Lista 13. Liczby zespolone
Przypomnienie i oznaczenia. Liczba zespolona z, to para liczb rzeczywistych (a, b). Zapisujemy ją z = a+bi. Jednostka i jest urojona. Liczby zespolone doda- jemy naturalnie, a mnożymy tak, że i2= −1. Elementem neutalnym dodawania (zerem), jest 0 = 0 + 0i, a mnożenia (jedynką) 1 = 1 + 0i. Liczbę a = Re(z) z przedstawienia z = a + bi nazywamy częścią rzeczywistą, a liczbę b = Im(z) (nie bi) - częścią urojoną.
Sprzężenie liczby z to ¯z = a − bi. Moduł, to odleglość pary z = a + bi ∼ (a, b) od początku układu na płaszczyźnie, tzn. |z| = √
a2+ b2. Każdy element z = a + bi ma przeciwny −z = −a − bi oraz każdy element niezerowy ma odwrotny z−1 =a2a+b2 −a2+bb 2i = |z|z¯2.
Zachodzą wszystkie prawa działań znane dla liczb rzeczywistych, m.in. do- dawanie i mnożenie są przemienne oraz łączne. Zachodzi prawo rozdzielności.
Graficznie liczby zespolone to wektory, a ich dodawanie odpowiada doda- waniu wektorów. Mnożenie jest trochę bardziej skomplikowane i zrozumiemy je później. A teraz zadania:
1. Podaj część rzeczywistą, urojoną, moduł, sprzężenie, liczbę przeciwną i odwrotną do liczby zespolonej:
a)17, b)2i, c)1 + i, d) − 1 + 7i, e) − 5 − 3i.
2. Wykonaj działania:
a)(2 − i)(3 + 2i) − 5i, b)(5 − (6 + 4i)) − (3 + 2i)(3 − 2i), c)(2 − i)3,
d)3 − i
1 + 2i, e)5 + 3i 5 − 3i
9i − 15
2i + 7 , f )1 + 2i
i2011 , g)(√
3 + i)(2 + i) 3 − 4i . 3. Oblicz in dla n ∈ Z.
4. Uzasadnij, że jeśli z1· z2· z3= 0, to jedna z liczb zi jest zerem.
5. Rozwiąż równania kwadratowe w zmiennych zespolonych: a)z2− 5z + 6 b)z2+ 1 = 0, c)z2+ 2z + 2 = 0, d)z2−z +1, e)z2+ z(i − 4) + 5 + i = 0.
6. Rozwiąż równania:
a)|z|2−z = 4−2i, b)|z|−z = 3+2i, c)|z| = −¯z, d)i(z+¯z)+3 = 2i−i(z−¯z).
7. Udowodnij wzory:
|z1· z2| = |z1| · |z2|, z1¯· z2= ¯z1· ¯z2.
8. Wywnioskuj nierówności (geometrycznie lub algebraicznie):
|z1+ z2| ¬ |z1| + |z2|, |z1− z2|
|z1| − |z2| .
1
9. Narysuj figurę złożoną z punktów, które spełniają warunek (-ki):
a)Re(z) = 5/2, b)|z| = 1, c)|z − 2| = 3, d)|z − i + 4| = 9, e)Im(z) ∈ [−1, 4) i Re(z) < 7, f )|z| + Re(z) < 1, g)Re(1/z) = 2, h)|z − 1| = |z + 2|, i)|z − i| |z + 1 − 3i|, j)
|z − 2i| − |z + 2i|
= 4.
Kolejnym naszym celem jest zrozumienie graficznej postaci liczby zespo- lonej i nowa interpretacja mnożenia. Aby to zrobić rozważmy liczbę z = a + bi. Wyciągając przed nawias jej moduł, mamy: z = |z|(a0+ b0i), gdzie a0 = |z|a , b0 =|z|b oraz a0+ b0i jest w odległości 1 od zera. Wszystkie takie liczby można zapisać, jako cos(φ) + i sin(φ). Ostatecznie dostajemy:
z = r(cos(φ) + i sin(φ)),
gdzie r = |z| jest liczbą rzeczywistą dodatnią, a φ jest kątem między dodatnią półosią oX, a półosią wychodzącą z 0 w kierunku z. Kąt jest wyznaczony z dokładnością do wielokrotności 2π = 360o.
10. Wymnóż dwie liczby zespolone zapisane w postaci trygonometrycznej, tzn.
[r1(cos(φ1) + i sin(φ1))] · [r2(cos(φ2) + i sin(φ2))].
11. Iterując formułę z poprzedniego zadania wyprowadź wzór de Moivre’a:
zn= [r(cos(φ) + i sin(φ)]n = rn(cos(nφ) + i sin(nφ)).
12. Jak zapisać liczbę odwrotną do liczby w postaci trygonometrycznej? Jak zatem dzieli się dwie liczby w tej postaci?
13. Zapisz w postaci trygonometrycznej liczby: a)17, b) − i, c)−6+6i, d)√
2+√
6i, e)√
3−i, f )1−sin(α)+i cos(α) (0 < α < π/2).
14. Oblicz: a)(√
3 − 3i)6, b)(2 − 2i)17,
c) 1 + i√ 3 1 − i
!40
, d)(cos(33o) + i sin(33o))10, e) (1 + i)22 (1 − i√
3)6. Definicja 0.1 Pierwiastkiem stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z nazywa- my każdą liczbę zespoloną w taką, że wn = z. Uwaga: oznaczenie √n
z nie jest jednoznaczne!
15. Oblicz wszystkie pierwiastki:
a)√
2, b)√
i, c)√
1 + i, d)√3
−1, e)4 q
2 − i√
12, f )√6
1 + i, g)√4
−16.
Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl
2
