Prosz¸e obliczyć granic¸e

Analiza Matematyczna Zestaw A

Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć granic¸e

√

2 ⁻ⁿ + 3 ⁻ⁿ + 5 ⁻ⁿ Wskazówka. Wykorzystać twierdzenie o trzech ci¸ agach.

Rozwi¸ azanie

Przypomnijmy twierdzenie o trzech ci¸ agach.

Jeśli a _n ≤ b _n ≤ c _n dla dostatecznie dużych n, i ci¸ agi (a _n ) oraz (c _n ) maj¸ a równe gra- nice, to ci¸ ag (b n ) też ma granic¸e i zachodzi wzór

n→∞ lim a _n = lim

n→∞ b _n = lim

n→∞ c _n .

√

2 ⁻ⁿ ≤ √

2 ⁻ⁿ + 3 ⁻ⁿ + 5 ⁻ⁿ ≤ √

3 · 2 ⁻ⁿ

n→∞ lim

√

2 ⁻ⁿ = lim

n→∞

√

3 · 2 ⁻ⁿ = lim

n→∞

√

3 lim

n→∞

√

2 ⁻ⁿ = 1 · 2 ⁻¹ = 1 2 Na podstawie twierdzenia o trzech ci¸ agach lim _n→∞ b _n = ¹ ₂ .

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć a tak, aby funkcja f określona wzorem ( _cos(x)

a(π−2x) gdy x < ^π ₂ ax gdy x ≥ ^π ₂ była ci¸ agła na R.

Rozwi¸ azanie

Z definicji ci¸ agłości funkcji w punkcie musz¸ a zachodzić równości lim

x→

cos(x)

a(π − 2x) = lim

x→

ax = π 2 a St¸ ad

lim

x→

cos(x)

a(π − 2x) = lim

→0

cos(π/2 − y/2)

ay = 1

a lim

x→0

sin(y/2)

y = 1

2a lim

x→0

sin(y/2) y/2 = 1

2a π

2 a = 1

2a → a = ± 1

√ π

Uwaga. Obliczaj¸ ac granicę lewostronn¸ a funkcji zastosowaliśmy podstawienie y = π −2x.

1

Zadanie 3

Prosz¸e obliczyć granic¸e

x→∞ lim



1 + 1 2x + 1

 x

Rozwi¸ azanie

x→∞ lim



1 + 1 2x + 1

 x

=

lim _x→∞ h

1 + _2x+1 ¹
2x+1 i

lim x→∞ 1 + _2x+1 ¹

=

√ e 1 = √

e

Zadanie 4

Prosz¸e znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x ₀ , f (x ₀ )), jeśli f (x) = (x ² − 1) ³ , x ₀ = √

2.

Rozwi¸ azanie

Równanie stycznej w punkcie (x ₀ , f (x ₀ )) y = f ⁰ (x ₀ )(x − x ₀ ) + f (x ₀ ).

f ⁰ (x) = 6x(x ² − 1) ² , f ⁰ ( √

2) = 6 √

2, f ( √

2) = 1.

St¸ ad

y = 6 √

2(x − √

2) + 1 = 6 √

2x − 11.

2