• z = x + iy – liczba zespolona

Notatki do wyk ladu

1 P laszczyzna zespolona

• z = x + iy – liczba zespolona

• x, y ∈ R, i ² = i · i = −1

• re z = x, im z = y

• x – cz¸e´s´ c rzeczywista

• y – cz¸e´s´ c urojona

• C – zbi´or liczb zespolonych

• (C, +, ·) jest cia lem

• ¯ z = x − iy – liczba sprz¸ e˙zona

• −z = −x − iy – liczba przeciwna

• ¹ _z = _x

+y ^x

− i _x

+y ^y

– liczba odwrotna

• |z| = p

x ² + y ² – modu l z, lub warto´ s´ c bezwzgl¸ edna z

• |z| ² = z ¯ z

• k¸at φ taki, ˙ze

cos φ = x

|z| , sin φ = y

|z|

nazywamy argumentem z = x + iy 6= 0

• arg z = φ + 2kπ , k ∈ Z

• je˙zeli −π < φ ≤ π to φ = Arg z – argument g l´ owny

• z = x + iy = |z|(cos φ + i sin φ) – posta´ c biegunowa z

• |z + z ⁰ | ≤ |z| + |z ⁰ | – nier´ owno´ s´ c tr´ ojk¸ ata

• |z − z ⁰ | ≤ |z| + |z ⁰ | – nier´ owno´ s´ c tr´ ojk¸ ata

• |z − z ⁰ | jest odleg lo´sci¸a pomi¸edzy z oraz z ⁰ na p laszczy´ znie

1

• je˙zeli r > 0 oraz z ₀ ∈ C to

D(z ₀ , r) = {z ∈ C | |z − z 0 | < r} – ko lo otwarte o ´srodku z ₀ i promieniu r

• ¯ D(z ₀ , r) = {z ∈ C | |z − z 0 | ≤ r} – ko lo domkni¸ete o ´srodku z ₀ i promieniu r

• D ⁰ (z ₀ , r) = {z ∈ C | 0 < |z − z 0 | < r} – s¸ asiedztwo ko lowe z ₀ o promieniu r

Definicja. Szereg pot¸ egowy o ´ srodku z 0 : f (z) =

∞

X

n=0

c _n (z − z ₀ ) ⁿ λ = lim sup

n→∞

p|c

_n |

R =







∞ je˙zeli λ = 0 0 je˙zeli λ = ∞

1

λ w pozosta lych przypadkach

• R – promie´ n zbie˙zno´ sci szeregu pot¸ egowego

• D(z ₀ , R) – ko lo zbie˙zno´ sci szeregu pot¸ egowego

Fakt 1.1 (a) Szereg pot¸ egowy f (z) jest bezwzgl¸ ednie zbie˙zny gdy

|z − z ₀ | < R, tzn. z ∈ D(z ₀ , R).

(b) Szereg pot¸ egowy f (z) jest rozbie˙zny gdy |z − z ₀ | > R, tzn. z 6∈

D(z ¯ ₀ , R).

(c) Funkcja f (z) jest ci¸ ag la na D(z ₀ , R).

2 Funkcja wyk ladnicza i logarytmiczna

Definicja. Funkcj¸e wyk ladnicz¸ a definiujemy jako szereg pot¸egowy e ^z = exp(z) =

∞

X

n=0

z ⁿ

n! dla z ∈ C.

Promie´ n zbie˙zno´sci tego szeregu jest r´ owny ∞, wi¸ec funkcja exp(z) jest zdefiniowana i ci¸ ag la na C. Definiujemy

e = exp(1) =

∞

X

n=0

1

n! .

Fakt 2.1 e ^z e ^z

= e ^z+z

. Fakt 2.2 e ⁰ = 1.

Fakt 2.3 ∀ z ∈ C e ^z 6= 0, e ^−z = 1/e ^z .

Fakt 2.4 (To ˙zsamo´ s´ c Eulera) Je˙zeli t ∈ R to e ^it = cos t + i sin t.

Warto´sci e ^it ”nawijaj¸ a si¸e” wok´ o l okr¸egu jednostkowego w dodatnim kierunku.

Wniosek 2.5 (To ˙zsamo´ s´ c Eulera) Je˙zeli x, y ∈ R, z = x + iy ∈ C, to

e ^z = e ^x+iy = e ^x (cos y + i sin y) Fakt 2.6 exp(z) jest funkcj¸ a okresow¸ a o okresie 2πi.

Fakt 2.7 e ^z = 1 ⇔ z = 2kπi, k ∈ Z.

Fakt 2.8 Je˙zeli z jest liczb¸ a zespolon¸ a r´ o˙zn¸ a od zera to istnieje w ∈ C, taka ˙ze exp(w) = z.

Fakt 2.9 Je˙zeli exp(w) = exp(w ⁰ ) to w ⁰ = w + 2kπi, k ∈ Z.

Definicja. Niech z 6= 0 b¸edzie liczb¸ a zespolon¸ a. Ka˙zd¸ a liczb¸e ze- spolon¸ a w spe lniaj¸ ac¸ a exp(w) = z nazywamy logarytmem liczby z i oznaczamy w = log z. Wi¸ec

e ^{log z} = z

Uwaga. log 0 nie istnieje, bo zawsze exp(w) 6= 0.

Wniosek 2.10 Je˙zeli w = log z oraz w ⁰ = log z to w = w ⁰ + 2kπi.

Definicja. Dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x > 0 istnieje dok ladnie jedna liczba rzeczywista a taka, ˙ze e ^a = x. Oznaczamy

ln x = a . Fakt 2.11 Je˙zeli z 6= 0, φ = arg z to

log z = ln |z| + iφ + 2kπi

3 Krzywe i drogi

Definicja. Odwzorowanie ci¸ ag le γ : [a, b] → U ⊂ C nazywamy krzyw¸a w U ,

• [a, b] – przedzia lem parametru krzywej γ,

• γ ^∗ = γ([a, b]) – obrazem krzywej γ ^∗ .

