1.1 Ułamkowy laplasjan

1 Definicje i przydatne twierdzenia

Niech X_t b˛edzie symetrycznym procesem α-stabilnym w R^d, d ∈ N, α ∈ (0, 2).

B˛edziemy zakłada´c tak jak w [6], ˙ze q : R^d7→ R jest nieujemna, lokalnie ograniczona, mierzalna oraz q(x) → ∞, gdy |x| → ∞. NiechA= 2^απ⁻

d

2Γ ^d+α₂
|Γ(−^α₂)|⁻¹. Definicja 1.1. Półgrupa Feynmana-Kaca (Tt)_t>0dla X_toraz q dana jest wzorem

T_tf(x) = E^x e⁻

R_t

0q(X_s)dsf(X_t)

, f∈ L²(R^d), x ∈ R^d. (1) Fakt 1.1. Generatorem półgrupy F-K jest

−(−∆)^α2 + q, (2)

to znaczy

(−(−∆)^α2 + q) f = lim

t→0⁺

T_tf− f

t (3)

dla f ∈D(−(−∆)^α2 + q) (zbie˙zno´s´c w L²(R^d)).

1.1 Ułamkowy laplasjan

Definicja 1.2. Dla α ∈ (0, 2) i odpowiednio regularnej funkcji f definiujemy ułam- kowy laplasjan

(−∆)^α2 f(x) = c_d,α Z

R^d

f(x) − f (y)

|x − y|^d+α dy. (4)

Dla s ∈ (0,^d₂) definiujemy potencjał Riesza (inaczej: odwrotny ułamkowy laplasjan)

(−∆)^−sf(x) = c_d,s Z

R^d

f(y)

|x − y|^d−2sdy, (5)

o ile całka po prawej stronie jest sko´nczona (wystarczy, aby f była lokalnie całko- walna).

´Sci´slej,

(−∆)^α2 f(x) = c_d,αP.V.

Z

R^d

f(x) − f (y)

|x − y|^n+α dy= lim

ε→0⁺

(−∆)^α2 f(x) =

= c_d,α Z

B^c(0,ε)

f(x) − f (y)

|x − y|^n+α dy.

(6)

Fakt 1.2. Stała cd,αwe wzorze (6) dana jest wzorem

c_d,α=

_Z

R^d

1 − cos(ζ1)

|ζ|^d+α dζ

−1

. (7)

Fakt 1.3. ([15], Lemat 3.2) Dla f ∈Szachodzi ∀x ∈ R^d (−∆)^α2 f(x) = −c_d,α

2 Z

R^d

f(x + y) + f (x − y) − 2 f (x)

|y|^d+α dy. (8)

Dowód. Stosujemy zamian˛e zmiennych, z = y − x.

c_d,αP.V.

Z

R^d

f(x) − f (y)

|x − y|^n+α dy= c_d,αP.V.

Z

R^d

f(x + z) − f (x)

|z|^n+α dy.

We´zmy teraz t = −z po prawej stronie powy˙zszej równo´sci.

c_d,αP.V.

Z

R^d

f(x + z) − f (x)

|z|^n+α dy= c_d,αP.V.

Z

R^d

f(x − t) − f (x)

|z|^n+α dy.

Zatem

2c_d,αP.V.

Z

R^d

f(x + z) − f (x)

|z|^n+α dy=

= c_d,αP.V.

Z

R^d

f(x + z) − f (x)

|z|^n+α dy+ c_d,αP.V.

Z

R^d

f(x − t) − f (x)

|z|^n+α dy=

= c_d,αP.V.

Z

R^d

f(x + y) + f (x − y) − 2 f (x)

|y|^d+α dy.

(9)

Fakt 1.4. ([15], Proposition 3.3) Niech (−∆)^α2 :S^{7→ L2}(R²) b˛edzie ułamkowym la- plasjanem. Wtedy ∀u ∈S∀ξ ∈ R²

(−∆)^α2u=F^−1(|ξ|α(F^{u)), (10)} gdzieF oznacza transformat˛e Fouriera.

Twierdzenie 1.1. ([15], Proposition 3.6) Niech s ∈ (0, 1) i niech u ∈ W^s,2(R^d). Wtedy [u]²_Ws,2(R^d)= 2c⁻¹_d,αk(−∆)^s2uk²_L2(R^d). (11) Dowód.

k(−∆)^2suk²_L2

(R^d)= kF(−∆)^s2uk²_L2

(R^d)= k|ξ|^sF^uk2_L2(R^d)=

=c_d,α 2 [u]²

W^s,2(R^d).

(12)

Twierdzenie 1.2. ([15], Proposition 4.4) Niech d > 1. Dla ka˙zdego u ∈C_c^∞(R^d) za- chodzi

1. lim_s→0+(−∆)^su= u, 2. lim_s→1−(−∆)^su= −∆u.

1.1.1 Ułamkowe przestrzenie Sobolewa

Definicja 1.3. Dla s ∈ (0, 1), Ω ⊆ R^d i p ∈ [1, ∞) definiujemy ułamkow ˛a przestrze´n Sobolewa

W^s,p(Ω) :=

(

u∈ L^p(Ω) :|u(x) − u(y)|

|x − y|^dp+s

∈ L^p(Ω × Ω) )

(13) z norm ˛a

kuk_W^s,p_(Ω)=

_Z

Ω

|u|^pdx+ Z

Ω Z

Ω

|u(x) − u(y)|

|x − y|^d+sp dxdy

¹_p

. (14)

Wyraz

[u]_Ws,p(Ω) =

_Z

Ω Z

Ω

|u(x) − u(y)|

|x − y|^d+sp dxdy

¹_p

(15) nazywany jest półnorm ˛a Gagliardo funkcji u.

Twierdzenie 1.3. ([15], Twierdzenie 2.4) Dla ka˙zdego s > 0 klasa funkcji gładkich o zwartym no´sniku,C_c^∞(R^d), jest g˛esta w W^s,p(R^d).

