Lista 1 - Elektrostatyka (I): Pole elektryczne. Prawo Gaussa. Potencjał pola elektrostatycznego

prof. dr hab. Antoni C. Mituś Wrocław, 28.02.2015

Fizyka F2

Lista 1 - Elektrostatyka (I): Pole elektryczne. Prawo Gaussa. Potencjał pola elektrostatycznego

Zadania oznaczone (!)– w pierwszej kolejności; (*) – trudniejsze, (**) – zaawansowane.

Oznaczenia zadań: J: Jezierski i inn., Zadania z rozwi azaniami cz

eść II, Wrocław 1999.

Literatura: J. Orear, t.1; (b) Halliday, Resnick, Walker Podstawy fizyki t. 3; D. J. Griffiths Podstawy elektrodynamiki . 1. (!) Pole elektryczne układu ładunków punktowych

Dwa ładunki elektryczne q ₁ = 1 C i q ₂ = - 1 C znajduj a si _, e w punktach o współrz _, ednych _, (podanych w metrach) (1, 0, 0) oraz (-1, 0, 0).

(a) Wyznaczyć nat eżenie pola elektrycznego (wektor!) w punkcie o współrz _, ednych (1, 1, _, 1), korzystaj ac z zasady superpozycji dla nat _, eżenia pola elektrycznego. _,

(b) Wyznaczyć potencjał pola elektrycznego w punkcie o współrz ednych (x, y, z) korzy- _, staj ac z zasady superpozycji dla potencjału pola elektrycznego. _,

(c) Używaj ac wyniku zadania (b) wyznaczyć nat _, eżenie pola elektrycznego w punkcie (1, _, 1, 1). Porównać z wynikiem z punktu (a).

(d) Napisać równanie na linie ekwipotencjalne (ϕ(x, y) = const) w płaszczyźnie x − y.

(*) Przedyskutować ich kształt, na przykład za pomoc a programów algebry kompu- _, terowej.

(e) (*) Wyznaczyć potencjał ϕ(s) dla punktów P (x, y, 0) leż acych na linii prostej y = _, x, gdzie s = p

x ² + y ² . Jak a interpretacj _, e fizyczn _, a ma pochodna _, ^dϕ _ds ? (pochodna kierunkowa)

2. (!) Elementarne zastosowania prawa Gaussa

• Wokół Ziemi istnieje słabe pole elektryczne, które tuż powyżej powierzchni ma wartość E ₀ = 100 N/C. Jaki ładunek powierzchniowy wytwarzałby takie pole? Ile nadmiaro- wych elektronów na cm ² potrzeba do wytworzenia E ₀ ?

• (!) Elementarne zastosowania prawa Gaussa

Suche powietrze poddane działaniu pola elektrycznego o nat eżeniu wi _, ekszym od E _{, t} = 10 ⁶ N/C gwałtownie si e jonizuje. Jaki maksymalny ładunek może zgromadzić si _, e na _, kuli o promieniu 1 cm?

3. (!) Zastosowania prawa Gaussa: symetrie Wyznaczyć pole elektryczne pochodz ace od: _,

• Symetria walcowa: nieskończenie długiej, jednorodnie naładowanej linii prostej.

• Symetria płaszczyznowa: nieskończonej jednorodnie naładowanej płaszczyzny.

(**) Na czym polega bł ad w nast _, epuj _, acym rozumowaniu: Oddalajmy si _, e od płaszczy- _, zny, a wi ec od ładunków. Pole powinno si _, e zmniejszać, a jak widać, nie zmniejsza si _, e. _, Czy podobna trudność powstaje również dla potencjału elektrostatycznego?

• Symetria sferyczna: jednorodnie naładowanej kuli.

4. (!) Zasada superpozycji

Rozważyć jednorodnie naładowan a kul _, e o promieniu R _{, 1} z kulistym wydr ażeniem o promie- _, niu R ₂ , którego środek jest przesuni ety wzgl _, edem środka kuli wzdłuż osi x o x _{, 0} . Wyznaczyć pole E(x) wzdłuż osi x dla x > R ₁ . G estość ładunku wynosi ρ. (Wskazówka: Orear). _,

5. (*) Pole elektryczne ci agłego rozkładu ładunków _, Zadania J24 i J26.

6. Ogólne rozwi azania dla pola i potencjału _,

(*) Na podstawie zasady superpozycji napisać wyrażenia na ~ E oraz ϕ (całki z rozkładu

ładunku ρ(~r)).