Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 19.
7 maja 2019
Zadania
1. Znajdź równanie płaszczyzny stycznej do następujących powierzchni w danym punkcie.
a) √3 x +√3
y +√3
z = 1, P = (1, −1, 1), b) xyz + x2− 3y2+ z3= 14, P = (5, −2, 3).
2. Znajdź wszystkie punkty powierzchni z = −x2− y2+ 8x − 6y + 10, w których płaszczyzna styczna jest pozioma.
3. Znajdź wszystkie punkty powierzchni opisanej równaniem
z = 3 4y2+ 1
24y3− 1
32y4− x2,
w których płaszczyzna styczna do powierzchni jest pozioma. Które z tych punktów to lokalne ekstrema funkcji z(x, y)?
4. Znajdź dyfeomorfizmy pomiędzy następującymi dziedzinami:
a) wnętrze trójkąta o wierzchołkach (0, 0), (0, 1) i (1, 0) oraz wnętrze trójkąta o wierzchołkach (0, 0), (0, 1) i (2, 0),
b) wnętrze trójkąta o wierzchołkach (0, 0), (0, 1) i (1, 0) oraz wnętrze kwadratu o wierzchołkach (0, 0), (0, 1), (1, 1) i (1, 0),
c) wnętrze trójkąta o wierzchołkach (0, 0), (0, 1) i (1, 0) oraz wnętrze koła jednostkowego o środku w (0, 0), d) wnętrze trójkąta o wierzchołkach (0, 0), (0, 1) i (1, 0) oraz całej płaszczyzny R2.
5. Znajdź dyfeomorfizm f : A → B, gdzie
A = {(x, y) ∈ R2: 1 < x2+ y2< 4}, B = {(x, y) ∈ R2: 1 < x2+ y2< 9}.
Krótki sprawdzian na następnych ćwiczeniach!
1