Przyk lad. Niech γ(t) = exp(it) = cos t + i sin t, 0 ≤ t ≤ π.

– γ jest krzyw¸ a

– [0, π] jest przedzia lem parametru

Definicja. Je˙zeli γ(a) = γ(b) to krzywa γ jest zamkni¸ eta. Je˙zeli po- nadto γ jest r´ o˙znowarto´sciowa na [a, b) to nazywamy j¸ a krzyw¸ a Jor- dana.

Przyk lad. γ(t) = 5 exp(it), 0 ≤ t ≤ 4π jest zamkni¸eta, ale nie jest krzyw¸ a Jordana.

Definicja. Dla t ∈ [a, b] pochodn¸ a nazywamy γ ⁰ (t) = lim

h→t

γ(h) − γ(t) h − t

o ile istnieje. (W ko´ ncach przedzia lu liczymy pochodne jednostrone.) Przyk lad. Niech γ(t) = exp(it). Wtedy γ ⁰ (t) = i exp(it).

Definicja. Krzywa γ jest klasy C ¹ , je˙zeli γ ⁰ : [a, b] → C jest ci¸ag la.

Definicja. Krzyw¸ a γ nazywamy drog¸ a, je˙zeli istnieje sko´ nczona rodzina

punkt´ ow t j , a = t 0 < t 1 < . . . < t n = b, takich ˙ze ograniczenie γ do

ka˙zdego przedzia lu [t j−1 , t j ] jest klasy C ¹ . W punktach t j pochodne

lewostronne i prawostronne mog¸ a si¸e r´ o˙zni´ c.

Przyk lad.

γ(t) =  t + 1 je˙zeli −2 ≤ t ≤ 0 exp(it) je˙zeli 0 ≤ t ≤ π jest drog¸ a Jordana.

4 Funkcje holomorficzne

Niech U ⊂ C b¸edzie zbiorem otwartym, niech f : U → C b¸edzie funkcj¸ a.

Definicja. Dla z ∈ U , je˙zeli istnieje granica lim

z

→z

f (z ⁰ ) − f (z) z ⁰ − z

to oznaczamy j¸ a symbolem f ⁰ (z) i nazywamy pochodn¸ a funkcji f w punkcie z.

Je˙zeli f ⁰ (z) istnieje dla ka˙zdego z ∈ U to m´ owimy, ˙ze f jest funkcj¸ a holomorficzn¸ a (lub analityczn¸ a) w zbiorze U .

Zbi´ or wszystkich funkcji holomorficznych w U oznaczamy sym- bolem H(U ).

Je˙zeli f : Ω → C, gdzie Ω ⊂ U dla pewnego otwartego zbioru U ⊂ C, oraz istniej funkcja g ∈ H(U ) kt´ora jest r´owna f na zbiorze Ω, wtedy powiemy ˙ze f jest holomorficzna w zbiorze Ω (piszemy f ∈ H(Ω)).

Fakt 4.1 f ⁰ (z) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy

∀  > 0 ∃ r > 0 ∀z ⁰ ∈ D ⁰ (z, r)    

f (z ⁰ ) − f (z)

z ⁰ − z − f ⁰ (z)    

< 

• Je˙zeli f, g ∈ H(Ω) to f ± g ∈ H(Ω), f · g ∈ H(Ω), oraz f /g ∈ H(Ω \ g ⁻¹ (0)).

• Z lo˙zenie funkcji holomorficznych jest funkcj¸a holomorficzn¸a.

• Pochodne w powy˙zszych przypadkach maj¸a tak¸a sam¸a posta´c jak dla funkcji zmiennej rzeczywistej.

• Wielomiany s¸a funkcjami holomorficznymi.

• Je˙zeli P (z), Q(z) s¸a wielomianami, to funkcja wymierna f (z) =

P (z)/Q(z) jest holomorficzna w C \ Q ⁻¹ (0).

Twierdzenie 4.2 Szereg pot¸ egowy f (z) = P ∞

n=0 c n (z − a) ⁿ o promie- niu zbie˙zno´ sci R > 0 jest funkcj¸ a holomorficzn¸ a w kole zbie˙zno´ sci D(a, R). Ponadto

f ⁰ (z) =

∞

X

n=1

n c _n (z − a) ⁿ⁻¹ . Lemat 4.3 Je˙zeli funkcja u jest ci¸ ag la i rosn¸ aca, to

u(lim sup x n ) = lim sup u(x n ).

Wniosek 4.4 (exp(z)) ⁰ = exp(z), (cos(z)) ⁰ = − sin(z), (sin(z)) ⁰ = cos(z).

Wniosek 4.5 f ^(k) (z) = P ∞ n=k

n!

(n−k)! c n (z − a) ^n−k . Wniosek 4.6 f ^(k) (a) = k! c _k , wi¸ ec

c _k = f ^(k) (a) k! .

5 R´ ownania Cauchy’ego–Riemanna

Je˙zeli f : U → C, z = x + iy, to oznaczamy

f (z) = f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = u + iv.

Twierdzenie 5.1 (R´ ownania Cauchy’ego–Riemanna) Za l´ o˙zmy, ˙ze f ⁰ (z ₀ ) istnieje (z ₀ = x ₀ + iy ₀ ).

Wtedy pochodne cz¸ astkowe ∂u/∂x(x ₀ , y ₀ ), . . . , ∂v/∂y(x ₀ , y ₀ ) istniej¸ a, oraz spe lnione s¸ a r´ ownania Cauchy’ego–Riemanna:

∂u

∂x (x ₀ , y ₀ ) = ∂v

∂y (x ₀ , y ₀ ),

∂u

∂y (x ₀ , y ₀ ) = − ∂v

∂x (x ₀ , y ₀ ).

