Prosz¸e obliczyć granic¸e

Analiza Matematyczna Zestaw C

Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć granic¸e

n→∞ lim

 n ² + 2n − 1 n ² − n + 3

 n

. Rozwi¸ azanie

n→∞ lim

 n ² + 2n − 1 n ² − n + 3

 n

= lim

n→∞



1 + 3n − 4 n ² − n + 3

 n

.

n→∞ lim n · 3n − 4 n ² − n + 3 = 3 St¸ ad

n→∞ lim

 n ² + 2n − 1 n ² − n + 3

 n

= e ³ . Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć nast¸epuj¸ ac¸ a granic¸e ( o ile istnieje )

x→−∞ lim

√

1 + x − 1

x .

Rozwi¸ azanie

x→−∞ lim

√

1 + x − 1

x = lim

x→−∞

1 + x − 1 x( p(1 + x)

² + √

1 + x + 1) = lim

x→−∞

1 p(1 + x)

² + √

1 + x + 1

=0

Skorzystaliśmy ze wzoru (a − b) = _a

^a +ab+b

^−b

.

Zadanie 3

Prosz¸e określić, jeżeli to jest możliwe warto’sć parametru a, aby funkcja f była ci¸ agła

f (x) =

( 2

+cos(x)

3

−a dla x < 0 3 ^x + 1 dla x ≥ 0 Rozwi¸ azanie

Z definicji ci¸ agłości funkcji w punkcie lim

x→0

2 ^1/x + cos(x)

3 ^1/x − a = lim

x→0

(3 ^x + 1).

1

St¸ ad _−a ¹ = 2, a = − ¹ ₂ . Zadanie 4

Prosz¸e znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0 , f (x ₀ )), jeśli f (x) = |x| √

x + 2, x ₀ = −3.

Rozwi¸ azanie

Równanie stycznej w punkcie (x ₀ , f (x ₀ )), y = f ⁰ (x ₀ )(x − x ₀ ) + f (x ₀ ).

f ⁰ (x) = −1 √

x + 2 + ^−x

3 √

(x+2)

, f ⁰ (−3) = 2, f (−3) = −3.

St¸ ad

y = 2(x + 3) − 3 = 2x + 3.

2