +∞),

w przypadku (b)

φ(x) = −(−ψ(x))

gdzie ψ : I → R przebiega og´o l rozwia

‘ za´ n ujemnych r´ ownania liniowego (8) w (p, q) × (−∞, 0),

w przypadku (c)

φ(x) = −(ψ(x))

gdzie ψ : I → R przebiega og´o l rozwia ‘ za´ n dodatnich r´ ownania liniowego (8) w (p, q) × (0, +∞),

Twierdzenie 3 mo˙zemy sformu lowa´ c w postaci r´ ownowa˙znej:

4

Twierdzenie 3’. Funkcja φ : I → R jest rozwia ‘ zaniem r´ ownania (7) w zbiorze (p, q) × (−∞, 0) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ψ : I → R dana wzorem

ψ(x) = √

(φ(x))

jest rozwia

‘ zaniem r´ ownania (8) albo w zbiorze (p, q) ×(−∞, 0), gdy n−m jest liczba ‘ nieparzysta

‘ (przypadek (b)), albo w zbiorze (p, q) × (0, +∞), gdy n − m jest liczba ‘ parzysta

‘ (przypadek (a) lub (c)).

Niech,jak poprzednio, A : (p, q) → R oznacza dowolna ‘ ustalona

‘ funkcje

‘ pierwo- tna ‘ funkcji (1 −

)a, za´ s B : (p, q) → R dowolna

‘ ustalona

‘ funkcja

‘ pierwotna

‘ funkcji (1 −

)

oraz niech

C = inf

x∈(p,q)

B(x), D = sup

x∈(p,q)

B(x).

Na mocy twierdzenia o rozwia

‘ zaniach r´ ownania liniowego, podobnie jak wniosek 1 otrzymujemy

Wniosek 2. Og´ o l rozwia

‘ za´ n r´ ownania (1) w (p, q) × (−∞, 0) jest postaci:

w przypadku (a)

φ

(x) = −((B(x) + γ)e

)

, x ∈ I, gdzie I jest dowolnym przedzia lem zawartym w zbiorze

∆

= {x ∈ (p, q) : B(x) + γ > 0}, za´ s γ dowolna

‘ liczba

‘ rzeczywista

‘ nale˙za

‘ ca

‘ do przedzia lu ( −D, +∞).

w przypadku (b)

φ

(x) = −(−(B(x) + γ)e

)

, x ∈ I, gdzie I jest dowolnym przedzia lem zawartym w zbiorze

∆

= {x ∈ (p, q) : B(x) + γ < 0}, za´ s γ dowolna

‘ liczba

‘ rzeczywista

‘ nale˙za

‘ ca

‘ do przedzia lu ( −∞, −C).

w przypadku (c)

φ

(x) = −((−B(x) + γ)e

)

, x ∈ I, gdzie I jest dowolnym przedzia lem zawartym w zbiorze

∆ ˜

= {x ∈ (p, q) : −B(x) + γ > 0}, za´ s γ dowolna

‘ liczba

‘ rzeczywista

‘ nale˙za

‘ ca

‘ do przedzia lu (C, + ∞).

Uwaga 1. Aby wyznaczy´ c og´ o l rozwia

‘ za´ n integralnych r´ ownania (7) w (p, q) × R nale˙zy, podobnie jak w twierdzeniu 2, wyznaczy´c og´o l rozwia ‘ za´ n integralnych w (p, q) × (−∞, 0] oraz og´o l rozwia

‘ za´ n integralnych w (p, q) × [0, +∞) i sprawdzi´c, kt´ ore z cze

‘ ´ sci rozwia

‘ za´ n z (p, q) × (−∞, 0] mo˙zna sklei´c z cze ‘ ´ sciami rozwia

‘ za´ n z (p, q) × [0, +∞) ( o ile m < n ).

Cwiczenia ´

1. Wyznaczy´ c og´ o l rozwia

‘ za´ n integralnych naste

‘ puja

‘ cych r´ owna´ n Bernoulliego:

a) y

=

y +

y

b) y

=

y + √

x √ y c) y

= y + e

√

y.

2. Korzystaja

‘ c z teorii r´ ownania Bernoulliego, wyznaczy´ c og´ o l rozwia

‘ za´ n inte- gralnych r´ ownania:

a) xyy

= y

− x

b) xy

= y − y

.