Twierdzenie 5.2 Je˙zeli f = u + iv : U → C jest tak¸a funkcj¸a, ˙ze

pochodne cz¸ astkowe ∂u/∂x, . . . , ∂v/∂y istniej¸ a, s¸ a ci¸ ag le w U , oraz

spe lniaj¸ a r´ ownania Cauchy’ego–Riemanna w ka˙zdym punkcie w U , to

funkcja f (z) jest holomorficzna w U .

6 Ca lkowanie wzd lu ˙z dr´ og

Definicja. Za l´ o˙zmy, ˙ze γ : [a, b] → U jest drog¸ a, za´s f : U → C funkcja ci¸ ag l¸ a.

Ca lk¸ e z funkcji f wzd lu˙z drogi γ definiujemy jako Z

γ

f (z)dz = Z

γ

f (ζ)dζ = Z b

a

f (γ(t))γ ⁰ (t)dt.

Je˙zeli droga jest zamkni¸eta to mo˙zna u˙zy´ c symbolu H . Przyk lad. Je˙zeli γ(t) = exp(it), 0 ≤ t ≤ 2π, to

I

γ

1

z dz = 2πi.

Fakt 6.1 Za l´ o˙zmy, ˙ze φ : [a ₁ , b ₁ ] → [a, b] jest funkcj¸ a wzajemnie jed- noznaczn¸ a, rosn¸ ac¸ a klasy C ¹ (wtedy φ(a ₁ ) = a, φ(b ₁ ) = b). Przyjmi- jmy γ ₁ = γ ◦ φ.

Wtedy γ ₁ jest drog¸ a o przedziale parametru [a ₁ , b ₁ ] oraz Z

γ

f (ζ)dζ = Z

γ

f (ζ)dζ.

Wniosek 6.2 Niech γ ₁ , γ ₂ b¸ ed¸ a drogami. Je˙zeli koniec drogi γ ₁ pokrywa si¸ e z pocz¸ atkiem drogi γ ₂ , to mo˙zna ustali´ c przedzia l parametru tak aby γ ₁ oraz γ ₂ tworzy ly jedn¸ a drog¸ e γ. Ponadto

Z

γ

f (ζ)dζ = Z

γ

f (ζ)dζ + Z

γ

f (ζ)dζ.

Definicja. Za l´ o˙zmy, ˙ze φ : [a ₁ , b ₁ ] → [a, b] jest funkcj¸ a wzajemnie jednoznaczn¸ a, malej¸ ac¸ a klasy C ¹ (wtedy φ(a ₁ ) = b, φ(b ₁ ) = a). Drog¸e γ ₁ = γ ◦ φ, nazywamy drog¸ a przeciwn¸ a. B¸edziemy j¸ a oznaczy´ c sym- bolem −γ.

Fakt 6.3 γ ^∗ = (−γ) ^∗ . Pocz¸ atkiem −γ jest koniec γ, ko´ ncem −γ jest pocz¸ atek γ.

Z

−γ

f (ζ)dζ = − Z

γ

f (ζ)dζ.

Definicja. Je˙zeli γ : [a, b] → U jest drog¸ a, to |γ| = R b

a |γ ⁰ (t)|dt nazy- wamy d lugo´ sci¸ a drogi γ.

Je˙zeli γ(t) = x(t) + iy(t), to |γ| = R b

a px ⁰ (t) ² + y ⁰ (t) ² dt.

Wniosek 6.4 Je˙zeli sup _z∈γ

|f (z)| ≤ M < ∞ to 

   Z

γ

f (ζ)dζ    

≤ M |γ|.

Przyk lad. Niech z 0 ∈ C, r > 0. Drog¸e γ(t) = z ⁰ +r exp(it), 0 ≤ t ≤ 2π, nazywamy dodatnio zorientowanym okr¸ egiem o ´srodku z ₀ i promieniu r. B¸edziemy t¸ a drog¸e oznacza´ c symbolem O(z ₀ , r). Ponadto

I

O(z

,r)

dz

z − z ₀ = 2πi.

Twierdzenie 6.5 Niech γ b¸ edzie drog¸ a zamkni¸ et¸ a. Przyjmijmy Ind _γ (z) = 1

2πi I

γ

dζ ζ − z

dla z 6∈ γ ^∗ . (Ind _γ (z) nazywamy indeksem z wzgl¸edem γ.)

Wtedy Ind _γ (z) jest funkcj¸ a o warto´ sciach ca lkowitych na C \ γ ^∗ , sta l¸ a na ka˙zdej sk ladowej zbioru C \ γ ^∗ , i r´ own¸ a zero na sk ladowej nieograniczonej zbioru C \ γ ^∗ .

Warto´ s´ c Ind _γ (z) jest r´ owna ilo´ sci nawini¸ e´ c γ wok´ o l z w dodatnim kierunku.

Twierdzenie 6.6 (Lokalne Twierdzenie Cauchy’ego) Za l´ o˙zmy, ˙ze F ∈ H(U ) oraz f = F ⁰ jest funkcj¸ a ci¸ ag l¸ a w U . Wtedy

Z

γ

f (ζ) dζ = F (γ(b)) − F (γ(a)) dla dowolnej drogi γ : [a, b] → U . Wi¸ ec

I

γ

f (ζ) dζ = 0

dla dowolnej drogi zamkni¸ etej γ zawartej w U .

Wniosek 6.7 Je˙zeli n 6= −1 jest liczb¸ a ca lkowit¸ a, za´ s γ tak¸ a drog¸ a zamkni¸ et¸ a ˙ze z ₀ 6∈ γ ^∗ , to

I

γ

(z − z ₀ ) ⁿ dz = 0.

