1. Podać przykład ciągu zmiennych losowych określonych na tej samej przestrzeni Ω, zbieżnego według rozkładu, który nie jest zbieżny według prawdopodobieństwa.

ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa matematyka, III rok

lista 12

1. Podać przykład ciągu zmiennych losowych określonych na tej samej przestrzeni Ω, zbieżnego według rozkładu, który nie jest zbieżny według prawdopodobieństwa.

2. Wykazać, że jeśli X, X 1 , X 2 , . . . są zmiennymi losowymi, t.że X n

−→ X, gdzie P (X = c) = 1, D c ∈ R, to X _n −→ c. ^P

3. Udowodnić, że jeśli X n

−→ X, a, b ∈ R, to aX D n + b −→ aX + b. ^D 4. Udowodnić, że jeśli X _n −→ X, Y ^D n

−→ 0, D to X _n + Y _n −→ X. ^D 5. Udowodnić, że jeśli X n

−→ X, Y D n

−→ c, D to X n + Y n

−→ X + c. D

6. Podać przykład zmiennych losowych X _n , Y _n , X, Y t.że X _n −→ X ^D oraz Y _n −→ Y, ^D ale nieprawda, że X n + Y n

−→ X + Y. D

7. Udowodnić, że jeśli X n

−→ X, Y D n

−→ 0, D to X n Y n

−→ 0. D

8. Udowodnić, że jeśli X n

−→ X, Y D n

−→ a, D to X n Y n

−→ aX. D

9. (owad i mrówki) Owad składa jaja zgodnie z rozkładem Poissona z parametrem a. W nocy mrówki kradną mu jaja: szansa, że dane jajo zostanie ukradzione, wynosi q. Następnego dnia historia się powtarza (liczba złożonych jaj ma ten sam rozkład, co poprzedniego dnia i jest niezależna od przeszłości), itd. Jaki jest rozkład graniczny liczby jaj ocalonych przed mrówkami?

10. Niech X n

−→ X, D lim

n→∞ a n = a, a - punkt ciągłości dystrybuanty F X . Udowodnić, że lim n F X

(a n ) = F (a).

11. Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie U [0, 1] oraz Y n = n · min(X 1 , . . . , X n ).

Czy istnieje taka zmienna losowa Y , że Y n

−→ Y ? D

12. Udowodnić, że jeśli {X _n : n ∈ N } jest ciągiem zmiennych losowych, dla którego spełniony jest warunek: istnieje skończona wariancja D ² (X _n ) dla n ∈ N oraz lim

n→∞ D ² (X _n ) = 0 (zwanym warunkiem Markowa), to ciąg {X _n − E(X _n ) : n ∈ N } jest zbieżny według prawdopodobieństwa (stochastycznie) do zera.

13. Pokazać, że granica według prawdopodobieństwa jest wyznaczona jednoznacznie.

14. Udowodnić, że jeżeli ciąg zmiennych losowych √

X n jest zbieżny w L ² , to ciąg X n jest zbieżny w L ¹ . 15. Jeśli X n

p.n → X, to X n

→ X. P

16. X n ciąg jednakowych zmiennych losowych. Zdefiniujmy Y n =

n

Q

j=1

X j . Udowodnić, że jeżeli Y n jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 do stałej a, to a = 0 lub a = 1.

17. Dany jest ciąg zmiennych losowych przyjmujących wartości a > 0 na odcinku < 0, ₂ ¹

>, 0 na odcinku ( ₂ ¹

, 1 > z prawdopodobieństwami równymi długości odcinków. Wykazać, że tak określony ciąg X _n zmiennych losowych jest zbieżny według prawdopodobieństwa.

18. Niech {X n : n ∈ N } będzie ciągiem zmiennych losowych dla których z prawdopodobieństwem 1 mamy |X n | ≤ c <

∞. Dowieść, że X n → 0 według prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞ E(|X n |) = 0.

19. Niech {X n : n ∈ N } będzie ciągiem zmiennych losowych takich, że P ({ω : X _n (ω) = ± _n ¹ }) = ¹ ₂ . Wykazać, że ciąg ten jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 i według prawdopodobieństwa.

20. Niech {X _n : n ∈ N } będzie ciągiem zmiennych losowych takich, że P ({ω : X _n (ω) = −n − 4}) = _n+4 ¹ , P ({ω : X n (ω) = n + 4} = _n+4 ³ i P ({ω : X n (ω) = −1}) = 1 − _n+4 ⁴ . Wykazać, że

• Wykazać, że X n jest zbieżny według prawdopodobieństwa.

• E(lim n→∞ X _n ) 6= lim _n→∞ E(X _n ).