Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT i IF
1. Rachunek zdań, kwantyfikatory, algebra zbiorów
1. Prawa rachunku zdań
1.1 Sprawdź, czy są tautologiami następujące wyrażenia:
a) α∨
(
¬α)
; b)[
¬(
¬α) ]
⇔α;c)
[
¬(
α∨β) ]
⇔[ (
¬α) (
∧ ¬β) ]
; d)[
¬(
α∧β) ]
⇔[ (
¬α) (
∨ ¬β) ]
; e)(
α⇒β)
⇔[ (
¬β)
⇒(
¬α) ]
;f)
[ (
α⇒β) (
∧ β ⇒α) ]
⇔(
α⇔β)
;g)
(
α⇒β)
⇒β; h)[
α∧(
α⇒β) ]
⇒β ; i){ (
¬α)
⇒[
β ∧(
¬β) ] }
⇒α; j)(
α⇒β)
⇒(
α∨β)
;k)
[ (
α⇒β) (
∧ β ⇒γ) ]
⇒(
α⇒γ)
.1.2 Wykazać, że następujące wyrażenia są tautologiami:
a)
[ (
¬α)
⇒β]
⇔[ (
¬β)
⇒α]
;b)
{ (
α⇒β) (
∧[
¬α)
⇒(
¬β) ] }
⇔(
α⇔β)
; c)[ (
¬α) (
∧ α∨β) ]
⇒β ;d)
{ (
α∨β)
⇒[
γ ∧(
¬γ) ] }
⇒[ (
¬α) (
∧ ¬β) ]
;e)
(
α∨β) (
∧[
¬β)
∨γ] (
⇒ α∨γ)
.1.3 Mając tautologie
( )
[
¬¬α]
⇔α,[
¬(
α∨β) ]
⇔[ (
¬α) (
∧ ¬β) ] (
, α⇒β)
⇔[ (
¬α)
∨β]
wykazać, że tautologią jest wyrażenie
( )
[
¬α⇒β]
⇔[
α∧(
¬β) ]
.1.4 Wypowiedzieć w formie implikacji równoważnej następujące stwierdzenia:
a) Jeśli szereg
∑
∞
n=1
a jest zbieżny, to n lim =0
∞
→ n
n a .
b) Jeśli funkcja y= f
( )
x ma pochodną w punkcie x , to jest ciągła w punkcie 0 x . 0 c) Jeśli ciąg( )
an nie jest ograniczony, to jest rozbieżny.d) Jeśli ciąg
( )
an jest ograniczony i monotoniczny, to jest zbieżny.2. Kwantyfikatory
2.1 Znaleźć wartości logiczne następujących zdań (x oznacza liczbę rzeczywistą):
a) ∃x:x>2; b) ∀x:x>2; c) ∃x:x2+x+1=0; d) ∀x:x2+x+1>0; e) ∀x:
[ (
x>0)
⇒(
x>1) ]
; f) ∀x:[ (
x<0)
⇒(
x<1) ]
;g) ∃x:
[ (
x2+x−2=0)
∧(
x>0) ];
h)
(
∀x:x>x+1)
⇒(
2>3)
; i) ∃x:[ (
x2+1=0)
⇒(
x+1=0) ];
j)
[
∃x:(
x2−1=0) ]
⇒[
∃x:(
x2+1=0) ]
.2.2 Przekształć następujące wyrażenia:
a) ¬
{
∀x:[ (
x>1)
⇒(
x+1>0) ] }
; b) ¬{
∃x:[ (x<0)
∧(
x2−3x+2=0) ] }
.
3. Algebra zbiorów
3.1 Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A i B zachodzi zależność:
(
A⊂B)
⇔(
A∪B=B)
.3.2 Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, C prawdziwe są zależności:
a)
(
A⊂B)
⇔(
A∩B=A)
; b) A\B=A∩(
−B)
;c) A∩
(
B∪C) (
= A∩B) (
∪ A∩C)
; d) A∪(
B∩C) (
= A∪B) (
∩ A∪C)
;e) −
(
A∪B) (
= −A) (
∩ −B)
; f) −(
A∩B) (
= −A) (
∪ −B)
.3.3 Zbadać, czy podane zbiory są ograniczone z dołu, są ograniczone z góry, są ograniczone:
a) = sin : ∈ ℤ ; b) =
: , ∈ ℕ;
c) = ∈ ℝ: − 15− 100 = 0 ; d) = −3 !: " ∈ ℕ ;
e) # = !$%! : " ∈ ℕ.
3.4 Znaleźć kresy dolne i górne podanych zbiorów. Czy w tych zbiorach są elementy najmniejsze i największe?
a) = 0,1 ∩ ℚ; b) = !$(! : " ∈ ℕ; c) = (): ∈ 0,1]; d) = √
, −√%- : ., / ∈ ℕ.