Wniosek 6.8

I

γ

dz

z − z ₀ = 2πi · Ind _γ (z ₀ ).

7 Twierdzenie Cauchy’ego

Definicja. Za l´ o˙zmy, ˙ze Ω jest zwartym podzbiorem p laszczyzny C ograniczonym przez sko´ nczon¸ a rodzin¸e roz l¸ acznych dr´ og Jordana.

Symbolem ∂Ω b¸edziemy oznacza´ c zorientowany brzeg zbioru Ω.

Twierdzenie 7.1 (Tw. Cauchego dla tr´ ojk¸ ata) Za l´ o˙zmy, ˙ze (a) ∆ jest tr´ ojk¸ atem domkni¸ etym zawartym w otwartym zbiorze U , (b) p ∈ U ,

(c) f jest ci¸ ag l¸ a w U , f ∈ H(U \ {p}).

Wtedy

I

∂∆

f (ζ)dζ = 0.

Uwaga. Je˙zeli f ∈ H(U ), to tym bardzej f ∈ H(U \ {p}) oraz f

jest ci¸ ag la na U , wi¸ec za lo˙zenia powy˙zszego twierdzenia s¸ a wtedy

spe lnione.

Twierdzenie 7.2 (Tw. Cauchy’ego dla wieloboku) Je˙zeli Ω jest zwartym wielobokiem ograniczonym przez sko´ nczon¸ a rodzin¸ e dr´ og Jor- dana, zawartym w zbiorze otwartym U , oraz f ∈ H(U \{p}) jest ci¸ ag la na U , to

I

∂Ω

f (ζ)dζ = 0.

W szczeg´ olno´ sci twierdzenie jest spe lnione je˙zeli f ∈ H(U ).

Definicja. Zbi´ or sp´ ojny otwarty U nazywamy jednosp´ ojnym, je˙zeli dla ka˙zdej lamanej zamknietej zawartej w U zbi´ or ograniczony przez t¸e laman¸ a jest zawarty w U .

Twierdzenie 7.3 (Twierdzenie Jordana) Zbi´ or otwarty ograni- czony przez drog¸ e Jordana jest jednosp´ ojny.

Twierdzenie 7.4 Ka˙zdy wypuk ly zbi´ or otwarty jest jednosp´ ojny.

Twierdzenie 7.5 Za l´ o˙zmy, ˙ze U jest zbiorem jednosp´ ojnym. Je˙zeli γ ₁ , γ ₂ s¸ a lamanymi maj¸ acymi wsp´ olny pocz¸ atek i wsp´ olny koniec, oraz f ∈ H(U \ {p}) jest ci¸ ag la na U , to

Z

γ

f (ζ)dζ = Z

γ

f (ζ)dζ.

Lemat 7.6 Niech f b¸ edzie funkcj¸ a ci¸ ag l¸ a na zbiorze otwartym U . We´ zmy z ₀ ∈ U oraz ko lo D(z ₀ , r) ⊂ U . Dla z ∈ D(z ₀ , r) niech [z ₀ , z]

b¸ edzie zorientowanym odcinkiem od z ₀ do z, oraz niech G(z) =

Z

[z

,z]

f (ζ)dζ.

Wtedy G ⁰ (z 0 ) = f (z 0 ).

Twierdzenie 7.7 (Tw. o istnieniu funkcji pierwotnej) Za l´ o˙zmy,

˙ze U jest zbiorem jednosp´ ojnym, f ∈ H(U \ {p}) jest ci¸ ag la na U . W´ owczas istnieje F ∈ H(U ) taka, ˙ze F ⁰ = f .

Twierdzenie 7.8 (Tw. Cauchy’ego dla zbioru jednosp´ ojnego) Je˙zeli U jest zbiorem jednosp´ ojnym, f ∈ H(U \ {p}) jest ci¸ ag la na U oraz γ jest drog¸ a zamkni¸ et¸ a w U , to

I

γ

f (ζ) dζ = 0 .

Je˙zeli γ 1 , γ 2 s¸ a drogami w U maj¸ acymi wsp´ olny pocz¸ atek i wsp´ olny koniec, to

Z

γ

f (ζ) dζ = Z

γ

f (ζ) dζ .

Twierdzenie 7.9 (Twierdzenie Cauchy’ego) Za l´ o˙zmy, ˙ze Ω jest zbiorem zwartym, ograniczonym przez sko´ nczon¸ a rodzin¸ e roz l¸ acznych dr´ og Jordana.

Za l´ o˙zmy, ˙ze f ∈ H(Ω). Wtedy I

∂Ω

f (ζ)dζ = 0.

Wniosek 7.10 Niech γ ₁ , γ ₂ b¸ ed¸ a takimi roz l¸ acznymi, dodatnio

zorientowanymi drogami Jordana, ˙ze jedna z nich le˙zy wewn¸ atrz drugiej.

Niech Ω b¸ edzie zbiorem zwartym ograniczonym przez te krzywe.

Je˙zeli f ∈ H(Ω), to I

γ

f (ζ)dζ = I

γ

f (ζ)dζ.

Twierdzenie 7.11 (Wz´ or Cauchy’ego dla zbioru jednosp´ ojnego) Za l´ o˙zmy, ˙ze γ jest drog¸ a zamkniet¸ a w otwartym zbiorze jednosp´ ojnym U , oraz f ∈ H(U ).

Je˙zeli z ∈ U oraz z 6∈ γ ^∗ , to

f (z) · Ind _γ (z) = 1 2πi

I

γ

f (ζ) ζ − z dζ.