Twierdzenie 1.4. ([15], Proposition 3.4) Niech α ∈ (0, 2). Wtedy [u]_W²s,2(R^d)= 2c⁻¹_d,α

Z

R^d

|ξ|^α| ˆu(ξ)|²dξ. (16)

1.2 Podstawowe narz˛edzia

Zajmujemy si˛e procesem Cauchy’ego, tzn. α = 1.

p_t(x, y) = c_dt

(t²+ |x − y|²)^d+12 , t > 0, x, y ∈ R^d, c_d=Γ ^d+1₂
π^d+12

. (17)

Definicja 1.4. Dla f ∈ L²(R^d), x ∈ R^d,t > 0 definiujemy P_tf(x) =

Z

R^d

p_t(x, y) f (y)dy. (18)

Fakt 1.5. p_t(x) = t^dp₁(tx).

Fakt 1.6. J ˛adro Poissona p_tjest jedno´sci ˛a aproksymatywn ˛a, gdy t → 0⁺. Fakt 1.7. ([6], Lemat 1)T_ts ˛a operatorami zwartymi dla t > 0.

Twierdzenie 1.5. Istnieje ortonormalna baza funkcji własnych ϕn∈ L²(R^d), które s ˛a ci ˛agłe i ograniczone, oraz

T_tϕn= e^−λntϕn, (19)

gdzie 0 < λ1< λ26 λ36 · · · → ∞ s ˛a warto´sciami własnymi.

Definicja 1.5. Dla x ∈ R^ddefiniujemy

u_n(x,t) = P_tϕn(x),t > 0, un(x, 0) = ϕn(x). (20)

Sformułowanie zagadnienia:

 ∆un= 0 w R^d× (0, ∞)

∂

∂tun− qu_n= −λnun, w R^d× {0} . (21)

−(−∆)¹²ϕn(x) + q(x)ϕn(x) = λnϕn(x) (22) Lemat 1. ([6], Lemat 3)

• T_tf(x) 6 Ptf(x) dla f > 0 na R^d, x ∈ R^d, t > 0,

• ∀t > 0, T_t: L∞(R^d) 7→ C_b(R^d),

• Istnieje j ˛adro u(t, x, y) dla T_t, takie ˙ze T_tf(x) =

Z

R^d

u(t, x, y) f (y)dy, f∈ L^p(R^d), x ∈ R^d, (23) gdzie u(t, ·, ·) jest j ˛adrem ci ˛agłym, ograniczonym i dodatnim na R^d× R^d dla ka˙zdego t > 0, a p ∈ [1, ∞],

• u(t, x, y) = u(t, y, x), x, y ∈ R^d,

• 0 < u(t, x, y) 6 p(t, y − x), t > 0, x, y ∈ R^d. Definicja 1.6. Funkcjonałem Feynmana-Kaca nazywamy

e_q(t) = e⁻

R_t 0q(X_s)ds

, t > 0. (24)

Uwaga 1. Wielko´s´c powy˙zsz ˛a interpretuje si˛e jako prawdopodobie´nstwo, ˙ze dana tra- jektoria nie została zabita do chwili t.

Definicja 1.7. Pierwszym czasem wyj´scia procesu X_t ze zbioru D nazywamy zmienn ˛a losow ˛a

τD= inf{t > 0 : Xt∈ D}./ (25) Definicja 1.8. Niech D ⊂ R^db˛edzie zbiorem otwartym. Operatorem q-Greena nazy- wamy

V_Df(x) = E^x(e_q(t) f (X_t)dt) , (26) gdzie f jest nieujemn ˛a funkcj ˛a borelowsk ˛a okre´slon ˛a na zbiorze D.

Definicja 1.9. Niech D ⊂ R^db˛edzie zbiorem otwartym. Dla x ∈ D definiujemy v_D(x) = E^x

_{Z τD}

0

e_q(t)dt



= V_Dχ_D(x). (27)

Fakt 1.8. Dla ograniczonych, otwartych, lipschitzowskich zbiorów D zachodzi v_D(x) =

Z

D

V_D(x, y)dy, (28)

gdzie V_D(x, y) jest tzw. q-funkcj ˛a Greena.

Definicja 1.10. Operatorem potencjału dla (Tt) nazywamy operator dany wzorem V f(x) =

Z ∞ 0

T_tf(x)dt = E^x Z ∞

0

e_q(t) f (X_t)dt, (29) gdzie f jest nieujemn ˛a funkcj ˛a borelowsk ˛a na R^d.

Fakt 1.9.

V f(x) = Z

R^d

V(x, y) f (y)dy, (30)

gdzie

V(x, y) = Z _∞

0

u(t, x, y)dt. (31)

Lemat 2. ([6], wzór (10)) Niech D ⊂ D⁰⊂ R^d, D, D⁰- zbiory otwarte. Niech f b˛edzie nieujemn ˛a funkcj ˛a borelowsk ˛a okre´slon ˛a na zbiorze D⁰. Wtedy

V_D0f(x) = V_Df(x) + E^x(e_q(τD)V_D⁰f(X_τD)), x ∈ D. (32)

Definicja 1.11. Niech D ⊂ R^db˛edzie zbiorem otwartym. Funkcj ˛a cechowania nazy- wamy

uD(x) = E^xeq(τD), x ∈ D. (33) Lemat 3. ([6], Lemat 6) Niech q ∈ L^∞_loc, q > 0. Niech r > 0 i κ ∈ (0, 1). Istnieje stała C_r,κtaka, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ R^di D = B(x, 1)

C_r,κ⁻¹v_D(y) 6 uD(y) 6 Cr,κv_D(y), y ∈ B(x, κr). (34)

Fakt 1.10.

v_D(x) = V_Dχ_Rd(x). (35)

Lemat 4. ([6], wzór (14)) Niech D b˛edzie regularny (bounded domain with the exterior cone property). Dla f > 0

