Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT i IF 8. Funkcje (twierdzenia o funkcjach z pochodnymi)

Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT i IF

8. Funkcje (twierdzenia o funkcjach z pochodnymi)

1. Korzystając z twierdzenia Lagrange’a uzasadnić podane nierówności

a) ln

(

1

)

, dla 0

1< + < >

+ x x x

x

x ;

b) e^x >1+x, dla x>0;

c) e^x >ex, dla x>1;

d) b a a b

b

a ≤ − , dla1≤ ≤

ln .

2. Znaleźć przedziały monotoniczności podanych funkcji

a)

( )

2

3 5

3 5

+

−

= x x

x

f ;

b) f

( )

x =xlnx; c) f

( ) (

x = x−3

)

x;

d) f

( )

x =x+sinx; e)

( )

2

3

= − x x x

f ;

f) f

( )

x =e^xcosx. 3. Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice

a)

( )

x x

x

+

→

1 limln

0 ;

b) x

x

x lnsin

lim ln

0⁺

→

;

c)

( )

²

2

1 1

2 lim2

−

− ⁻

→⁻ x

x x

x ;

d) 





















 −

−∞

→ 1

lim

1 x

x x e ;

e)

(

x

)

x

x

x ln 1 ln

arctg lim 2

− +

−

∞

→

π ;

f) 



 



 −

→0 2

1 sin lim 1

x x x

x ;

g) ^x

x

x^sin

0

lim→ +

;

h)

( )

^x

x x

1

1 lim +

∞

→ .

4. Napisać wzór Taylora z resztą Lagrange’a dla podanej funkcji, wskazanego punktu oraz n

a)

( )

, 2, 3

1 ⁰= =

−

= x n

x x x

f ;

b) f

( )

x = x, x₀ =1,n=3;

c) f

( )

x =x³,x₀ =−1,n=2;

d)

( )

1 , 1, 2

2 0 = =

= x n

x x

f .

5. Napisać wzór Maclaurina dla podanych funkcji z resztą Rn

a) f

( )

x =xe^x; b) f

( )

x =sinhx;

c) f

( )

x =sinx; d) f

( )

x =cosx.