Poni»sza lista stanowi uzupeªnienie listy zada« Analiza matematyczna 1 (2015/2016) autorstwa dra Mariana Gewerta i doc. Zbigniewa Skoczylasa obowi¡zuj¡cej na ¢wiczeniach i ma pomóc Pa«stwu lepiej opanowa¢ materiaª kursu Analizy matematycznej 1. Niektóre zadania zostaªy zaczerpni¦te z list publikowanych przez dr Jolant¦ Sulkowsk¡ oraz z listy zada« Wst¦p do analizy matematycznej opublikowanej na starej stronie Instytutu Matematyki i Informatyki PWr.
Paulina Frej
Lista 1 - Powtórzenie wiadomo±ci o funkcjach rzeczywistych.
1. (uzupeªnienie do zad. 8 i 20 z listy GiS) Wyznaczy¢ dziedziny naturalne podanych funkcji. Zaznaczy¢ otrzy- mane zbiory na osi wspóªrz¦dnych.
(a) f(x) =p
x2− x − 2, (b) f(x)=pln(1−x) +p
x2+x+1, (c) f(x) = 1
|x − 3| − 6,
(d) f(x) = ln(x + 1) + arccos√ 2x,
(e) f(x) = 1 p√3 − 3 tg x, (f) f(x) = log(cos log x), (g) f(x) = 1
√3
x2− 1, (h) f(x) =
√
4x− 2x+1
|x + 4| − 1 ,
(i) f(x) = arcsinx + 1 x − 2, (j) f(x) = ln(1 − 2 cos x), (k) f(x) = |x − 1|
x2− 1, (l) f(x) = ex2−1,
2. (uzupeªnienie do zad. 8 i 20) Wyznaczy¢ dziedziny naturalne oraz zbiory warto±ci podanych funkcji. Odpowied¹ uzasadni¢.
(a) f(x) =√
sin x, (b) f(x) = 1
1 + cos x, (c) f(x) =p
x2− x − 2,
(d) f(x) = 1
√3
x2− 1, (e) f(x) = − arcsin√
x, (f) f(x) = |x − 1|
x2− 1,
(g) f(x) = ln(1 − 2 cos x), (h) f(x) = 1
|x − 3| − 6, (i) f(x) = ex2−1.
3. Wyznaczy¢ dziedziny podanych funkcji. Przedstawi¢ wzory funkcji w najprostszej mo»liwej postaci.
(a) f(x) = x2− 5x + 6
x2− 4x + 3, (b) f(x) = x3− 27
x − 3 , (c) f(x) = x4+ x2+ 1
x3+ 1 , (d) f(x) = x2− 5x + 6 x2− 4x + 2, 4. (uzupeªnienie do zad. 10) Dla podanych funkcji f i g wykona¢ zªo»enia f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f i g ◦ g oraz okre±li¢ ich
dziedziny naturalne.
(a) f(x) = x3, g(x) = 2x + 1, (b) f(x) = x2+ 4, g(x) =√ 2x + 1,
5. (uzupeªnienie do zad. 10) Dane s¡ funkcje f, g i h okre±lone wzorami f(x) = 2x, g(x) = sin x oraz h(x) = |x|.
Wykona¢ zªo»enia f ◦ g ◦ h, g ◦ f ◦ h, f ◦ h ◦ g, h ◦ g ◦ f, g ◦ f ◦ g, h ◦ g ◦ h, g ◦ g ◦ g ◦ g.
6. Poda¢ funkcje elementarne, z których powstaªy nast¦puj¡ce zªo»enia.
(a) f(x) = sin2x, (b) f(x) = √3
3x+ 1, (c) f(x) = 1
ln 2x, (d) f(x) = 1
√ex+ 3,
7. (uzupeªnienie do zad. 13 i 17) Naszkicowa¢ wykresy podanych funkcji.
(a) f(x) =
|x|
2 − 4 , (b) f(x) = x − 1
x − 2, (c) f(x) = x2− 4 |x| + 7, (d) f(x) = 1 − p|x| − 2,
(e) f(x) = 2−x− 2,
(f) f(x) = ||log2(x − 2)| − 1|, (g) f(x) = 1 + tgx
2, (h) f(x) = cos(|x| +π
2), (i) f(x) = 2 sin 2x − |sin 2x|, (j) f(x) =|ctg x|
ctg x ,
(k) f(x) = π − arctg x, (l) f(x) = π
2 + arcsin x, (m) f(x) = arccos(2x),
(n) f(x) = π
2 + arctg(2x), (o) f(x) = arcsin 1 − x
4
,
8. (uzupeªnienie do zad. 14) Znale¹¢ funkcje odwrotne do podanych funkcji. Wyznaczy¢ dziedziny naturalne i zbiór warto±ci funkcji oraz funkcji odwrotnych.
(a) f(x) = log2(3x + 1), (b) f(x) = 1 − 3−x,
(c) f(x) = sin x + π
4
+ 2,
(d) f(x) = arcsin (x + 1) −π 2, (e) f(x) = log3(x − 1) + 2, (f) f(x) = 3 +1
3sinx − 1 x + 1,
(g) f(x) = 4 arcsinp 1 − x2,
(h) f(x) = 1 + 2 sin x − 1 x + 1
,
9. (uzupeªnienie do zad. 14) Znale¹¢ funkcje odwrotne do podanych funkcji.
(a) f(x) = x2+ x, dla x < −12, (b) f(x) = x2+ x, dla x > −12,
(c) f(x) = sin 3x, dla x ∈ −π6, −π6 ,
(d) f(x) = log5(x2+ 5), dla x > 0, (e) f(x) = log5(x2+ 5), dla x < 0, (f) f(x) = cos22x, dla x ∈ 0,π2
,
10. Zapami¦ta¢ nast¦puj¡ce to»samo±ci trygonometryczne:
sin2x + cos2x = 1, sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos2x − sin2x, tg x = sin x
cos x, ctg x = cos x sin x. 11. (uzupeªnienie do zad. 18) Uzasadni¢ to»samo±ci trygonometryczne i poda¢ ich dziedziny.
(a) cos x = 1 − tg2 x2 1 + tg2 x2, (b) ctgx
2 = sin x 1 − cos x,
(c) cos x(tg x + ctg x) = 1 sin x, (d) tg2x − ctg2x = 1
cos2x− 1 sin2x,
(e) sin x = 2 tgx2 1 + tg2 x2, (f) sin x = 2
tgx2 + ctgx2, 12. (uzupeªnienie do zad. 19) Poda¢ warto±¢ podanych wyra»e«.
(a) − arccos12+ arctg
−
√3 3
+ arctg√
3 − 4 arcsin
√2
2 , (b) 3 arccos
−
√3 2
+ arctg(tgπ4) − arcsin(sinπ2),
