Prosz¦ pokaza¢ (przez jawne wyliczenie), »e istnieje dokªadnie jedna koneksja liniowa (na- zywana koneksj¡ metryczn

(1)

Zadania z OTW (zestaw 3)

Pochodn¡ kowariantn¡ wektora deniujemy w nast¦puj¡cy sposób:

∇_αu^µ≡ u^µ_;α = u^µ_,α+ Γ^µ_αβu^αu^β, gdzie u^µ,α≡ ∂_αu^µ≡ ∂u^µ

∂x^α. Pochodne kowariantne tensorów o innej walencji deniujemy korzystaj¡c z faktu

∇_α(u^µv_µ) = ∂_α(u^µv_µ)

oraz »¡daj¡c, aby pochodna kowariantna speªniaªa reguª¦ Leibniza:

∇α(u^µvν) = vν∇αu^µ+ u^µ∇αvν

16. Chcemy aby pochodna kowariantna ∇αu^µ byªa tensorem. Jakie jest w takim razie prawo transformacji Γ^µαβ ?

17. Prosz¦ pokaza¢ (przez jawne wyliczenie), »e istnieje dokªadnie jedna koneksja liniowa (na- zywana koneksj¡ metryczn¡), która speªnia warunek ∇αgµν = 0 i jest symetryczna (tzn.

Γ^γ_αβ = Γ^γ_βα).

∇_αg_µν = ∂_αg_µν− Γ^ρ_αµg_ρν− Γ^ρ_ναg_ρµ.

18. Prosz¦ policzy¢ wspóªczynniki koneksji metrycznej dla metryki euklidesowej ds² = dx²+ dy² we wspóªrz¦dnych biegunowych.

19. Prosz¦ pokaza¢, »e (a)

Γ^α_αβ = 1 2g

∂g

∂x^β , gdzie g = | det(gαβ)|.

(b) Korzystaj¡c z (a) prosz¦ pokaza¢, »e

∇_αv^α = 1

√g∂_α(√

gv^α), ∇^α∇_αΦ = 1

√g∂_α√gg^αβ∂_βΦ dla dowolnego pola wektorowego v^α i pola skalarnego Φ.

20. Prosz¦ pokaza¢, »e ka»da krzywa, której wektor styczny speªnia równanie v^α∇αv^β = cv^β, gdzie c jest dowoln¡ funkcj¡ na krzywej, mo»e by¢ reparametryzowana tak, »e speªnione jest równanie v^α∇_αv^β = 0 (tak¡ parametryzacj¦ nazywamy aniczn¡). Pokaza¢, »e ró»ne parametryzacje aniczne zwi¡zane s¡ transformacj¡ liniow¡.

(2)

Wyra»enie (∇µ∇_ν−∇_ν∇_µ)u^αjest liniowe w u i nie zawiera pochodnych u. Dlatego mo»emy zapisa¢:

(∇_µ∇_ν− ∇_ν∇_µ)u^α = R^α_βµνu^β, gdzie R^αβµν nazywamy tensorem Riemanna (tensorem krzywizny).

Deniujemy równie»: Rβν = R^α_βαν (tensor Ricciego) oraz R = g^βνR_βν (skalar krzywizny).

21. Prosz¦ udowodni¢ nast¦puj¡ce wªasno±ci symetrii tensora krzywizny:

(a) Rαβµν = R_µναβ = −R_αβνµ = −R_βαµν , (b) R^αβµν+ R^α_νβµ+ R^α_µνβ = 0 ,

(c) R^α_βµν;λ+ R^α_βλµ;ν+ R^α_βνλ;µ = 0 (to»samo±ci Bianchi), (d) (R^αβ − 12g^αβR)_;β = 0 (zw¦»one to»samo±ci Bianchi).

Wskazówka: wªasno±ci (a)-(c) mo»na ªatwo wykaza¢ w lokalnie lorentzowskim ukªadzie wspóªrz¦dnych (por. zadanie 15), a (d) jest wnioskiem z (c).

22. Prosz¦ pokaza¢, »e w n-wymiarowej przestrzeni tensor krzywizny ma n²(n²− 1)/12 niezale»- nych skªadowych.

A. Rostworowski http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/