E^x(e_q(τD) f (X_τD)) =A

Z

D

V_D(x, y) Z

D^c

f(z)

|z − y|^d+αdzdy, x ∈ D. (36)

Lemat 5. ([6], Lemat 4)

kV χ_Rdk∞< ∞. (37)

Lemat 6. ([6], Lemat 5) Niech D = B(x, 1), a f b˛edzie nieujemn ˛a i ograniczon ˛a funk- cj ˛a okre´slon ˛a na R^dtak ˛a, ˙ze dla ka˙zdego |x|> 3 spełniony jest warunek

f(x) 6 C⁽¹⁾q v_D(x)



 sup

y∈B(x,^|x|₂)

f(y) + Z

B^c(x,^|x|₂)

f(z)|z − x|^−d−αdz



. (38)

Wtedy dla ka˙zdego |x|> 3

f(x) 6 C⁽²⁾q v_D(x)|x|^−d−α. (39)

Fakt 1.11. (Rudin, Analiza Rzeczywista i Zespolona) Dla f ∈ L¹(R^d) f(x + α) − f (x)\

α = ˆf(ξ)e^iαξ− 1

α . (40)

Lemat 7. Je´sli ci ˛ag funkcji f_njest zbie˙zny jednostajnie, wtedy lim_n→∞^R_a^bfn(x)dx = R_b

alim_n→∞f_n(x)dx.

Lemat 8. Je´sli fn→ f₀w przestrzeni L²(R^d) oraz fn(x) → f (x) prawie wsz˛edzie na R^d, to f ∈ L²(R^d) i f = f₀p.w.

2 Górne ograniczenia dla |ϕ

|

Dotychczas rozwa˙zali´smy operator potencjału V okre´slony na dziedzinie nieujem- nych funkcji borelowskich. W ogólno´sci funkcje ϕnnie s ˛a nieujemne. Dziedzin˛e ope- ratora V mo˙zna rozszerzy´c o funkcje ϕn, n > 1 (V ma sens dla tych funkcji) i wtedy zachodzi nast˛epuj ˛acy lemat.

Lemat 9.

ϕn(x) = λnV ϕ_n(x). (41)

Dowód.

V ϕ_n(x) = Z ∞

0

T_tϕ_n(x)dt = Z ∞

0

e^−λntϕ_n(x)dt = 1 λn

ϕ_n(x).

Lemat 10. Niech D ⊂ R^db˛edzie zbiorem otwartym. Wtedy

ϕ_n(x) 6 λnV_D|ϕn|(x) + λnE^x(e_q(τ_D)V |ϕ_n|(Xτ_D)), x ∈ D. (42)

Dowód. Niech x ∈ D. Z Lematu 9 mamy ϕn(x) = λnV ϕn(x). Dalej, podstawiaj ˛ac w Lemacie 2 za D⁰= R^d

ϕn(x) = λnV ϕ_n(x) 6 λnV|ϕn(x)| = λn(V_D|ϕn(x)| + E^x(e_q(τD)V |ϕn|(X_τD))) .

Twierdzenie 2.1. (por. [6], Twierdzenie 1) Istnieje stała Cqtaka, ˙ze ∀x ∈ R^d∀n > 1 zachodzi

|ϕn(x)| 6Cq,nR

R^dV(x, y)dy

(1 + |x|)^d+α (43)

oraz

|ϕn(x)| 6 C_q,nv_D(x)

(1 + |x|)^d+α. (44)

Dowód. Niech D = B(x, 1). |ϕn| jest oczywi´scie nieujemna i borelowska. Niech |x| <

3. Z Lematu 5 i z Lematu 10

ϕn(x) 6 λnV_D|ϕn(x)| + λnE^x(e_q(τD)V |ϕn|(X_τD)) 6

λnkϕnk_∞(v_D(x) + kV χ_Rdk_∞uD(x)). (45) Z Lematu 3 i ograniczenia na |x| mamy

λnkϕnk_∞(v_D(x) + kV χ_Rdk_∞u_D(x)) 6 Cq,nv_D(x) 6 Cq,n⁰ v_D(x)(1 + |x|)^−d−α. (46) Niech teraz |x|6 3. Połó˙zmy r =^|x|₂. Z Lematu 10 i Lematu 4

ϕn(x) 6 λnV|ϕn(x)| 6 λn Z

D

V_D(x, y)|ϕn(y)|dy+

+ λnE^x(e_q(τD)V |ϕn(X_τD)|; Xτ_D ∈ D^c∩ B(x, r))+

+ λnE^x(e_q(τD)V |ϕn(X_τD)|; XτD ∈ B^c(x, r)) 6 6 λnv_D(x) sup

y∈B(x,r)

|ϕn(y)| + λnu_D(x) sup

y∈B(x,r)

V|ϕn(y)|+

+A^λn Z

D

V_D(x, y) Z

B^c(x,r)

V|ϕn(z)|

|z − y|^d+αdzdy.

(47)

Z Lematu 3 mamy dalej

ϕ_n(x) 6 λnV|ϕn(x)| 6 λnv_D(x) sup

y∈B(x,r)

|ϕn(y)| +C_n,qv_D(x) sup

y∈B(x,r)

V|ϕn(y)|+

+A^λn Z

D

VD(x, y) Z

B^c(x,r)

V|ϕn(z)|

|z − y|^d+αdzdy6 6 C^q,n(2)v_D(x) sup

y∈B(x,r)

V|ϕn(y)| +A

Z

B^c(x,r)

V|ϕn(z)|

|z − y|^d+αdzdy

! ,

(48)

bo sup_y∈B(x,r)|ϕn(y)| > 0, czyli zało˙zenia Lematu 6 dla f = V |ϕn| s ˛a spełnione. Otrzy- mali´smy wi˛ec, ˙ze dla |x|> 3

ϕ_n(x) 6 Cq,nv_D(x)|x|^−d−α. (49) Z drugiej strony T_t(−ϕn(x)) = −e^−λnϕn(x) i je´sli we wszystkich powy˙zszych rachun- kach odwróci´c nierówno´sci i dopisa´c znaki − przy ka˙zdym składniku, to dostaniemy analogiczne oszacowania dolne. Zauwa˙zmy, ˙ze v_D6^R_R^dV(x, y)dy. Z drugiej strony z Lematu 5 mamy kV χ_Rdk< ∞, zatem, bior ˛ac w Lemacie 2 D⁰= R^d, f = χ_Rd i posługu- j ˛ac si˛e Lematem 3, otrzymujemy^R_RdV(x, y)dy 6 Cqv_D(x). St ˛ad dostajemy tez˛e.