Wniosek 7.12 Je˙zeli γ jest dodatnio zorientowan¸ a drog¸ a Jordana w zbiorze jednosp´ ojnym U oraz f ∈ H(U ), to wtedy

1 2πi

I

γ

f (ζ)

ζ − z dζ =  f (z) , je˙zeli z le˙zy wewn¸ atrz γ

0 , je˙zeli z le˙zy na zewn¸ atrz γ

Wniosek 7.13 Warto´ sci funkcji f (z) wewn¸ atrz krzywej γ s¸ a jednoz- nacznie wyznaczone przez warto´ sci na γ ^∗ .

Wniosek 7.14 Za l´ o˙zmy, ˙ze γ jest drog¸ a zamkni¸ et¸ a w otwartym zbiorze jednosp´ ojnym U , oraz f ∈ H(U ).

Je˙zeli z ∈ U oraz z 6∈ γ ^∗ , to

f ⁽ⁿ⁾ (z) · Ind _γ (z) = n!

2πi I

γ

f (ζ)

(ζ − z) ⁿ⁺¹ dζ.

Przyk lad.

I

γ

cos z

(z − π/2) ² dz = −2πi.

8 Rozwijalno´ s´ c funkcji w szereg pot¸ egowy

Definicja. Funkcja f : U → C jest rozwijalna w szereg pot¸egowy w U , je˙zeli ka˙zdemu ko lu D(z ₀ , r) ⊂ U mo˙zemy przyporz¸ adkowa´ c szereg pot¸egowy postaci P ∞

0 c _j (z−z ₀ ) ^j kt´ ory jest zbie˙zny do f (z) dla ka˙zdego z ∈ D(z ₀ , r).

Fakt 8.1 Funkcja rozwijalna w szereg pot¸ egowy jest holomorficzna na U , oraz f ⁰ , f ⁰⁰ , . . . , f ^(k) , . . . s¸ a holomorficzne na U .

Twierdzenie 8.2 Za l´ o˙zmy,˙ze W ⊂ C jest zbiorem otwartym, γ : [a, b] → C jest drog¸a, γ ^∗ ∩ W = ∅, oraz f jest funkcj¸ a ci¸ ag l¸ a na γ ^∗ . Wtedy funkcja

g(z) = Z

γ

f (ζ)

ζ − z dζ

jest rozwijalna w szereg pot¸ egowy w W .

Twierdzenie 8.3 Je˙zeli U ⊂ C jest zbiorem otwartym oraz f ∈ H(U ), to f jest rozwijalna w szereg pot¸ egowy w U .

Je˙zeli D(z ₀ , R) ⊂ U to f (z) = P ∞

j=0 c _j (z − z ₀ ) ^j dla z ∈ D(z ₀ , R), gdzie

c j = 1 2πi

I

O(z

,r)

f (ζ) dζ (ζ − z ₀ ) ^j+1 , dla dowolnego 0 < r < R.

Wniosek 8.4 Je˙zeli f ∈ H(U ), to f ⁰ , f ⁰⁰ , . . . , f ^(k) , . . . s¸ a funkcjami holomorficznymi na U .

Wniosek 8.5 Je˙zeli f ∈ H(U \ {p}) jest ci¸ ag la na U , to f ∈ H(U ).

Twierdzenie 8.6 (Tw. Morery) Za l´ ozmy, ˙ze f jest tak¸ a ci¸ ag l¸ a funkcj¸ a zespolon¸ a na U , ˙ze

I

∂∆

f (ζ)dζ = 0 dla ka˙zdego tr´ ojk¸ ata ∆ ⊂ U .

Wtedy f ∈ H(U ).

Lemat 8.7 Je˙zeli szereg pot¸ egowy f (z) = P ∞

j=m c _j (z−z ₀ ) ^j ma promie´ n zbie˙zno´ sci R, to szereg

g(z) =

∞

X

j=m

c _j (z − z ₀ ) ^j−m

te˙z ma promie´ n zbie˙zno´ sci R, oraz f (z) = (z − z ₀ ) ^m g(z).

Twierdzenie 8.8 Je˙zeli f ∈ H(U ) oraz z 0 ∈ U , to spe lniony jest dok ladnie jeden z poni˙zszych warunk´ ow

(a) f ≡ 0 w pewnym kole D(z ₀ , r).

(b) Istnieje liczba ca lkowita m = m(z ₀ ) ≥ 0 oraz funkcja holomor- ficzna g ∈ H(U ), takie ˙ze

f (z) = (z − z ₀ ) ^m g(z) dla z ∈ U oraz g(z 0 ) 6= 0.

Definicja. Liczb¸e m(z ₀ ) nazywamy krotno´ sci¸ a (lub rz¸ edem) funkcji

f (z) w punkcie z ₀ .

• Je˙zeli f ≡ 0 w D(z ₀ , r), to m(z 0 ) = ∞.

• Je˙zeli f (z ₀ ) 6= 0, to m(z ₀ ) = 0.

• m(z ₀ ) = min{ k | f ^(k) (z ₀ ) 6= 0}.

Wniosek 8.9 m(z 0 ) < ∞ ⇔

∃ r > 0 ∀ z ∈ D ⁰ (z ₀ , r) f (z) 6= 0.

9 Zera funkcji analitycznych

Definicja. Zbi´ or A ⊂ R ⁿ jest niesp´ ojny, je˙zeli mo˙zna go przedstawi´ c w postaci sumy niepustych roz l¸ acznych zbior´ ow A = A ₁ ∪ A ₂ takich,

˙ze ¯ A 1 ∩ A ₂ = ∅ oraz A 1 ∩ ¯ A 2 = ∅.

Przyk lad. A = (0, 1) ∪ (1, 2) jest niesp´ ojny.

Definicja. A ⊂ R ⁿ jest sp´ ojny, je˙zeli nie jest niesp´ ojny.

Fakt 9.1 Zbi´ or otwarty U ⊂ R ⁿ jest sp´ ojny ⇔ ka˙zde dwa punkty w U mo˙zna po l¸ aczy´ c laman¸ a zawart¸ a w U .

