TEMAT: SZKICOWANIE WYKRESÓW FUNKCJI KWADRATOWYCH. ODCZYTYWANIE WŁASNOŚCI FUNKCJI KWADRATOWEJ NA PODSTAWIE WYKRESU.
Proszę, obejrz film https://www.youtube.com/watch?v=45yQ264mJVI
W filmiku wyjaśniono na czym należy się skupić ryzując wykres funkcji kwadratowej: na obliczeniu wierzchołka funkcji kwadratowej, miejsc zerowych oraz miejsca przecięcia się wykresu funkcji z osią OY. Jeśli to wszystko obliczymy, wtedy wykres naszej funkcji jest całkiem dokładny i na pewno te informacje wystarczą, żeby odczytać podstawowe własności funkcji kwadratowej. Ale: są takie przypadki, gdzie miejsca zerowe wyjdą bardzo niedokładne, np.:
√ 2−3
5
. Co wtedy? Nie przejmuj się! Prawdopodobnie nie będą one konieczne do podania odpowiedzi na pytania zadane przez autora.Możesz je doliczyć i umieścić na wykresie „mniej więcej” tam, gdzie ich wartość przybliżona.
Zadanie 2.57/65
d)
1
2
x2−3 x +2 1 2
Wypiszmy współczynniki: a=
1
2
, b= - 3 , c=2 1 2
Ponieważ będę potrzebować współrzędnych wierzchołka wykresu naszej funkcji oraz jej miejsc zerowych, obliczę najpierw „deltę”:
Δ=b2-4ac
Δ=(-3)2-4∙
1
2
∙2 1 2
Δ=9-4∙
1 2
∙5 2
Δ=9-
20 4
Δ=9-5 Δ=4
Liczymy teraz współrzędne wierzchołka paraboli: W(p,q) Korzystamy z poznanych na lekcji wzorów:
p=
−
b2 a
=−(−3) 2 ∙ 1
2
= 3 1 =3
q=
−
∆4 a = −4
4 ∙ 1 2
= −4
2 =−2
Zatem wierzchołek paraboli ma współrzędne W(3, -2)
Obliczymy teraz miejsca zerowe naszej funkcji kwadratowej (są dwa ponieważ „delta” jest dodatnia).
Korzystamy ze wzorów które mamy w zeszycie:
x1
= −
b−√
∆2a = −(−3)− √ 4
2∙ 1 2
= 3−2 1 = 1
1 =1
x2
= −
b∓√
∆2 a = −(−3)+ √ 4
2∙ 1 2
= 3+2 1 = 5
1 =5
I oczywiście jeszcze jedna rzecz: wykres przecina oś OY w
2 1
2
(ta liczba wynosi tyle ile współczynnik c). Rysujemy wykres:A teraz to, co możemy odczytać na podstawie wykresu powyższej funkcji:
- Df= R -ZWf=<-2,+) - Mz={1,5}
-maksymalne przedziały monotoniczności funkcji:
funkcja rośnie w przedziale: <3,+) funkcja maleje w przedziale: (-,3>
- równanie osi symetrii: x=3
- funkcja osiąga wartości ujemne, dla xϵ(1,3)
funkcja osiąga wartości dodatnie, dla xϵ(-,1)(5,+)
- wartość najmniejsza to -2 wartość największa - brak
A co w sytuacji, kiedy będziemy mieli podany nie wzór ogólny funkcji kwadratowej, tylko np. jej postać kanoniczną lub iloczynową?
Zad. 2.58
a) f(x)=2(x-1)(x+1)
PAMIĘTAJ ! ZAWSZE możesz wykonać mnożenie i zapisać postać ogólną powyższej funkcji, a następnie postępować tak, jak w zadaniu poprzednim
f(x)=2(x2+x-x-1) f(x)=2x2+2x-2x-2 f(x)=2x2-2
Obliczyć deltę, współrzędne wierzchołka paraboli, z tą tylko różnicą że możesz nie liczyć miejsc zerowych a odczytać je ze wzoru: x1=1, x2=1 (pamiętaj: miejsca zerowe odczytujemy mając postać iloczynową f(x)=a(x-x1)(x-x2) )
Zad. 2.59
e)f(x)=
x+1¿2
−2 1 2
¿Teraz mamy postać kanoniczną. Również wykonujemy działania:
f(x)=
1
2 ( x+1) ( x+ 1)−2
f(x)=
1
2 (x2+
x +x +1) −2
f(x)=
1
2 (x2+2 x +1 ) −2
f(x)=
1
2
x2+1 x+ 1 2 −2
f(x)=
1
2
x2+1 x−1 1 2
Możemy teraz wykorzystać że mamy dany wzór na postać kanoniczną funkcji kwadratowej f(x)=a(x-p)2+q i z niego odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli W(p,q) czyli W(-1,-2).
Natomiast miejsca zerowe liczymy tak jak w zadaniu pierwszym.
PYTANIE: Czy muszę koniecznie odczytywać miejsca zerowe z postaci iloczynowej a wierzchołek z postaci kanonicznej od razu ze wzoru? NIE. Jeśli będzie Ci łatwiej zapamiętać, że zawsze
doprowadzamy wzór funkcji kwadratowej do postaci ogólnej – takiej jak w zad pierwszym, i zawsze
liczymy deltę, wierzchołek i miejsca zerowe – ze wzorów, to licz w ten sposób. On nie jest najszybszy.
Ale skuteczny.
PYTANIE: A co, jeśli funkcja kwadratowa nie będzie miała miejsc zerowych ( będzie tak jeśli Δ<0 )? Nic się nie dzieje. Liczymy współrzędne wierzchołka paraboli, wyznaczamy miejsce przecięcia się wykresu funkcji z osią OY z taką różnicą, że parabolę prowadzimy przez te dwa punkty.
Praca domowa:
zad.2.57/65 a,c, f(Zbiór zad.) Zad 2.58/65 a, c
Zad. 2.59/65 b
