1.1 Ułamkowy laplasjan

52  Download (0)

Pełen tekst

(1)

1 Definicje i przydatne twierdzenia

Niech Xt b˛edzie symetrycznym procesem α-stabilnym w Rd, d ∈ N, α ∈ (0, 2).

B˛edziemy zakłada´c tak jak w [6], ˙ze q : Rd7→ R jest nieujemna, lokalnie ograniczona, mierzalna oraz q(x) → ∞, gdy |x| → ∞. NiechA= 2απ

d

2Γ d+α2  |Γ(−α2)|−1. Definicja 1.1. Półgrupa Feynmana-Kaca (Tt)t>0dla Xtoraz q dana jest wzorem

Ttf(x) = Ex e

Rt

0q(Xs)dsf(Xt)

, f∈ L2(Rd), x ∈ Rd. (1) Fakt 1.1. Generatorem półgrupy F-K jest

−(−∆)α2 + q, (2)

to znaczy

(−(−∆)α2 + q) f = lim

t→0+

Ttf− f

t (3)

dla f ∈D(−(−∆)α2 + q) (zbie˙zno´s´c w L2(Rd)).

1.1 Ułamkowy laplasjan

Definicja 1.2. Dla α ∈ (0, 2) i odpowiednio regularnej funkcji f definiujemy ułam- kowy laplasjan

(−∆)α2 f(x) = cd,α Z

Rd

f(x) − f (y)

|x − y|d+α dy. (4)

Dla s ∈ (0,d2) definiujemy potencjał Riesza (inaczej: odwrotny ułamkowy laplasjan)

(−∆)−sf(x) = cd,s Z

Rd

f(y)

|x − y|d−2sdy, (5)

o ile całka po prawej stronie jest sko´nczona (wystarczy, aby f była lokalnie całko- walna).

´Sci´slej,

(−∆)α2 f(x) = cd,αP.V.

Z

Rd

f(x) − f (y)

|x − y|n+α dy= lim

ε→0+

(−∆)α2 f(x) =

= cd,α Z

Bc(0,ε)

f(x) − f (y)

|x − y|n+α dy.

(6)

Fakt 1.2. Stała cd,αwe wzorze (6) dana jest wzorem

cd,α=

Z

Rd

1 − cos(ζ1)

|ζ|d+α

−1

. (7)

(2)

Fakt 1.3. ([15], Lemat 3.2) Dla f ∈Szachodzi ∀x ∈ Rd (−∆)α2 f(x) = −cd,α

2 Z

Rd

f(x + y) + f (x − y) − 2 f (x)

|y|d+α dy. (8)

Dowód. Stosujemy zamian˛e zmiennych, z = y − x.

cd,αP.V.

Z

Rd

f(x) − f (y)

|x − y|n+α dy= cd,αP.V.

Z

Rd

f(x + z) − f (x)

|z|n+α dy.

We´zmy teraz t = −z po prawej stronie powy˙zszej równo´sci.

cd,αP.V.

Z

Rd

f(x + z) − f (x)

|z|n+α dy= cd,αP.V.

Z

Rd

f(x − t) − f (x)

|z|n+α dy.

Zatem

2cd,αP.V.

Z

Rd

f(x + z) − f (x)

|z|n+α dy=

= cd,αP.V.

Z

Rd

f(x + z) − f (x)

|z|n+α dy+ cd,αP.V.

Z

Rd

f(x − t) − f (x)

|z|n+α dy=

= cd,αP.V.

Z

Rd

f(x + y) + f (x − y) − 2 f (x)

|y|d+α dy.

(9)

Fakt 1.4. ([15], Proposition 3.3) Niech (−∆)α2 :S7→ L2(R2) b˛edzie ułamkowym la- plasjanem. Wtedy ∀u ∈S∀ξ ∈ R2

(−∆)α2u=F−1(|ξ|α(Fu)), (10) gdzieF oznacza transformat˛e Fouriera.

Twierdzenie 1.1. ([15], Proposition 3.6) Niech s ∈ (0, 1) i niech u ∈ Ws,2(Rd). Wtedy [u]2Ws,2(Rd)= 2c−1d,αk(−∆)s2uk2L2(Rd). (11) Dowód.

k(−∆)2suk2L2

(Rd)= kF(−∆)s2uk2L2

(Rd)= k|ξ|sFuk2L2(Rd)=

=cd,α 2 [u]2

Ws,2(Rd).

(12)

Twierdzenie 1.2. ([15], Proposition 4.4) Niech d > 1. Dla ka˙zdego u ∈Cc(Rd) za- chodzi

1. lims→0+(−∆)su= u, 2. lims→1(−∆)su= −∆u.

(3)

1.1.1 Ułamkowe przestrzenie Sobolewa

Definicja 1.3. Dla s ∈ (0, 1), Ω ⊆ Rd i p ∈ [1, ∞) definiujemy ułamkow ˛a przestrze´n Sobolewa

Ws,p(Ω) :=

(

u∈ Lp(Ω) :|u(x) − u(y)|

|x − y|dp+s

∈ Lp(Ω × Ω) )

(13) z norm ˛a

kukWs,p(Ω)=

Z

|u|pdx+ Z

Z

|u(x) − u(y)|

|x − y|d+sp dxdy

1p

. (14)

Wyraz

[u]Ws,p(Ω) =

Z

Z

|u(x) − u(y)|

|x − y|d+sp dxdy

1p

(15) nazywany jest półnorm ˛a Gagliardo funkcji u.