Fakt 9.2 Je˙zeli ∅ 6= A jest sp´ ojny oraz mo˙zna go przedstawi´ c w postaci sumy A = A 1 ∪ A ₂ takich zbior´ ow roz l¸ acznych, ˙ze ¯ A 1 ∩ A ₂ = ∅ oraz A ₁ ∩ ¯ A ₂ = ∅, to A ₁ = ∅ b¸ ad´ z A ₂ = ∅.

Definicja. Punkt p jest punktem skupienia zbioru A, je˙zeli D ⁰ (p, r) ∩ A 6= ∅ dla ka˙zdego r > 0, lub r´ ownowa˙znie je˙zeli istnieje ci¸ ag (a n ) ⊂ A \ {p} taki, ˙ze p = lim a n .

Twierdzenie 9.3 Za l´ o˙zmy, ˙ze U ⊂ C jest zbiorem otwartym sp´ojnym, oraz f ∈ H(U ). Niech Z = f ⁻¹ (0) = {z ∈ U | f (z) = 0}. Wtedy spe lniony jest dok ladnie jeden z poni˙zszych warunk´ ow

(a) Z ≡ U ,

(b) Z jest zbiorem domkni¸ etym w U , nie posiadaj¸ acym punkt´ ow skupi- enia nale˙z¸ acych do U , co najwy˙zej przeliczalnym.

Przyk lad. U = C \ {0}, f (z) = sin(1/z). Wtedy wprawdzie 0 jest

punktem skupienia zbioru Z, ale 0 6∈ U !

Twierdzenie 9.4 Je˙zeli U jest otwartym zbiorem sp´ ojnym, f, g ∈ H(U ) oraz istnieje zbi´ or A ⊂ U posiadaj¸ acy punkt skupienia w U taki, ˙ze ∀ a ∈ A f (a) = g(a), to

∀ z ∈ U f (z) = g(z).

10 ... i pozosta le wnioski

Twierdzenie 10.1 (Nier´ owno´ s´ c Cauchy’ego) Je˙zeli f (z) = P ∞

j=0 c j (z − z 0 ) ^j dla z ∈ D(z 0 , R) oraz

∃ M ∀ z ∈ D(z ₀ , R) |f (z)| ≤ M to

|c _j | ≤ M

R ^j j = 0, 1, . . . .

Twierdzenie 10.2 (Zasada Maksimum) Za l´ o˙zmy, ˙ze U jest zbiorem otwartym sp´ ojnym, f ∈ H(U ), oraz ¯ D(z ₀ , r) ⊂ U . Wtedy

|f (z ₀ )| ≤ max

t |f (z ₀ + re ^it )|,

przy czym r´ owno´ s´ c zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy f jest sta la na U .

Wniosek 10.3 Je˙zeli |f (z)| ≤ M dla z ∈ D(z ₀ , R) to

|f ⁰ (z ₀ )| = |c ₁ | ≤ M R (poniewa˙z c _j = f ^(j) (z ₀ )/j!).

Definicja. Ka˙zd¸ a funkcj¸e f ∈ H(C) nazywamy funkcj¸a ca lkowit¸a.

Twierdzenie 10.4 (Tw. Liouville’a) Funkcja ca lkowita ograniczona jest sta la.

Twierdzenie 10.5 (Podstawowe Twierdzenie Algebry) Ka˙zdy wielo- mian P (z) = a ₀ + a ₁ z + · · · + a _n z ⁿ r´ o˙zny od sta lej ma przynajmniej

jeden pierwiastek.

11 Szeregi Laurenta

Definicja. Je˙zeli szeregi P ∞

j=0 c _j (z − z ₀ ) ^j oraz P ∞

j=1 c _−j (z − z ₀ ) ^−j s¸ a dla pewnego z zbie˙zne odpowiednio do ϕ(z) oraz ψ(z), to ich sum¸e ϕ(z) + ψ(z) oznaczamy symbolem

∞

X

j=−∞

c _j (z − z ₀ ) ^j

i nazywamy szeregiem Laurenta w ´srodku z 0 zbie˙znym w punkcie z.

Definicja. Szereg P ∞

j=−∞ c _j (z −z ₀ ) ^j nazywamy rozbie˙znym w punkcie z, je˙zeli przynajmniej jeden z szereg´ ow P ∞

j=0 c _j (z − z ₀ ) ^j lub P ∞

j=1 c _−j (z − z ₀ ) ^−j jest rozbie˙zny w z.

Oznaczmy

R = 1

lim sup p|c

_j | , r = lim sup

q

|c _−j |.

Twierdzenie 11.1 Je˙zeli r < R, to szereg Laurenta jest bezwzglednie zbie˙zny w ka˙zdym punkcie pier´scienia ko lowego

P (z ₀ ; r, R) = {z ∈ C | r < |z − z 0 | < R}, i rozbie˙zny w ka˙zdym punkcie z 6∈ P (z ₀ ; r, R).

Funkcja f (z) = P ∞

j=−∞ c _j (z − z ₀ ) ^j ∈ H(P (z ₀ ; r, R)).

Twierdzenie 11.2 Je˙zeli f ∈ H(U ) oraz P (z ₀ ; r, R) ⊂ U dla pewnych r < R, to istnieje szereg Laurenta taki, ˙ze

f (z) =

∞

X

j=−∞

c _j (z − z ₀ ) ^j dla z ∈ P (z ₀ ; r, R).

Ponadto

c _j = 1 2πi

I

O(z

,s)

f (ζ) dζ (ζ − z ₀ ) ^j+1 ,

gdzie promie´ n s jest dowoln¸ a liczb¸ a r < s < R. (Wi¸ ec szereg Laurenta

jest jednoznacznie wyznaczony, oraz wsp´ o lczynniki c _j nie zale˙z¸ a od

wyboru promienia s.)

