Prosz¸e obliczyć granic¸e

Analiza Matematyczna Egzamin Poprawkowy

Zestaw A2 Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć granic¸e

n→∞ lim



2 − n + 2 n

 2n

. Rozwi¸ azanie

Skorzystamy z granicy ci¸ agu

lim _n→∞ (1 − 1/a _n ) ^a

= e ⁻¹ zakładaj¸ ac, że

n→∞ lim a _n = ∞

Otrzymujemy

n→∞ lim



2 − n + 2 n

 2n

=

"

lim n→∞



1 − 1 n/2

 n/2 # 4

= e ⁻⁴

Zadanie 2

Prosz¸e naszkicować wykres funkcji

f (x) = 1 x ² + 1 ,

a nast¸epnie znaleźć przedział na którym funkcja ta jest jednocześnie rosn¸ aca i jej wykres jest wkl¸esły.

Rozwi¸ azanie

Wykres funkcji (patrz wykres A2.pdf oddzielny zał¸ acznik ).

f (x) = 1

x ² + 1 , D _f = R

1

Pochodna rz¸edu pierwszego funkcji

f

(x) = [(x ² + 1) ⁻¹ ]

= −2x

(x ² + 1) ² < 0 ↔ (−∞, 0) Funkcja jest rosn¸ aca na przedziale (−∞, 0).

Pochodna rz¸edu drugiego

f

(x) = −2(x ² + 1) ² + 2x · 2(x ² + 1) · 2x

(x ² + 1) ⁴ = (x ² + 1)[−2(x ² + 1) + 8x ² ]

(x ² + 1) ⁴ = 2

(x ² + 1) ³ (3x ² −1) Wykres funkcji f (x) jest wkl¸esły, gdy

f

(x) < 0 ↔ 2

(x ² + 1) ³ (3x ² − 1) = 2

(x ² + 1) ³ (x √

3 − 1)(x √

3 + 1) < 0 ↔ x ∈ (−

√ 3 3 ,

√ 3 3 ) Cz¸eść wspólna ( iloczyn ) przedziałów

x ∈ (−∞, 0) ∩ (−

√ 3 3 ,

√ 3

3 ) = (−

√ 3 3 , 0) Funkcja f (x) jest rosn¸ aca i jej wykres jest wkl¸esły na przedziale (−

√ 3 3 , 0).

Zadanie 3

Prosz¸e wyprowadzić wzór na obj¸etość elipsoidy obrotowej powstałej przez obrót elipsy o równaniu

x ² a ² + y ²

b ² = 1.

Rozwi¸ azanie

Obj¸etość bryły obrotowej V powstałej w wyniku obrotu obszaru zawartego mi¸edzy wy- kresem funkcji f (x) i osi¸ a OX prostok¸ atnego układu współrz¸ednych dla x ∈ (a, b)

|V | = π Z b

a

f ² (x)dx.

Wykres elipsy o równaniu kanonicznym ^x _a

+ ^y _b

= 1 jest symetryczny wzgl¸edem osi OX i OY prostok¸ atnego układu współrz¸ednych, st¸ ad

|V | = π Z b

a

y ² (x)dx = π Z a

−a

(b ² − b ² x ²

a ² )dx = 2πb ² Z a

0

(1 − x ²

a ² )dx = 2πb ² (a − a ³

3a ² ) = 4π

3 ab ²

2

Zadanie 4 Prosz¸e obliczyć

Z ln √

√ x x dx.

Rozwi¸ azanie Zauważmy, że ( √

x)

= ₂ ^{√ 1} _x . St¸ ad

Z ln √

√ x

x dx = 2

Z ln √ x 2 √

x dx = 2 Z

lntdt, gdzie t = √ x Całk¸e z logarytmu naturalnego obliczamy metod¸ a całkowania przez cz¸eści 2

Z

ln tdt = 2 Z

1·lntdt = 2 Z

t ⁰ ·lntdt = 2tlnt−2 Z t

t dt = 2tlnt−2t+C == 2 √ xln √

x−2 √ x+C.

Zadanie 5

Prosz¸e wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji danej wzorem f (x) = |x ³ − 8|

x ² − 4 . Rozwi¸ azanie

Przekształcimy wzór funkcji, korzystaj¸ ac ze wzorów na różnic¸e sześcianów i różnic¸e kwa- dratów.

f (x) = |x ³ − 8|

x ² − 4 = |x − 2|

x − 2 · x ² + 2x + 4

x + 2 = |x − 2|

x − 2



x + 4 x + 2



, x ∈ R − {−2, 2}

Z definicji wartości bezwzgl¸ednej liczby, wzór funkcji f (x) możemy zapisać w postaci:

f (x) =

 x + _x+2 ⁴ dla x > 2

−x − _x+2 ⁴ dla x < 2 St¸ ad

x→∞ lim (f (x) − x) = lim

x→∞

4 x + 2 = 0

x→−∞ lim (f (x) − (−x)) = lim

x→−∞

−4

x + 2 = 0

3

Proste o równaniach y = x i y = −x s¸ a asymptotami ukośnymi wykresu funkcji f (x).

odpowiednio w plus i minus nieskończoności.

Ponadto

lim

x→−2

f (x) = lim

x→−2



−x − 4 x + 2



= +∞

lim

x→−2

f (x) = lim

x→−2



x − 4 x + 2



= −∞

Wykres funkcji posiada posiada obustronn¸ a asymptot¸e pionow¸ a o równaniu x = −2.

Zadanie 6

Prosz¸e napisać wzór Maclaurina z n-t¸ a reszt¸ a Lagrange’a dla funkcji f (x) = 1

e ^x Rozwi¸ azanie

Przypomnijmy wzór Maclaurina z n-t¸ a reszt¸ a Lagrange R _n (x) dla funkcji f (x).

f (x) =

n−1

X

k=0

f ^(k) (0)

k! x ^k + R _n (x), gdzie R _n (x) = f ⁽ⁿ⁾ (c)

n! x ⁿ , c ∈ (0, x) Obliczamy kolejne pochodne funkcji f (x) = e ^−x .

f ⁽⁰⁾ (x) = f (x) = e ^−x , f ⁽¹⁾ (x) = −e ^−x , f ⁽²⁾ (x) = e ^−x ,. . . ,f ^(k) (x) = (−1) ^k e ^−x dla k = 0, 1, . . . , n.

St¸ ad

e ^−x =

n−1

X

k=0

(−1) ^k e ⁰

k! x ^k + (−1) ⁿ e ^c n! x ⁿ =

n−1

X

k=0

(−1) ^k

k! x ^k + (−1) ⁿ e ^c n! x ⁿ

4