Twierdzenie 1.3. ([15], Twierdzenie 2.4) Dla ka˙zdego s > 0 klasa funkcji gładkich o zwartym no´sniku,Cc(Rd), jest g˛esta w Ws,p(Rd).

Twierdzenie 1.4. ([15], Proposition 3.4) Niech α ∈ (0, 2). Wtedy [u]W2s,2(Rd)= 2c−1d,α

Z

Rd

|ξ|α| ˆu(ξ)|2dξ. (16)

1.2 Podstawowe narz˛edzia

Zajmujemy si˛e procesem Cauchy’ego, tzn. α = 1.

pt(x, y) = cdt

(t2+ |x − y|2)d+12 , t > 0, x, y ∈ Rd, cdd+12  πd+12

. (17)

Definicja 1.4. Dla f ∈ L2(Rd), x ∈ Rd,t > 0 definiujemy Ptf(x) =

Z

Rd

pt(x, y) f (y)dy. (18)

Fakt 1.5. pt(x) = tdp1(tx).

Fakt 1.6. J ˛adro Poissona ptjest jedno´sci ˛a aproksymatywn ˛a, gdy t → 0+. Fakt 1.7. ([6], Lemat 1)Tts ˛a operatorami zwartymi dla t > 0.

Twierdzenie 1.5. Istnieje ortonormalna baza funkcji własnych ϕn∈ L2(Rd), które s ˛a ci ˛agłe i ograniczone, oraz

Ttϕn= e−λntϕn, (19)

gdzie 0 < λ1< λ26 λ36 · · · → ∞ s ˛a warto´sciami własnymi.

Definicja 1.5. Dla x ∈ Rddefiniujemy

un(x,t) = Ptϕn(x),t > 0, un(x, 0) = ϕn(x). (20)

(4)

Sformułowanie zagadnienia:

 ∆un= 0 w Rd× (0, ∞)

∂tun− qun= −λnun, w Rd× {0} . (21)

−(−∆)12ϕn(x) + q(x)ϕn(x) = λnϕn(x) (22) Lemat 1. ([6], Lemat 3)

• Ttf(x) 6 Ptf(x) dla f > 0 na Rd, x ∈ Rd, t > 0,

• ∀t > 0, Tt: L(Rd) 7→ Cb(Rd),

• Istnieje j ˛adro u(t, x, y) dla Tt, takie ˙ze Ttf(x) =

Z

Rd

u(t, x, y) f (y)dy, f∈ Lp(Rd), x ∈ Rd, (23) gdzie u(t, ·, ·) jest j ˛adrem ci ˛agłym, ograniczonym i dodatnim na Rd× Rd dla ka˙zdego t > 0, a p ∈ [1, ∞],

• u(t, x, y) = u(t, y, x), x, y ∈ Rd,

• 0 < u(t, x, y) 6 p(t, y − x), t > 0, x, y ∈ Rd. Definicja 1.6. Funkcjonałem Feynmana-Kaca nazywamy

eq(t) = e

Rt 0q(Xs)ds

, t > 0. (24)

Uwaga 1. Wielko´s´c powy˙zsz ˛a interpretuje si˛e jako prawdopodobie´nstwo, ˙ze dana tra- jektoria nie została zabita do chwili t.

Definicja 1.7. Pierwszym czasem wyj´scia procesu Xt ze zbioru D nazywamy zmienn ˛a losow ˛a

τD= inf{t > 0 : Xt∈ D}./ (25) Definicja 1.8. Niech D ⊂ Rdb˛edzie zbiorem otwartym. Operatorem q-Greena nazy- wamy

VDf(x) = Ex(eq(t) f (Xt)dt) , (26) gdzie f jest nieujemn ˛a funkcj ˛a borelowsk ˛a okre´slon ˛a na zbiorze D.

Definicja 1.9. Niech D ⊂ Rdb˛edzie zbiorem otwartym. Dla x ∈ D definiujemy vD(x) = Ex

Z τD

0

eq(t)dt



= VDχD(x). (27)

Fakt 1.8. Dla ograniczonych, otwartych, lipschitzowskich zbiorów D zachodzi vD(x) =

Z

D

VD(x, y)dy, (28)

gdzie VD(x, y) jest tzw. q-funkcj ˛a Greena.

(5)

Definicja 1.10. Operatorem potencjału dla (Tt) nazywamy operator dany wzorem V f(x) =

Z 0

Ttf(x)dt = Ex Z

0

eq(t) f (Xt)dt, (29) gdzie f jest nieujemn ˛a funkcj ˛a borelowsk ˛a na Rd.

Fakt 1.9.

V f(x) = Z

Rd

V(x, y) f (y)dy, (30)

gdzie

V(x, y) = Z

0

u(t, x, y)dt. (31)

Lemat 2. ([6], wzór (10)) Niech D ⊂ D0⊂ Rd, D, D0- zbiory otwarte. Niech f b˛edzie nieujemn ˛a funkcj ˛a borelowsk ˛a okre´slon ˛a na zbiorze D0. Wtedy

VD0f(x) = VDf(x) + Ex(eqD)VD0f(XτD)), x ∈ D. (32)

Definicja 1.11. Niech D ⊂ Rdb˛edzie zbiorem otwartym. Funkcj ˛a cechowania nazy- wamy

uD(x) = ExeqD), x ∈ D. (33) Lemat 3. ([6], Lemat 6) Niech q ∈ Lloc, q > 0. Niech r > 0 i κ ∈ (0, 1). Istnieje stała Cr,κtaka, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ Rdi D = B(x, 1)

Cr,κ−1vD(y) 6 uD(y) 6 Cr,κvD(y), y ∈ B(x, κr). (34)