Przyk lad. Niech f (z) = 1/(1 + z ² ). Wtedy

f (z) = 1 − z ² + z ⁴ − z ⁶ + · · · gdy |z| < 1, f (z) = 1

z ² − 1 z ⁴ + 1

z ⁶ − · · · gdy |z| > 1.

12 Punkty osobliwe

Definicja. Niech f ∈ H(U ), i niech z ₀ ∈ C.

• Je˙zeli z ₀ ∈ U , to z ₀ nazywamy punktem regularnym funkcji f (z).

• Je˙zeli z ₀ 6∈ U oraz D ⁰ (z ₀ , r) ⊂ U dla pewnego r > 0, to z ₀ nazy- wamy punktem osobliwym odosobnionym funkcji f (z). Wtedy

f (z) =

∞

X

j=−∞

c _j (z − z ₀ ) ^j dla z ∈ D ⁰ (z ₀ , r).

• Szereg P ∞

j=0 c j (z −z 0 ) ^j jest zbie˙zny w D(z 0 , r), i nosi nazw¸e cz¸ e´ sci regularnej funkcji f (z) w punkcie z 0 .

• Szereg P ∞

j=1 c _−j (z −z ₀ ) ^−j jest jest zbie˙zny dla z 6= z ₀ , i nosi nazw¸e cz¸ e´ sci osobliwej funkcji f (z) w punkcie z ₀ .

Przyk lad. f = cos(z) + sin(1/z), z ₀ = π lub z ₀ = 0.

• Je˙zeli c ₋₁ = c ₋₂ = · · · = 0 to m´ owimy, ˙ze z ₀ jest punktem po- zornie osobliwym, lub ˙ze f (z) ma w z ₀ osobliwo´ s´ c usuwaln¸ a.

Przyk lad. Funkcja sin(z)/z, kt´ ora jest holomorficzna na C \ {0}, ma w z ₀ = 0 osobliwo´s´ c usuwaln¸ a.

• Je˙zeli c _−m 6= 0 oraz c _−m−1 = c _−m−2 = · · · = 0, to z ₀ nazywamy biegunem m–krotnym lub biegunem rz¸ edu m.

• Je˙zeli cz¸e´s´c osobliwa zawiera niesko´ nczenie wiele wyraz´ ow, to z ₀ nazywamy punktem istotnie osobliwym funkcji f (z).

Przyk lad.

f (z) = cos z z ² = 1

z ² − 1 2! + 1

4! z ² − 1

6! z ⁴ − · · ·

ma 2-krotny biegun w z 0 = 0.

f (z) = sin 1 z = 1

z − 1

3! z ³ + 1

5! z ⁵ − · · · ma punkt istotnie osobliwy w z ₀ = 0.

Twierdzenie 12.1 (Tw. Riemanna) Je˙zeli f ∈ H(U ), D ⁰ (z ₀ , r) ⊂ U oraz |f (z)| jest ograniczona na D ⁰ (z ₀ , r), to

(a) V = U ∪ {z ₀ } jest otwarty, (b) istnieje g ∈ H(V ) taka, ˙ze

f (z) = g(z) dla z ∈ U.

Wniosek 12.2 Poniewa˙z g(z) = P ∞

j=2 c _j (z − z ₀ ) ^j−2 oraz f (z) = g(z) dla z ∈ D ⁰ (z 0 , r), wi¸ ec f ma osobliwo´ s´ c usuwaln¸ a w z 0 .

Fakt 12.3 Za l´ o˙zmy, ˙ze f, g ∈ H(U ) oraz z ₀ ∈ U . Oznaczmy:

k − krotno´ s´ c f (z) w z 0

` − krotno´ s´ c g(z) w z 0

Iloczyn f (z) · g(z) ma krotno´ s´ c (k + `) w z ₀ .

Je˙zeli k ≥ ` to h(z) = f (z)/g(z) ma punkt pozornie osobliwy w z 0 . Je˙zeli k < ` to h(z) = f (z)/g(z) ma biegun (` − k)–krotny w z 0 .

13 Residua

Niech f ∈ H(U ). Za l´ o˙zmy, ˙ze D ⁰ (z ₀ , r) ⊂ U oraz f (z) = P ∞

j=−∞ c _j (z − z ₀ ) ^j jest rozwini¸eciem f w szereg Laurenta dla z ∈ D ⁰ (z ₀ , r).

Definicja. Wsp´ o lczynnik c ₋₁ nazywamy residuum funkcji f (z) w punkcie z 0 , i oznaczamy go symbolem

res _z

(f ) = c ₋₁ .

Fakt 13.1 Residuum mo˙zna wyrazi´ c za pomoc¸ a ca lki res z

(f ) = 1

2πi I

O(z

,s)

f (z)dz, gdzie 0 < s < r.

Je˙zeli z ₀ jest punktem regularnym lub punktem pozornie osobliwym,

to res _z

(f ) = 0.

Fakt 13.2 Je˙zeli z 0 jest biegunem 1–krotnym funkcji f (z), to res _z

(f ) = lim

z→z

(z − z ₀ )f (z).

Fakt 13.3 Je˙zeli f, g ∈ H(U ), z ₀ ∈ U oraz g(z ₀ ) = 0, g ⁰ (z ₀ ) 6= 0, to res _z

 f (z)

g(z)



= f (z ₀ ) g ⁰ (z ₀ ) .

Fakt 13.4 Je˙zeli f (z) posiada biegun krotno´ sci 1 w z ₀ oraz g(z ₀ ) 6= 0, to

res _z

(f (z)g(z)) = res _z

(f ) · g(z ₀ ).