Twierdzenie 2.2. Załó˙zmy, ˙ze istnieje stała Mq,x> 1 taka, ˙ze

M_q,x⁻¹(1 + q(x)) 6 q(y), y ∈ B(x, 1). (50) Wtedy

|ϕn(x)| 6 C_q,x,n⁽²⁾

(1 + q(x))(1 + |x|)^d+α, (51)

gdzie C⁽²⁾q,x,n= C⁽²⁾q,nM_q,x, a C⁽²⁾_q jest stał ˛a z Twierdzenia 2.1.

Dowód. Dowód jest identyczny, jak w przypadku dowodu Twierdzenia 5 w pracy KaKu. Przytaczamy go dla porz ˛adku. Niech x ∈ R^d, D = B(x, 1).

v_D(x) = E^x Z τ_D

0

e⁻

R_t

0q(X_s)dsdt6 E^x Z τ_D

0

e^{−M−1q,x(1+q(x))t}dt=

= E^x

1 − e^{−M−1q,x(1+q(x))τD}

Mq,x(1 + q(x))⁻¹6 M 1 + q(x).

(52)

Otrzymane oszacowanie wykorzystujemy w Twierdzeniu 2.1

|ϕn(x)| 6 C_q,nv_D(x)

(1 + |x|)^d+α6 C_q,x,n⁽²⁾

(1 + q(x))(1 + |x|)^d+α. (53)

Wniosek 2.1. Załó˙zmy, ˙ze istniej ˛a R > 0 i M_q> 1 takie, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ R^d, |x| > R zachodzi

M⁻¹_q (1 + q(x)) 6 q(y), y ∈ B(x, 1). (54) Wtedy ∀x ∈ R^d, |x| > R

|ϕn(x)| 6 Cq,n⁽³⁾

(1 + q(x))(1 + |x|)^d+α. (55)

Dowód. Dla |x| > R w Twierdzeniu 2.2 bierzemy M_q,x= M_qi st ˛ad dostajemy natych- miastowo tez˛e.

Uwaga 2. Chcieliby´smy, aby teza Wniosku 2.1 zachodziła tak˙ze dla |x|6 R. W [6]

korzysta si˛e z dodatnio´sci ϕ1, podczas gdy |ϕn| jest tylo nieujemna.

Fakt 2.1. Przykładami funkcji q, które spełniaj ˛a zało˙zenia Twierdzenia 2.2 i Wnio- sku 2.1 s ˛a na przykład

q(x) = |x|^β, β > 0 (56)

oraz

q(x) = e^β|x|, β > 0. (57)

Lemat 11. Niech q spełnia zało˙zenia Twierdzenia 2.2 i Wniosku 2.1. Wtedy ϕ_n∈ L¹(R^d).

Dowód. Niech R b˛edzie stał ˛a z Wniosku 2.1.

Z

R^d

|ϕn(x)|dx 6 |B(0, R)| · kϕnk∞+ Z

B^c(0,R)

C_q,n

(1 + q(x))(1 + |x|)^d+αdx< ∞.

3 Górne ograniczenie dla |∇u

(x,t)|

Niech q spełnia zało˙zenia Twierdzenia 2.2 i Wniosku 2.1 (b˛edziemy mówili, ˙ze q spełnia warunek (A)). Niech H = R^d× [0, ∞), H+= R^d× (0, ∞), Hε= R^d× (ε, ∞).

Zakładamy, ˙ze α = 1.

Lemat 12.

∇_xu_n(x,t) = Z

R^d

∇_xp_t(x, y)ϕ_n(y)dy, x ∈ R^d, t > 0, (58)

∂

∂tu_n(x,t) = Z

R^d

∂

∂tp_t(x, y)ϕn(y)dy, x ∈ R^d, t > 0. (59) Lemat 13. (por. Lemat 3.3 [1]) Niech (x, y) ∈ H+i niech i = 1, 2, . . . , d.

•

∂

∂x_iu_n(x,t) = −c_d Z

R^d

(d − 1)t(xi− y_i)

(t²+ |x − y|²)^d+32 ϕn(y)dy, (60)

•

∂

∂tu_n(x,t) = c_d Z

R^d

|x − y|²− dt² (t²+ |x − y|²)^d+32

ϕ_n(y)dy, (61)

•

∂²u_n

∂x²_i

(x,t) = c_d Z

R^d

(d + 1)(d + 3)t(xi− y_i)²− (d + 1)t(t²+ |x − y|²) (t²+ |x − y|²)^d+52

ϕn(y)dy, (62)

•

∂²u_n

∂t² (x, y) = c_d Z

R^d

d(d + 1)t³− 3(d + 1)t|x − y|² (t²+ |x − y|²)^d+52

ϕn(y)dy. (63)

Zauwa˙zmy, ˙ze transformata Fouriera ˆp_t(ξ) = c^R_Rdp_t(x)e^−iξxdx, wi˛ec analogicznie do powy˙zszych rozwa˙za´n mo˙zna napisa´c, ˙ze

Wniosek 3.1.