Fakt 1.10.

vD(x) = VDχRd(x). (35)

Lemat 4. ([6], wzór (14)) Niech D b˛edzie regularny (bounded domain with the exterior cone property). Dla f > 0

Ex(eqD) f (XτD)) =A

Z

D

VD(x, y) Z

Dc

f(z)

|z − y|d+αdzdy, x ∈ D. (36)

Lemat 5. ([6], Lemat 4)

kV χRdk< ∞. (37)

Lemat 6. ([6], Lemat 5) Niech D = B(x, 1), a f b˛edzie nieujemn ˛a i ograniczon ˛a funk- cj ˛a okre´slon ˛a na Rdtak ˛a, ˙ze dla ka˙zdego |x|> 3 spełniony jest warunek

f(x) 6 C(1)q vD(x)

 sup

y∈B(x,|x|2)

f(y) + Z

Bc(x,|x|2)

f(z)|z − x|−d−αdz

. (38)

Wtedy dla ka˙zdego |x|> 3

f(x) 6 C(2)q vD(x)|x|−d−α. (39)

(6)

Fakt 1.11. (Rudin, Analiza Rzeczywista i Zespolona) Dla f ∈ L1(Rd) f(x + α) − f (x)\

α = ˆf(ξ)eiαξ− 1

α . (40)

Lemat 7. Je´sli ci ˛ag funkcji fnjest zbie˙zny jednostajnie, wtedy limn→∞Rabfn(x)dx = Rb

alimn→∞fn(x)dx.

Lemat 8. Je´sli fn→ f0w przestrzeni L2(Rd) oraz fn(x) → f (x) prawie wsz˛edzie na Rd, to f ∈ L2(Rd) i f = f0p.w.

2 Górne ograniczenia dla |ϕ

n

|

Dotychczas rozwa˙zali´smy operator potencjału V okre´slony na dziedzinie nieujem- nych funkcji borelowskich. W ogólno´sci funkcje ϕnnie s ˛a nieujemne. Dziedzin˛e ope- ratora V mo˙zna rozszerzy´c o funkcje ϕn, n > 1 (V ma sens dla tych funkcji) i wtedy zachodzi nast˛epuj ˛acy lemat.

Lemat 9.

ϕn(x) = λnV ϕn(x). (41)

Dowód.

V ϕn(x) = Z

0

Ttϕn(x)dt = Z

0

e−λntϕn(x)dt = 1 λn

ϕn(x).

Lemat 10. Niech D ⊂ Rdb˛edzie zbiorem otwartym. Wtedy

ϕn(x) 6 λnVDn|(x) + λnEx(eqD)V |ϕn|(XτD)), x ∈ D. (42)

Dowód. Niech x ∈ D. Z Lematu 9 mamy ϕn(x) = λnV ϕn(x). Dalej, podstawiaj ˛ac w Lemacie 2 za D0= Rd

ϕn(x) = λnV ϕn(x) 6 λnV|ϕn(x)| = λn(VDn(x)| + Ex(eqD)V |ϕn|(XτD))) .

Twierdzenie 2.1. (por. [6], Twierdzenie 1) Istnieje stała Cqtaka, ˙ze ∀x ∈ Rd∀n > 1 zachodzi

n(x)| 6Cq,nR

RdV(x, y)dy

(1 + |x|)d+α (43)

oraz

n(x)| 6 Cq,nvD(x)

(1 + |x|)d+α. (44)

(7)

Dowód. Niech D = B(x, 1). |ϕn| jest oczywi´scie nieujemna i borelowska. Niech |x| <

3. Z Lematu 5 i z Lematu 10

ϕn(x) 6 λnVDn(x)| + λnEx(eqD)V |ϕn|(XτD)) 6

λnnk(vD(x) + kV χRdkuD(x)). (45) Z Lematu 3 i ograniczenia na |x| mamy

λnnk(vD(x) + kV χRdkuD(x)) 6 Cq,nvD(x) 6 Cq,n0 vD(x)(1 + |x|)−d−α. (46) Niech teraz |x|6 3. Połó˙zmy r =|x|2. Z Lematu 10 i Lematu 4

ϕn(x) 6 λnV|ϕn(x)| 6 λn Z

D

VD(x, y)|ϕn(y)|dy+

+ λnEx(eqD)V |ϕn(XτD)|; XτD ∈ Dc∩ B(x, r))+

+ λnEx(eqD)V |ϕn(XτD)|; XτD ∈ Bc(x, r)) 6 6 λnvD(x) sup

y∈B(x,r)

n(y)| + λnuD(x) sup

y∈B(x,r)

V|ϕn(y)|+

+Aλn Z

D

VD(x, y) Z

Bc(x,r)

V|ϕn(z)|

|z − y|d+αdzdy.

(47)

Z Lematu 3 mamy dalej

ϕn(x) 6 λnV|ϕn(x)| 6 λnvD(x) sup

y∈B(x,r)

n(y)| +Cn,qvD(x) sup

y∈B(x,r)

V|ϕn(y)|+

+Aλn Z

D

VD(x, y) Z

Bc(x,r)

V|ϕn(z)|

|z − y|d+αdzdy6 6 Cq,n(2)vD(x) sup

y∈B(x,r)

V|ϕn(y)| +A

Z

Bc(x,r)

V|ϕn(z)|

|z − y|d+αdzdy

! ,

(48)

bo supy∈B(x,r)n(y)| > 0, czyli zało˙zenia Lematu 6 dla f = V |ϕn| s ˛a spełnione. Otrzy- mali´smy wi˛ec, ˙ze dla |x|> 3

ϕn(x) 6 Cq,nvD(x)|x|−d−α. (49) Z drugiej strony Tt(−ϕn(x)) = −e−λnϕn(x) i je´sli we wszystkich powy˙zszych rachun- kach odwróci´c nierówno´sci i dopisa´c znaki − przy ka˙zdym składniku, to dostaniemy analogiczne oszacowania dolne. Zauwa˙zmy, ˙ze vD6RRdV(x, y)dy. Z drugiej strony z Lematu 5 mamy kV χRdk< ∞, zatem, bior ˛ac w Lemacie 2 D0= Rd, f = χRd i posługu- j ˛ac si˛e Lematem 3, otrzymujemyRRdV(x, y)dy 6 CqvD(x). St ˛ad dostajemy tez˛e.