Twierdzenie 13.5 (Tw. o Residuach) Za l´ o˙zmy, ˙ze Ω jest zbiorem zwartym ograniczonym przez sko´ nczon¸ a rodzin¸ e roz l¸ acznych dr´ og Jor- dana. Za l´ o˙zmy, ˙ze punkty z ₁ , . . . , z _p le˙z¸ a wewn¸ atrz Ω oraz funkcja f (z) jest holomorficzna na Ω \ {z ₁ , . . . , z _p }.

Wtedy

I

∂Ω

f (z)dz = 2πi

p

X

n=1

res _z

(f ).

Przyk lad.

I

γ

exp(z) dz

sin z = 2πi(1 − e ^π ).

Fakt 13.6 Za l´ o˙zmy, ˙ze funkcja f ma w punkcie z 0 biegun co najwy˙zej k krotny, k ≥ 1. Wtedy

res _z

(f ) = 1

(k − 1)! lim

z→z

(z − z ₀ ) ^k f (z)  (k−1)

.

14 Zastosowania residu´ ow

Ca lki typu J = R 2π

0 R(cos t, sin t)dt

R(x, y) jest funkcj¸ a wymiern¸ a zdefiniowan¸ a na okr¸egu x ² + y ² = 1.

We´ zmy standardow¸ a parametryzacj¸e jednostkowego okregu O(0, 1):

z = z(t) = exp(it) = cos t + i sin t, 0 ≤ t ≤ 2π 1

z = exp(−it) = cos t − i sin t cos t = z + ¹ _z

2 sin t = z − ¹ _z 2i z ⁰ (t) = i z(t)

J = Z 2π

0

R(cos t, sin t)dt = I

O(0,1)

1

i z R  z + _z ¹

2 , z − ¹ _z 2i

 dz

Ca lk¸e t¸e nale˙zy policzy´ c korzystaj¸ ac z Twierdzenia o Residuach.

Przyk lad.

J = Z 2π

0

dt

cos t − 2 = − 2π √ 3 3 . Ca lki typu J = R ∞

−∞ R(t)dt Zak ladamy, ˙ze

– R(z) jest funkcj¸ a wymiern¸ a,

– R(z) nie ma biegun´ ow na osi rzeczywistej, – lim _|z|→∞ zR(z) = 0

– z ₁ , . . . , z _p s¸ a biegunami R(z) w g´ ornej p´ o lp laszczy´ znie.

Wtedy

Z ∞

−∞

R(t)dt = 2πi

p

X

n=1

res _z

(R).

Przyk lad.

J = Z ∞

−∞

dt

t ⁴ + 4 = π

4 .

Twierdzenie 14.1 Niech P (z),Q(z) b¸ ed¸ a dwoma wielomianami, przy czym deg P < deg Q oraz Q(z) 6= 0 dla z ∈ Z. Je˙zeli z 1 , . . . , z _s s¸ a zerami wielomianu Q, to

n→∞ lim

n

X

k=−n

P (k)

Q(k) = −π

s

X

m=1

res _z



ctg(π z) · P (z) Q(z)

 ,

n→∞ lim

n

X

k=−n

(−1) ^k · P (k)

Q(k) = −π

s

X

m=1

res z

 1

sin(π z) · P (z) Q(z)

 . 

15 Ci¸ agi i szeregi funkcji holomorficznych

Definicja. Ci¸ ag funkcji f _j okre´slonych na otwartym zbiorze U jest niemal jednostajnie zbie˙zny do funkcji f , gdy

∀ zbioru zwartego K ⊂ U, ∀  > 0

∃ N ∀ z ∈ K ∀ j ≥ N |f _j (z) − f (z)| < .

Wniosek 15.1 Ci¸ ag funkcji f _j jest niemal jednostajnie zbie˙zny do f wtedy i tylko wtedy, gdy f _j jest jednostajnie zbie˙zny do f na ka˙zdym zbiorze zwartym K ⊂ U .

Twierdzenie 15.2 (Tw. Weierstrassa) Za l´ o˙zmy, ˙ze f _j ∈ H(U ) oraz f _j → f niemal jednostajnie.

Wtedy f ∈ H(U ), oraz f _j ⁰ → f ⁰ niemal jednostajnie.

Wniosek 15.3 Je˙zeli f _j ∈ H(U ) oraz f _j → f niemal jednostajnie, to dla ka˙zdego n ≥ 1, f _j ⁽ⁿ⁾ → f ⁽ⁿ⁾ niemal jednostajnie.

Definicja Szereg P ∞

1 f _j jest niemal jednostajnie zbie˙zny, je˙zeli istnieje funkcja s okreslona na U taka, ˙ze ci¸ ag s _n = f ₁ + · · · + f _n jest niemal jednostajnie zbie˙zny do s.

Piszemy wtedy

s =

∞

X

j=1

f _j .

Twierdzenie 15.4 Za l´ o˙zmy, ˙ze f _j ∈ H(U ), oraz dla ka˙zdego zbioru zwartego K ⊂ U istnieje ci¸ ag liczb rzeczywistych b _j ≥ 0 taki, ˙ze

(1) sup _z∈K |f _j (z)| ≤ b _j ,

Wtedy

(a) szereg s = P ∞

1 f _j jest niemal jednostajnie zbie˙zny na U , (b) s ∈ H(U ),

(c) dla ka˙zdego n ≥ 1, s ⁽ⁿ⁾ = P ∞ 1 f _j ⁽ⁿ⁾ . Przyk lad.

f (z) =

∞

X

j=1

1 (z − j) ² jest funkcj¸ a holomorficzn¸ a na C \ {1, 2, 3, . . .}.

ZALECANA LITERATURA

1. J. Ch¸ adzy´ nski - Wst¸ ep do Analizy Zespolonej

2. J. Ch¸ adzy´ nski - Wst¸ ep do Analizy Zespolonej w zadaniach 3. F. Leja - Funkcje Zespolone

4. W.Rudin - Analiza Rzeczywista i Zespolona

22