∂_tpˆ_t= d∂_tp_t. (64)

Twierdzenie 3.1. Niech q : R^d7→ R b˛edzie nieujemn ˛a, lokalnie ograniczon ˛a, mie- rzaln ˛a oraz q(x) → ∞, gdy |x| → ∞. Niech dodatkowo q spełnia warunki (50) oraz R

R^d

|y|

(1+q(y))(1+|y|)²dy< ∞. Wtedy dla ka˙zdego ε > 0 istnieje stała c = c(R, n, ε) taka, ˙ze

∀(x,t) ∈ H_ε

|∇un(x,t)| 6 c(q, n, ε, d) (t²+ |x|²)^d+12

(65)

Dowód. Ustalmy ε > 0 i niech R b˛edzie stał ˛a z Wniosku 2.1. Niech D = B(0, R). Z Lematu 13 i Twierdzenia 2.2

∂u_n

∂xi

(x,t)    6 c1

Z

R^d

t|x_i− y_i| (t²+ |x − y|²)^d+32

|ϕn(y)|dy 6

6 c2 Z

B^c(0,R)

t|x − y|

(t²+ |x − y|²)^d+32

1

(1 + q(y))(1 + |y|)^d+1dy+

+ c₃ Z

B(0,R)

t|x − y|

(t²+ |x − y|²)^d+32 |ϕn(y)|dy

(66)

Zajmiemy si˛e najpierw drug ˛a całk ˛a. Niech a = 6R = 2 diam(D) + 2 dist(0, D). Dla y∈ D i |x| > a

|x − y| > |x| − |y| > |x| −a 6>5|x|

6 (67)

oraz

|x − y| 6 |x| + |y| 6 |x| +a 667|x|

6 . (68)

Z kolei dla |x| < a i y ∈ D mamy |x − y|6 7R.

Dla t > ε i |x|> a mamy oszacowanie c3

Z

D

t|x − y|

(t²+ |x − y|²)^d+32

|ϕn(y)|dy 6 7

6c3(d + 1) Z

D

t|x|

(t²+^25|x|₃₆²)^d+32

|ϕn(x)|dy 6

6 c⁽⁴⁾_d (t²+ |x|²)^d+12

Z

D|ϕn(x)|dy.

(69)

Rozpatrzmy teraz przypadek t > ε, |x| < a.

c₃ Z

D

t|x − y|

(t²+ |x − y|²)^d+32 |ϕn(y)|dy 6 c3· 49R² Z

D

t

t^d+3|ϕn(y)|dy 6 c(d, n, R) 1 t^d+2

t ε. Dla t > ε, |x| < a mamy |x| <^ta_ε, wi˛ec

c₃ Z

D

t|x − y|

(t²+ |x − y|²)^d+32 |ϕn(y)|dy 6 c(d, n, R) 1 t^d+2

t

ε6 c(d, n, R) (t²+ |x|²)^d+12

 1 +a²

ε²

^d+1₂ . (70) Musimy teraz oszacowa´c pierwsz ˛a całk˛e. Zauwa˙zmy, ˙ze dla ustalonego x ∈ R^d mo-

˙zemy napisa´c c₂

Z

D^c

t|x − y|

(t²+ |x − y|²)^d+32

1

(1 + q(y))(1 + |y|)^d+1dy= Z

D^c∩B(x,^|x|

2)

· · · + Z

D^c∩B^c(x,^|x|₂)

. . . . (71) W pierwszej całce po prawej stronie równo´sci (71) mamy oszacowania ∀y ∈ B = D^c∩ B(x,^|x|₂) |x − y| 6 ^|x|₂. Ponadto je´sli |x|6 ²₃R, to B = /0, wi˛ec mo˙zemy zało˙zy´c, ˙ze

|x| >²₃R. Mamy tak˙ze^|x|₂ 6 |y| 6³₂|x| dla y ∈ B.

Z

D^c∩B(x,^|x|₂)

t|x − y|

(t²+ |x − y|²)^d+32

1

(1 + q(y))(1 + |y|)^d+1dy6 6

Z

B 1

2(t²+ |x − y|²) (t²+ |x − y|²)^d+32

1

(1 + q(y))(1 + 2|y| + |y|²)^d+12 dy6

61 2 Z

B

1 (t²+ |x − y|²)^d+12

1

(1 + |x| +^|x|₄²)^d+12 (1 + q(y)) dy6

61 2 Z

B

1

(t²(1 + |x| +^|x|₄²))^d+12 dy 1 + q(y)= L

(72)

Pami˛etaj ˛ac, ˙ze t > ε, mo˙zemy napisa´c dalej

L6 1

(t²+ ε^{2 |x|}₄²)^d+12 Z

B

dy

1 + q(y)6 c(n, q, ε, d) (t²+ |x|²)^d+12

. (73)

Otrzymana stała nie zale˙zy od x. Została nam całka po zbiorze B₂= D^c∩ B^c(x,^|x|₂).

Dla y ∈ D^c∩ B^c(x,^|x|₂) mamy |x − y| > ^|x|₂, wi˛ec Z

D^c∩B^c(x,^|x|₂)

t|x − y|

(t²+ |x − y|²)^d+32

1

(1 + q(y))(1 + |y|)^d+1dy6 6

Z

D^c∩B^c(x,|x|/2)

t(|x| + |y|) (t²+ |x|²/4)^d+32

1

(1 + q(y))(1 + |y|)^d+1dy6

6 t|x|

(t²+ |x|²/4)^d+32 Z

D^c∩B^c(x,|x|/2)

1

(1 + q(y))(1 + |y|)^d+1dy+

+ t

(t²+ |x|²/4)^d+32 Z

D^c∩B^c(x,|x|/2)

|y|

(1 + q(y))(1 + |y|)^d+1dy6 6 c(R, n, q, d)

(t²+ |x|²)^d+12 .

(74)

Otrzymana stała nie zale˙zy od x i jest taka sama niezale˙znie od wyboru x w rozpisaniu całki po D^cwe wzorze (71) na całki po zbiorach zale˙znych od x. Zauwa˙zmy, ˙ze R = R(q), wi˛ec mo˙zemy pisa´c c(q, n) zamiast c(R, n). Ł ˛acz ˛ac nierówno´sci (69), (70), (73) i (74) otrzymujemy, ˙ze

|∇xu_n(x,t)| 6 c(q, n, ε, d) (t²+ |x|²)^d+12

. (75)

Aby zako´nczy´c dowód, musimy oszacowa´c   

∂un

∂t (x,t)   . 