Twierdzenie 2.2. Załó˙zmy, ˙ze istnieje stała Mq,x> 1 taka, ˙ze

Mq,x−1(1 + q(x)) 6 q(y), y ∈ B(x, 1). (50) Wtedy

n(x)| 6 Cq,x,n(2)

(1 + q(x))(1 + |x|)d+α, (51)

gdzie C(2)q,x,n= C(2)q,nMq,x, a C(2)q jest stał ˛a z Twierdzenia 2.1.

(8)

Dowód. Dowód jest identyczny, jak w przypadku dowodu Twierdzenia 5 w pracy KaKu. Przytaczamy go dla porz ˛adku. Niech x ∈ Rd, D = B(x, 1).

vD(x) = Ex Z τD

0

e

Rt

0q(Xs)dsdt6 Ex Z τD

0

e−M−1q,x(1+q(x))tdt=

= Ex

1 − e−M−1q,x(1+q(x))τD

Mq,x(1 + q(x))−16 M 1 + q(x).

(52)

Otrzymane oszacowanie wykorzystujemy w Twierdzeniu 2.1

n(x)| 6 Cq,nvD(x)

(1 + |x|)d+α6 Cq,x,n(2)

(1 + q(x))(1 + |x|)d+α. (53)

Wniosek 2.1. Załó˙zmy, ˙ze istniej ˛a R > 0 i Mq> 1 takie, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ Rd, |x| > R zachodzi

M−1q (1 + q(x)) 6 q(y), y ∈ B(x, 1). (54) Wtedy ∀x ∈ Rd, |x| > R

n(x)| 6 Cq,n(3)

(1 + q(x))(1 + |x|)d+α. (55)

Dowód. Dla |x| > R w Twierdzeniu 2.2 bierzemy Mq,x= Mqi st ˛ad dostajemy natych- miastowo tez˛e.

Uwaga 2. Chcieliby´smy, aby teza Wniosku 2.1 zachodziła tak˙ze dla |x|6 R. W [6]

korzysta si˛e z dodatnio´sci ϕ1, podczas gdy |ϕn| jest tylo nieujemna.

Fakt 2.1. Przykładami funkcji q, które spełniaj ˛a zało˙zenia Twierdzenia 2.2 i Wnio- sku 2.1 s ˛a na przykład

q(x) = |x|β, β > 0 (56)

oraz

q(x) = eβ|x|, β > 0. (57)

Lemat 11. Niech q spełnia zało˙zenia Twierdzenia 2.2 i Wniosku 2.1. Wtedy ϕn∈ L1(Rd).

Dowód. Niech R b˛edzie stał ˛a z Wniosku 2.1.

Z

Rd

n(x)|dx 6 |B(0, R)| · kϕnk+ Z

Bc(0,R)

Cq,n

(1 + q(x))(1 + |x|)d+αdx< ∞.

(9)

3 Górne ograniczenie dla |∇u

n

(x,t)|

Niech q spełnia zało˙zenia Twierdzenia 2.2 i Wniosku 2.1 (b˛edziemy mówili, ˙ze q spełnia warunek (A)). Niech H = Rd× [0, ∞), H+= Rd× (0, ∞), Hε= Rd× (ε, ∞).

Zakładamy, ˙ze α = 1.

Lemat 12.

xun(x,t) = Z

Rd

xpt(x, y)ϕn(y)dy, x ∈ Rd, t > 0, (58)

∂tun(x,t) = Z

Rd

∂tpt(x, y)ϕn(y)dy, x ∈ Rd, t > 0. (59) Lemat 13. (por. Lemat 3.3 [1]) Niech (x, y) ∈ H+i niech i = 1, 2, . . . , d.

∂xiun(x,t) = −cd Z

Rd

(d − 1)t(xi− yi)

(t2+ |x − y|2)d+32 ϕn(y)dy, (60)

∂tun(x,t) = cd Z

Rd

|x − y|2− dt2 (t2+ |x − y|2)d+32

ϕn(y)dy, (61)

2un

∂x2i

(x,t) = cd Z

Rd

(d + 1)(d + 3)t(xi− yi)2− (d + 1)t(t2+ |x − y|2) (t2+ |x − y|2)d+52

ϕn(y)dy, (62)

2un

∂t2 (x, y) = cd Z

Rd

d(d + 1)t3− 3(d + 1)t|x − y|2 (t2+ |x − y|2)d+52

ϕn(y)dy. (63)

Zauwa˙zmy, ˙ze transformata Fouriera ˆpt(ξ) = cRRdpt(x)e−iξxdx, wi˛ec analogicznie do powy˙zszych rozwa˙za´n mo˙zna napisa´c, ˙ze

Wniosek 3.1.

tt= d∂tpt. (64)

Twierdzenie 3.1. Niech q : Rd7→ R b˛edzie nieujemn ˛a, lokalnie ograniczon ˛a, mie- rzaln ˛a oraz q(x) → ∞, gdy |x| → ∞. Niech dodatkowo q spełnia warunki (50) oraz R

Rd

|y|

(1+q(y))(1+|y|)2dy< ∞. Wtedy dla ka˙zdego ε > 0 istnieje stała c = c(R, n, ε) taka, ˙ze

∀(x,t) ∈ Hε

|∇un(x,t)| 6 c(q, n, ε, d) (t2+ |x|2)d+12

(65)

(10)

Dowód. Ustalmy ε > 0 i niech R b˛edzie stał ˛a z Wniosku 2.1. Niech D = B(0, R). Z Lematu 13 i Twierdzenia 2.2

∂un

∂xi

(x,t) 6 c1

Z

Rd

t|xi− yi| (t2+ |x − y|2)d+32

n(y)|dy 6

6 c2 Z

Bc(0,R)

t|x − y|

(t2+ |x − y|2)d+32

1

(1 + q(y))(1 + |y|)d+1dy+

+ c3 Z

B(0,R)

t|x − y|

(t2+ |x − y|2)d+32n(y)|dy

(66)

Zajmiemy si˛e najpierw drug ˛a całk ˛a. Niech a = 6R = 2 diam(D) + 2 dist(0, D). Dla y∈ D i |x| > a

|x − y| > |x| − |y| > |x| −a 6>5|x|

6 (67)

oraz

|x − y| 6 |x| + |y| 6 |x| +a 667|x|

6 . (68)

Z kolei dla |x| < a i y ∈ D mamy |x − y|6 7R.

Dla t > ε i |x|> a mamy oszacowanie c3

Z

D

t|x − y|

(t2+ |x − y|2)d+32

n(y)|dy 6 7

6c3(d + 1) Z

D

t|x|

(t2+25|x|362)d+32

n(x)|dy 6

6 c(4)d (t2+ |x|2)d+12

Z

Dn(x)|dy.

(69)

Rozpatrzmy teraz przypadek t > ε, |x| < a.

c3 Z

D

t|x − y|

(t2+ |x − y|2)d+32n(y)|dy 6 c3· 49R2 Z

D

t

td+3n(y)|dy 6 c(d, n, R) 1 td+2

t ε. Dla t > ε, |x| < a mamy |x| <taε, wi˛ec

c3 Z

D

t|x − y|

(t2+ |x − y|2)d+32n(y)|dy 6 c(d, n, R) 1 td+2

t

ε6 c(d, n, R) (t2+ |x|2)d+12

 1 +a2

ε2

d+12 . (70) Musimy teraz oszacowa´c pierwsz ˛a całk˛e. Zauwa˙zmy, ˙ze dla ustalonego x ∈ Rd mo-

˙zemy napisa´c c2

Z

Dc

t|x − y|

(t2+ |x − y|2)d+32

1

(1 + q(y))(1 + |y|)d+1dy= Z

Dc∩B(x,|x|

2)

· · · + Z

Dc∩Bc(x,|x|2)

. . . . (71) W pierwszej całce po prawej stronie równo´sci (71) mamy oszacowania ∀y ∈ B = Dc∩ B(x,|x|2) |x − y| 6 |x|2. Ponadto je´sli |x|6 23R, to B = /0, wi˛ec mo˙zemy zało˙zy´c, ˙ze

(11)

|x| >23R. Mamy tak˙ze|x|2 6 |y| 632|x| dla y ∈ B.

Z

Dc∩B(x,|x|2)

t|x − y|

(t2+ |x − y|2)d+32

1

(1 + q(y))(1 + |y|)d+1dy6 6

Z

B 1

2(t2+ |x − y|2) (t2+ |x − y|2)d+32

1

(1 + q(y))(1 + 2|y| + |y|2)d+12 dy6

61 2 Z

B

1 (t2+ |x − y|2)d+12

1

(1 + |x| +|x|42)d+12 (1 + q(y)) dy6

61 2 Z

B

1

(t2(1 + |x| +|x|42))d+12 dy 1 + q(y)= L

(72)

Pami˛etaj ˛ac, ˙ze t > ε, mo˙zemy napisa´c dalej

L6 1

(t2+ ε2 |x|42)d+12 Z

B

dy

1 + q(y)6 c(n, q, ε, d) (t2+ |x|2)d+12

. (73)

Otrzymana stała nie zale˙zy od x. Została nam całka po zbiorze B2= Dc∩ Bc(x,|x|2).

Dla y ∈ Dc∩ Bc(x,|x|2) mamy |x − y| > |x|2, wi˛ec Z

Dc∩Bc(x,|x|2)

t|x − y|

(t2+ |x − y|2)d+32

1

(1 + q(y))(1 + |y|)d+1dy6 6

Z

Dc∩Bc(x,|x|/2)

t(|x| + |y|) (t2+ |x|2/4)d+32

1

(1 + q(y))(1 + |y|)d+1dy6

6 t|x|

(t2+ |x|2/4)d+32 Z

Dc∩Bc(x,|x|/2)

1

(1 + q(y))(1 + |y|)d+1dy+

+ t

(t2+ |x|2/4)d+32 Z

Dc∩Bc(x,|x|/2)

|y|

(1 + q(y))(1 + |y|)d+1dy6 6 c(R, n, q, d)

(t2+ |x|2)d+12 .