∂u_n

∂t (x,t)    6 cd

_Z

B(0,R)

+ Z

B^c(0,R)

 |x − y|²+ dt²

(t²+ |x − y|²)^d+32 |ϕn(y)|dy (76)

Pierwsza całka szacuje si˛e podobnie jak całki (69) i (70). Dla t > ε i |x|> a = 6R Z

B(0,R)

|x − y|²+ dt²

(t²+ |x − y|²)^d+32 |ϕn(y)|dy 6 Z

B(0,R)

dt²+⁷₆|x|²

(t²+²⁵₃₆|x|²)^d+32 |ϕn(y)|dy 6 6 c_d· kϕnk₁

(t²+ |x|²)^d+12 .

(77)

Dla t > ε i |x| < a mamy a²6^t2_ε^a2² i ¹

t² 6_t¹2

t²

|x|²+t² ε²+a²

a² , st ˛ad Z

B(0,R)

|x − y|²+ dt² (t²+ |x − y|²)^d+32

|ϕ_n(y)|dy 6 Z

B(0,R)

dt²+ 49R²

t^d+3 |ϕ_n(y)|dy 6 6c(q, n, ε)

t^d+1 6 c₂(q, n, ε) (t²+ |x|²)^d+12

.

(78)

Oszacujmy całk˛e I₁=^R_Bc(0,R)

|x−y|²+dt² (t²+|x−y|²)^d+32

|ϕn(y)|dy. Ustalmy x ∈ R^d. Z Wniosku 2.1 mamy

I16

Z

B^c(0,R)∩B(x,^|x|₂)

+ Z

B^c(0,R)∩B^c(x,^|x|₂)

 |x − y|²+ dt² (t²+ |x − y|²)^d+32

c

(1 + q(y))(1 + |y|)^d+1dy.

(79) Ponownie, dla y ∈ B₁= B^c(0, R) ∩ B(x,^|x|₂) zachodzi |x − y| 6^|x|₂, |y| ∈ [^|x|₂,^3|x|

2 ], czyli Z

B^c(0,R)∩B(x,^|x|₂)

|x − y|²+ dt² (t²+ |x − y|²)^d+32

c

(1 + q(y))(1 + |y|)^d+1dy6 6 c2

Z

B1

1

(t²+ |x − y|²)^d+12 (1 + 2|y| + |y²|)^d+12 dy 1 + q(y)6

6 c₂

(t²(1 + |x| +^|x|₄²))^d+12 Z

B₁

dy

1 + q(y)6 c(d, ε, q, n) (t²+ |x|²)^d+12

.

(80)

Został nam przedostatni krok. Trzeba oszacowa´c całk˛e I2=

Z

B^c(0,R)∩B^c(x,^|x|₂)

|x − y|²+ dt² (t²+ |x − y|²)^d+32

dy

(1 + q(y))(1 + |y|)^d+1. Dla y ∈ B₃= B^c(0, R) ∩ B^c(x,^|x|₂) mamy oszacowanie |x − y| > ^|x|₂, a zatem

I₂6 cd Z

B₃

1 (t²+ |x − y|²)^d+12

dy

(1 + q(y))(1 + |y|)^d+1 66 c(q, n, ε, d) (t²+ |x|²)^d+12

. (81)

Z oszacowa´n (80) i (81) mamy    

∂un

∂t (x,t)   

6 c(q, n, ε, d) (t²+ |x|²)^d+12

. (82)

Ostatecznie z (75) i (82)

|∇un(x,t)| 6 c(q, n, ε, d) (t²+ |x|²)^d+12

, (83)

co ko´nczy dowód.

Inny dowód powy˙zszego Twierdzenia (M. Kwa´snicki, szkic dla ∇x):

Dowód. Po pierwsze zauwa˙zmy, ˙ze

|ϕn(x)| 6 c_q,n

(1 + |x|)^d+α6 c2p1(x). (84) Ponadto

|∇xp_t| 6 c

(t + |x|)^d+α (85)

oraz (p_t jest półgrup ˛a dla α = 1)

p1? p_t= p_1+t, |∇xpt| 61 t pt. Z własno´sci splotu (∇ f ) ∗ g = ∇( f ∗ g). St ˛ad mamy (dla α = 1)

|ϕn∗ ∇xp_t| 61 t

cq,n

(t + |x|)^d+1 (86)

4 Wariacyjna charakteryzacja λ

λn= inf

u∈Fn

( Z

H

|∇u(x,t)|²dxdt+ Z

R^d

q(x)u²(x, 0)dx) (87) dla pewnej rodziny funkcjiFn, któr ˛a zdefiniujemy pó´zniej. Cały czas zakładamy, ˙ze q spełnia warunek (A) i zało˙zenia Twierdzenia 3.1.

Lemat 14. (por. [1], Lemat 3.3 (g)) Z

Hε

|∇un(x,t)|²dxdt< ∞. (88)

Dowód.

Z

Hε

|∇un(x,t)|²dxdt6 Z

Hε

c(q, n, ε, d) (t²+ |x|²)^d+12

!2

dxdt= Z

Hε

c²(q, n, ε, d)

(t²+ |x|²)^d+1dxdt< ∞.

Definicja 4.1. (por. [1], Definicja 3.1)NiechF(q) b˛edzie klas ˛a wszystkich sko´nczo- nych kombinacji liniowych funkcji u : H 7→ R spełniaj ˛acych nast˛epuj ˛ace warunki:

1. u jest ci ˛agła i ograniczona na H.

2. ∇u(x,t) istnieje dla prawie wszystkich (x,t) ∈ H+i ∇u jest funkcj ˛a mierzaln ˛a.

Je´sli (x,t) ∈ H+i ∇u(x,t) nie istnieje, to u(x,t) = 0.

3. Dla ka˙zdego ε > 0 istnieje stała c(ε) taka, ˙ze dla ka˙zdego t > ε

|∇u(x,t)| 6 c(ε) (t²+ |x|²)^d+12

(89)

dla wszystkich (x,t) ∈ H, dla których ∇u(x,t) istnieje.

4. lim_|x|→∞u(x, 0) = 0 oraz Z

R^d

q(x)u²(x, 0)dx < ∞. (90)

5. Z

H

|∇u(x,t)|²dxdt< ∞. (91)

4.1 Oszacowanie drugiej pochodnej

Definicja 4.2. Mówimy, ˙ze q spełnia warunek (B), je´sli spełnia warunek (A) oraz 1 + q(x)> (1 + |x|)⁴r(x), gdzie^R_Rd dy

|r(y)| < ∞.

Twierdzenie 4.1. (por. [1], Lemat 3.3 (f)) Niech t > ε i niech q spełnia warunek (B).

Wtedy

∂²u_n

∂t² (x,t)    

+

d

∑

i=1

∂²u_n

∂x²_i (x,t)

6 c(ε, n, q, d) (t²+ |x|²)^d+22

. (92)

Dowód. Ustalmy i ∈ {1, 2 . . . , d}. Oszacujemy najpierw   

∂²un

∂x²_i (x,t)  

. Niech a = 6R, gdzie R = R_qjest stał ˛a z Wniosku 2.1. Dla t > ε, y ∈ B(0, R) = D i |x| < a mamy

|x − y| < 7R oraz

(d + 1)t|(d + 3)(x_i− y_i)²− t²− |x − y|²| 6 cd

pt²+ a²(t²+ a²), (93) zatem, je´sli rozpisa´c^∂2un

∂x²_i (x,t) =^R_D· · · +^R_Dc· · · = I₁+ I₂,

|I₁| 6 cd Z

D

(t²+ a²)³²

t^d+5 |ϕn(y)|dy 6 c(d, q, n) (t²+ |x|²)^d+22

 1 +a²

ε²

^d+2₂

. (94)

W przypadku, gdy |x|> a, y ∈ D, skorzystamy z nierówno´sci ^7|x|₆ > |x − y| > ^5|x|₆ ,

|y| 6^a₆.

|I₁| 6 cd Z

D

t|t²+⁴⁹₃₆|x|²− (d + 3)⁴⁹₃₆x²_i|

(t²+²⁵₃₆|x|²)^d+52 |ϕn(y)|dy 6 6 c⁽²⁾_d

Z

D

pt²+ |x|²(t²+ |x|²)

(t²+ |x|²)^d+52 |ϕn(y)|dy 6 c(d, n, q) (t²+ |x|²)^d+22

.

(95)

Dalej korzysta´c b˛edziemy z Wniosku 2.1. Niech teraz B = B(x,^|x|₂). Dla |x| 6 ^2R₄ mamy D^c∩ B = D^c∩ B^c= /0, czyli mo˙zemy przyj ˛a´c, ˙ze |x| >^2R₃. Dla y ∈ D^c∩ B mamy

|x|

2 6 |y| 6^3|x|₂ , wi˛ec |x − y|6 |x| + |y| 6^5|x|₂ . Rozpisujemy I₂=^R_Dc∩B· · · +^R_Dc∩B^c· · · = I₃+ I₄. St ˛ad i z warunku (B) bierze si˛e oszacowanie

|I₃| 6 c(d, q, n) Z

D^c∩B

(t²+²⁵₄|x|²)³² (t²)^d+52

dy

(1 + |y|)^d+1(1 + q(y))6 6 c(d, q, n)

Z

D^c∩B

(t²+ |x|²)³² (t²(1 + |y|)²)^d+52

dy r(y)6 6 c(d, q, n)

Z

D^c∩B

(t²+ |x|²)³² (t²+ ε^{2 |x|}₄²)^d+52

dy

r(y)6 c(n, d, q, ε) (t²+ |x|²)^d+22

.

(96)

Do oszacowania została całka po zbiorze B₂= D^c∩ B^c, czyli I₄. Dla y ∈ B₂zachodzi

|x − y| >^|x|₂.

|I₄| 6 Z

B₂

c_d (t²+ |x − y|²)^d+22

dy

(1 + |y|)^d+1(1 + q(y))6 6 c(d, q, n)

(t²+^|x|₄²)^d+22 6 c(d, q, n) (t²+ |x|²)^d+22

.

(97)

St ˛ad mamy

∂²u_n

∂x²_i (x,t)   

6 |I1| + |I₃| + |I₄| 6 c(q, n, d, ε) (t²+ |x|²)^d+22

. (98)

Zajmiemy si˛e teraz pochodn ˛a  

∂²un

∂t² (x,t) 

. Analogicznie jak wy˙zej, rozpiszmy j ˛a jako sum˛e całek po zbiorach D, B₂= D^c∩ B oraz B₃= D^c∩ B^c, oznaczaj ˛ac je odpowiednio J1, J₂, J₃. Zauwa˙zmy, ˙ze |t³− t|x − y|²| 6 (t²+ |x − y|²)³². Dla |x|6 a

|J₁| 6 cd

(t²+⁴⁹₃₆a²)³² t^d+5

Z

D

|ϕn(y)|dy 6 c(d, n, ε, q) (t²+ |x|²)^d+22 )

. (99)

Teraz dla |x| > a.

|J₁| 6 cd Z

D

(t²+⁴⁹₃₆|x|²)³² (t²+²⁵₃₆|x|²)^d+52

ϕ_n(y)|dy 6 c(d, n, q) (t²+ |x|²)^d+22

. (100)

Przy całkach J₂i J₃ mo˙zemy zało˙zy´c, ˙ze |x|>²₃R. Posłu˙zymy si˛e Wnioskiem 2.1 i zało˙zeniem, ˙ze q spełnia (B). Podobnie, jak we wcze´sniejszych całkach zauwa˙zamy,

˙ze dolne ograniczenie |y| jest proporcjonalne do |x|, tzn. |y| > ^|x|₂.

|J₂| 6 c Z

B2

(t²+²⁵₄|x|²)³²) t^d+5

dy

(1 + |y|)^d+5r(y)6 c(n, d, q, ε) (t²+ |x|²)^d+22

. (101)

Pozostała nam do oszacowania całka J₃. Tutaj, dla y ∈ B₃, |x − y|>^|x|₂, wi˛ec

|J₃| 6 cd Z

B3

(t²+ |x − y|²)³²

(t²+ |x − y|²)^d+52 |ϕn(y)|dy 6 Z

B3

|ϕn(y)|dy

(t²+^|x|₄²)^d+22 6 c(n, d, q)

(t²+ |x|²)^d+22 . (102) Ostatecznie

∂²u_n

∂t² (x,t)   

6 |J1| + |J₂| + |J₃| 6 c(n, d, q, ε) (t²+ |x|²)^d+22

, (103)

a st ˛ad

∂²u_n

∂t² (x,t)    

+

d

∑

i=1

∂²u_n

∂x²_i (x,t)   

6 c(ε, n, q, d) (t²+ |x|²)^d+22

, (104)

co nale˙zało pokaza´c.

Uwaga 3. Je´sli pomin ˛a´c warunek (B), otrzymujemy nieco gorsze oszacowanie. Przyj- rzyjmy si˛e dowodowi. Całkujemy po zbiorze B(0, R) ∩ B(x,^|x|₂). Tym razem licznik szacujemy przez

|t(x_i− y_i)²− t(t²+ |x − y|²)| 6 t(t²+ |x − y|²). (105) St ˛ad

t(t²+ |x − y|²) (t²+ |x − y|²)^d+52 (1 + |y|)^d+1

= t

(t²+ |x − y|²)^d+32 (1 + |y|)^d+1 6 1

t^d+2(1 + |y|)^d+1. (106) St ˛ad |I₃| w powy˙zszym dowodzie szacuje si˛e przez

|I₃| 6 c (t²+ |x|²)^d+12

. (107)

Taki sam argument działa dla całki |J₂|. Licznik oszacujemy przez t · |t²− |x − y|²| 6 t(t²+ |x − y|²) a dalej przepisujemy rachunki (106).

Uwaga 4. Warunek (B) mo˙zna osłabi´c bez utraty rz˛edu oszacowa´n. Wystarczy, aby (1 + |y|)^d+1(1 + q(y)) = (1 + |y|)^d+2r(y), (108) gdzie r(y) ∈ L¹(R^d). Wynika to z oszacowania (106), bowiem

1 t^d+2(1 + |y|)^d+1

1

1 + q(y)= 1

t^d+2(1 + |y|)^d+2 1

r(y) 6 c

(t²+ |x|²)^d+22 r(y)

. (109)

Oznacza to, ˙ze q musi by´c rz˛edu wi˛ekszego ni˙z |y|², a zatem rozszerzamy klas˛e poten- cjałów w sposób znacz ˛acy. Od tego miejsca warunek (B) b˛edzie oznaczał warunek (A) i warunek (108).

Wniosek 4.1. (por. [6], Lemat 3.3 (h)) Niech q spełnia (A). Wtedy Z

Hε

∂²u_n

∂t² (x,t)    

+

d

∑

i=1

∂²u_n

∂x²_i (x,t)

dxdt< ∞. (110)

Dowód. Z Twierdzenia 4.1 Z

Hε

∂²u_n

∂t² (x,t)    

+

d i=1

∑

∂²u_n

∂x²_i (x,t)

dxdt6 Z

Hε

c(ε, n, q, d) (t²+ |x|²)^d+12

dxdt< ∞.

Twierdzenie 4.2. (por. [1], Proposition 3.4) Niech q spełnia warunek (A) i niech u spełnia warunki 1.-4. z Definicji 4.1. Wtedy dla ka˙zdego ε > 0 i ka˙zdego n ∈ N mamy

Z

H_ε

∇u(x, t)∇u_n(x,t)dxdt = − Z

R^d

u(x, ε)∂u_n

∂t (x, ε)dx. (111) W szczególno´sci obydwie całki s ˛a sko´nczone.

Dowód. Z Twierdzenia 3.1 i warunku 3. z Definicji 4.1 Z

H_ε|∇u(x,t)||∇un(x,t)|dxdt 6 Z

H_ε

c(q, ε, n, u, d)dxdt (t²+ |x|²)^d+1 < ∞, wi˛ec całka

I₁= Z

H_ε

∇u(x, t)∇u_n(x,t)dxdt jest bezwzgl˛ednie zbie˙zna. Mo˙zemy rozpisa´c

I₁=

d

∑

i=1 Z∞

ε Z∞

−∞. . . Z∞

−∞

| {z }

(d−1)−całek Z ∞

−∞

∂u

∂xi

(x,t)∂u_n

∂xi

(x,t)dx_i dx₁. . . dx_d

| {z }

(d−1) razy bez dx_i

dt+

+ Z _∞

−∞

. . . Z _∞

−∞

Z_∞ ε

∂u

∂t(x,t)∂un

∂t (x,t)dtdx₁dx2. . . dx_d.

(112)

Z Twierdzenia 3.1 i warunku 3. z Definicji 4.1 dla ka˙zdego t> ε otrzymujemy, ˙ze Z ∞

−∞

∂u

∂xi

(x,t)∂un

∂xi

(x,t)    

dx_i6 Z ∞

−∞

c(q, u, ε, n, d) (t²+ |x|²)^d+1dx_i6 6

Z ∞

−∞

c(q, u, ε, n, d)

(ε²+ |x|²)^d+1dx_i< ∞

(113)