(74)

Otrzymana stała nie zale˙zy od x i jest taka sama niezale˙znie od wyboru x w rozpisaniu całki po Dcwe wzorze (71) na całki po zbiorach zale˙znych od x. Zauwa˙zmy, ˙ze R = R(q), wi˛ec mo˙zemy pisa´c c(q, n) zamiast c(R, n). Ł ˛acz ˛ac nierówno´sci (69), (70), (73) i (74) otrzymujemy, ˙ze

|∇xun(x,t)| 6 c(q, n, ε, d) (t2+ |x|2)d+12

. (75)

Aby zako´nczy´c dowód, musimy oszacowa´c

∂un

∂t (x,t) .

∂un

∂t (x,t) 6 cd

Z

B(0,R)

+ Z

Bc(0,R)

 |x − y|2+ dt2

(t2+ |x − y|2)d+32n(y)|dy (76)

(12)

Pierwsza całka szacuje si˛e podobnie jak całki (69) i (70). Dla t > ε i |x|> a = 6R Z

B(0,R)

|x − y|2+ dt2

(t2+ |x − y|2)d+32n(y)|dy 6 Z

B(0,R)

dt2+76|x|2

(t2+2536|x|2)d+32n(y)|dy 6 6 cd· kϕnk1

(t2+ |x|2)d+12 .

(77)

Dla t > ε i |x| < a mamy a26t2εa22 i 1

t2 6t12

t2

|x|2+t2 ε2+a2

a2 , st ˛ad Z

B(0,R)

|x − y|2+ dt2 (t2+ |x − y|2)d+32

n(y)|dy 6 Z

B(0,R)

dt2+ 49R2

td+3n(y)|dy 6 6c(q, n, ε)

td+1 6 c2(q, n, ε) (t2+ |x|2)d+12

.

(78)

Oszacujmy całk˛e I1=RBc(0,R)

|x−y|2+dt2 (t2+|x−y|2)d+32

n(y)|dy. Ustalmy x ∈ Rd. Z Wniosku 2.1 mamy

I16

Z

Bc(0,R)∩B(x,|x|2)

+ Z

Bc(0,R)∩Bc(x,|x|2)

 |x − y|2+ dt2 (t2+ |x − y|2)d+32

c

(1 + q(y))(1 + |y|)d+1dy.

(79) Ponownie, dla y ∈ B1= Bc(0, R) ∩ B(x,|x|2) zachodzi |x − y| 6|x|2, |y| ∈ [|x|2,3|x|

2 ], czyli Z

Bc(0,R)∩B(x,|x|2)

|x − y|2+ dt2 (t2+ |x − y|2)d+32

c

(1 + q(y))(1 + |y|)d+1dy6 6 c2

Z

B1

1

(t2+ |x − y|2)d+12 (1 + 2|y| + |y2|)d+12 dy 1 + q(y)6

6 c2

(t2(1 + |x| +|x|42))d+12 Z

B1

dy

1 + q(y)6 c(d, ε, q, n) (t2+ |x|2)d+12

.

(80)

Został nam przedostatni krok. Trzeba oszacowa´c całk˛e I2=

Z

Bc(0,R)∩Bc(x,|x|2)

|x − y|2+ dt2 (t2+ |x − y|2)d+32

dy

(1 + q(y))(1 + |y|)d+1. Dla y ∈ B3= Bc(0, R) ∩ Bc(x,|x|2) mamy oszacowanie |x − y| > |x|2, a zatem

I26 cd Z

B3

1 (t2+ |x − y|2)d+12

dy

(1 + q(y))(1 + |y|)d+1 66 c(q, n, ε, d) (t2+ |x|2)d+12

. (81)

Z oszacowa´n (80) i (81) mamy

∂un

∂t (x,t)

6 c(q, n, ε, d) (t2+ |x|2)d+12

. (82)

(13)

Ostatecznie z (75) i (82)

|∇un(x,t)| 6 c(q, n, ε, d) (t2+ |x|2)d+12

, (83)

co ko´nczy dowód.

Inny dowód powy˙zszego Twierdzenia (M. Kwa´snicki, szkic dla ∇x):

Dowód. Po pierwsze zauwa˙zmy, ˙ze

n(x)| 6 cq,n

(1 + |x|)d+α6 c2p1(x). (84) Ponadto

|∇xpt| 6 c

(t + |x|)d+α (85)

oraz (pt jest półgrup ˛a dla α = 1)

p1? pt= p1+t, |∇xpt| 61 t pt. Z własno´sci splotu (∇ f ) ∗ g = ∇( f ∗ g). St ˛ad mamy (dla α = 1)

n∗ ∇xpt| 61 t

cq,n

(t + |x|)d+1 (86)

4 Wariacyjna charakteryzacja λ

n Cel:

λn= inf

u∈Fn

( Z

H

|∇u(x,t)|2dxdt+ Z

Rd

q(x)u2(x, 0)dx) (87) dla pewnej rodziny funkcjiFn, któr ˛a zdefiniujemy pó´zniej. Cały czas zakładamy, ˙ze q spełnia warunek (A) i zało˙zenia Twierdzenia 3.1.

Lemat 14. (por. [1], Lemat 3.3 (g)) Z

Hε

|∇un(x,t)|2dxdt< ∞. (88)

Dowód.

Z

Hε

|∇un(x,t)|2dxdt6 Z

Hε

c(q, n, ε, d) (t2+ |x|2)d+12

!2

dxdt= Z

Hε

c2(q, n, ε, d)

(t2+ |x|2)d+1dxdt< ∞.

(14)

Definicja 4.1. (por. [1], Definicja 3.1)NiechF(q) b˛edzie klas ˛a wszystkich sko´nczo- nych kombinacji liniowych funkcji u : H 7→ R spełniaj ˛acych nast˛epuj ˛ace warunki:

1. u jest ci ˛agła i ograniczona na H.

2. ∇u(x,t) istnieje dla prawie wszystkich (x,t) ∈ H+i ∇u jest funkcj ˛a mierzaln ˛a.

Je´sli (x,t) ∈ H+i ∇u(x,t) nie istnieje, to u(x,t) = 0.

3. Dla ka˙zdego ε > 0 istnieje stała c(ε) taka, ˙ze dla ka˙zdego t > ε

|∇u(x,t)| 6 c(ε) (t2+ |x|2)d+12

(89)

dla wszystkich (x,t) ∈ H, dla których ∇u(x,t) istnieje.

4. lim|x|→∞u(x, 0) = 0 oraz Z

Rd

q(x)u2(x, 0)dx < ∞. (90)

5. Z

H

|∇u(x,t)|2dxdt< ∞. (91)

4.1 Oszacowanie drugiej pochodnej

Definicja 4.2. Mówimy, ˙ze q spełnia warunek (B), je´sli spełnia warunek (A) oraz 1 + q(x)> (1 + |x|)4r(x), gdzieRRd dy

|r(y)| < ∞.

Twierdzenie 4.1. (por. [1], Lemat 3.3 (f)) Niech t > ε i niech q spełnia warunek (B).

Wtedy

2un

∂t2 (x,t)

+

d

i=1

2un

∂x2i (x,t)

6 c(ε, n, q, d) (t2+ |x|2)d+22

. (92)

Dowód. Ustalmy i ∈ {1, 2 . . . , d}. Oszacujemy najpierw

2un

∂x2i (x,t)

. Niech a = 6R, gdzie R = Rqjest stał ˛a z Wniosku 2.1. Dla t > ε, y ∈ B(0, R) = D i |x| < a mamy

|x − y| < 7R oraz

(d + 1)t|(d + 3)(xi− yi)2− t2− |x − y|2| 6 cd

pt2+ a2(t2+ a2), (93) zatem, je´sli rozpisa´c2un

∂x2i (x,t) =RD· · · +RDc· · · = I1+ I2,

|I1| 6 cd Z

D

(t2+ a2)32

td+5n(y)|dy 6 c(d, q, n) (t2+ |x|2)d+22

 1 +a2

ε2

d+22

. (94)

(15)

W przypadku, gdy |x|> a, y ∈ D, skorzystamy z nierówno´sci 7|x|6 > |x − y| > 5|x|6 ,

|y| 6a6.

|I1| 6 cd Z

D

t|t2+4936|x|2− (d + 3)4936x2i|

(t2+2536|x|2)d+52n(y)|dy 6 6 c(2)d

Z

D

pt2+ |x|2(t2+ |x|2)

(t2+ |x|2)d+52n(y)|dy 6 c(d, n, q) (t2+ |x|2)d+22

.

(95)

Dalej korzysta´c b˛edziemy z Wniosku 2.1. Niech teraz B = B(x,|x|2). Dla |x| 6 2R4 mamy Dc∩ B = Dc∩ Bc= /0, czyli mo˙zemy przyj ˛a´c, ˙ze |x| >2R3. Dla y ∈ Dc∩ B mamy

|x|

2 6 |y| 63|x|2 , wi˛ec |x − y|6 |x| + |y| 65|x|2 . Rozpisujemy I2=RDc∩B· · · +RDc∩Bc· · · = I3+ I4. St ˛ad i z warunku (B) bierze si˛e oszacowanie

|I3| 6 c(d, q, n) Z

Dc∩B

(t2+254|x|2)32 (t2)d+52

dy

(1 + |y|)d+1(1 + q(y))6 6 c(d, q, n)

Z

Dc∩B

(t2+ |x|2)32 (t2(1 + |y|)2)d+52

dy r(y)6 6 c(d, q, n)

Z

Dc∩B

(t2+ |x|2)32 (t2+ ε2 |x|42)d+52

dy

r(y)6 c(n, d, q, ε) (t2+ |x|2)d+22

.

(96)

Do oszacowania została całka po zbiorze B2= Dc∩ Bc, czyli I4. Dla y ∈ B2zachodzi

|x − y| >|x|2.

|I4| 6 Z

B2

cd (t2+ |x − y|2)d+22

dy

(1 + |y|)d+1(1 + q(y))6 6 c(d, q, n)

(t2+|x|42)d+22 6 c(d, q, n) (t2+ |x|2)d+22

.

(97)

St ˛ad mamy

2un

∂x2i (x,t)

6 |I1| + |I3| + |I4| 6 c(q, n, d, ε) (t2+ |x|2)d+22

. (98)

Zajmiemy si˛e teraz pochodn ˛a

2un

∂t2 (x,t)

. Analogicznie jak wy˙zej, rozpiszmy j ˛a jako sum˛e całek po zbiorach D, B2= Dc∩ B oraz B3= Dc∩ Bc, oznaczaj ˛ac je odpowiednio J1, J2, J3. Zauwa˙zmy, ˙ze |t3− t|x − y|2| 6 (t2+ |x − y|2)32. Dla |x|6 a

|J1| 6 cd

(t2+4936a2)32 td+5

Z

D

n(y)|dy 6 c(d, n, ε, q) (t2+ |x|2)d+22 )

. (99)

Teraz dla |x| > a.

|J1| 6 cd Z

D

(t2+4936|x|2)32 (t2+2536|x|2)d+52

ϕn(y)|dy 6 c(d, n, q) (t2+ |x|2)d+22

. (100)

(16)

Przy całkach J2i J3 mo˙zemy zało˙zy´c, ˙ze |x|>23R. Posłu˙zymy si˛e Wnioskiem 2.1 i zało˙zeniem, ˙ze q spełnia (B). Podobnie, jak we wcze´sniejszych całkach zauwa˙zamy,

˙ze dolne ograniczenie |y| jest proporcjonalne do |x|, tzn. |y| > |x|2.

|J2| 6 c Z

B2

(t2+254|x|2)32) td+5

dy

(1 + |y|)d+5r(y)6 c(n, d, q, ε) (t2+ |x|2)d+22

. (101)

Pozostała nam do oszacowania całka J3. Tutaj, dla y ∈ B3, |x − y|>|x|2, wi˛ec

|J3| 6 cd Z

B3

(t2+ |x − y|2)32

(t2+ |x − y|2)d+52n(y)|dy 6 Z

B3

n(y)|dy

(t2+|x|42)d+22 6 c(n, d, q)

(t2+ |x|2)d+22 . (102) Ostatecznie

2un

∂t2 (x,t)

6 |J1| + |J2| + |J3| 6 c(n, d, q, ε) (t2+ |x|2)d+22

, (103)

a st ˛ad

2un

∂t2 (x,t)

+

d

i=1

2un

∂x2i (x,t)

6 c(ε, n, q, d) (t2+ |x|2)d+22

, (104)

co nale˙zało pokaza´c.

Uwaga 3. Je´sli pomin ˛a´c warunek (B), otrzymujemy nieco gorsze oszacowanie. Przyj- rzyjmy si˛e dowodowi. Całkujemy po zbiorze B(0, R) ∩ B(x,|x|2). Tym razem licznik szacujemy przez

|t(xi− yi)2− t(t2+ |x − y|2)| 6 t(t2+ |x − y|2). (105) St ˛ad

t(t2+ |x − y|2) (t2+ |x − y|2)d+52 (1 + |y|)d+1

= t

(t2+ |x − y|2)d+32 (1 + |y|)d+1 6 1

td+2(1 + |y|)d+1. (106) St ˛ad |I3| w powy˙zszym dowodzie szacuje si˛e przez

|I3| 6 c (t2+ |x|2)d+12

. (107)

Taki sam argument działa dla całki |J2|. Licznik oszacujemy przez t · |t2− |x − y|2| 6 t(t2+ |x − y|2) a dalej przepisujemy rachunki (106).

Uwaga 4. Warunek (B) mo˙zna osłabi´c bez utraty rz˛edu oszacowa´n. Wystarczy, aby (1 + |y|)d+1(1 + q(y)) = (1 + |y|)d+2r(y), (108) gdzie r(y) ∈ L1(Rd). Wynika to z oszacowania (106), bowiem

1 td+2(1 + |y|)d+1

1

1 + q(y)= 1

td+2(1 + |y|)d+2 1

r(y) 6 c

(t2+ |x|2)d+22 r(y)

. (109)

(17)

Oznacza to, ˙ze q musi by´c rz˛edu wi˛ekszego ni˙z |y|2, a zatem rozszerzamy klas˛e poten- cjałów w sposób znacz ˛acy. Od tego miejsca warunek (B) b˛edzie oznaczał warunek (A) i warunek (108).

Wniosek 4.1. (por. [6], Lemat 3.3 (h)) Niech q spełnia (A). Wtedy Z

Hε

2un

∂t2 (x,t)

+

d

i=1

2un

∂x2i (x,t)

dxdt< ∞. (110)

Dowód. Z Twierdzenia 4.1 Z

Hε

2un

∂t2 (x,t)

+

d i=1

2un

∂x2i (x,t)

dxdt6 Z

Hε

c(ε, n, q, d) (t2+ |x|2)d+12

dxdt< ∞.

Twierdzenie 4.2. (por. [1], Proposition 3.4) Niech q spełnia warunek (A) i niech u spełnia warunki 1.-4. z Definicji 4.1. Wtedy dla ka˙zdego ε > 0 i ka˙zdego n ∈ N mamy

Z

Hε

∇u(x, t)∇un(x,t)dxdt = − Z

Rd

u(x, ε)∂un

∂t (x, ε)dx. (111) W szczególno´sci obydwie całki s ˛a sko´nczone.

Dowód. Z Twierdzenia 3.1 i warunku 3. z Definicji 4.1 Z

Hε|∇u(x,t)||∇un(x,t)|dxdt 6 Z

Hε

c(q, ε, n, u, d)dxdt (t2+ |x|2)d+1 < ∞, wi˛ec całka

I1= Z

Hε

∇u(x, t)∇un(x,t)dxdt jest bezwzgl˛ednie zbie˙zna. Mo˙zemy rozpisa´c

I1=

d

i=1 Z

ε Z

−∞. . . Z

−∞

| {z }

(d−1)−całek Z

−∞

∂u

∂xi

(x,t)∂un

∂xi

(x,t)dxi dx1. . . dxd

| {z }

(d−1) razy bez dxi

dt+

+ Z

−∞

. . . Z

−∞

Z ε

∂u

∂t(x,t)∂un

∂t (x,t)dtdx1dx2. . . dxd.

(112)

Z Twierdzenia 3.1 i warunku 3. z Definicji 4.1 dla ka˙zdego t> ε otrzymujemy, ˙ze Z

−∞

∂u

∂xi

(x,t)∂un

∂xi

(x,t)

dxi6 Z

−∞

c(q, u, ε, n, d) (t2+ |x|2)d+1dxi6 6

Z

−∞

c(q, u, ε, n, d)

2+ |x|2)d+1dxi< ∞

(113)

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :