Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 25. – krótki sprawdzian – rozwiązania
28 maja 2019
A
1. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f (x, y) = 2x + y2na zbiorze {(x, y) ∈ R2: 4x2+ y2= 4}.
f (x, y) = (2, 2y), F (x, y) = 4x2+ y2− 4 = 0, F0(x, y) = (8x, 2y), zatem 2 = 8λx oraz 2y = 2λy. Gdy y 6= 0, to λ = 1, więc x = 1/4 i wtedy
y2= 4 − 4/16 = 15/4, zatem y = ±√
15/2. Gdy y = 0, to x = ±1. Mamy zatem 4 punkty: (1/4, ±√
15/2) oraz (±1, 0) i wartości w nich to odpowiednio 1/2 + 15/4 = 17/4, 17/4, 2, −2. Maksimum zatem to 17/4, a minimum to −2.
2. ObliczR R
D2x2y dxdy na zbiorze D ograniczonym przez krzywe y = −x2+ 1 oraz y = 0.
Z Z
D
xy2dxdy = Z 1
−1
Z 1−x2 0
2x2y dy dx = Z 1
−1
x2y2|1−x0 2dx =
= Z 1
−1
(x2− x4) dx = (x3/3 − x5/5)|1−1= 2/15 + 2/15 = 4/15.
B
1. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f (x, y) = x2+ 2y na zbiorze {(x, y) ∈ R2: x2+ 4y2= 4}.
f (x, y) = (2x, 2), F (x, y) = x2+ 4y2− 4 = 0, F0(x, y) = (2x, 8y), zatem 2 = 8λy oraz 2x = 2λx. Gdy x 6= 0, to λ = 1, więc y = 1/4 i wtedy
x2= 4 − 4/16 = 15/4, zatem x = ±√
15/2. Gdy x = 0, to y = ±1. Mamy zatem 4 punkty: (±√
15/2, 1/4) oraz (0, ±1) i wartości w nich to odpowiednio 1/2 + 15/4 = 17/4, 17/4, 2, −2. Maksimum zatem to 17/4, a minimum to −2.
2. ObliczR R
D2x2y dxdy na zbiorze D ograniczonym przez krzywe y = x2− 1 oraz y = 0.
Z Z
D
xy2dxdy = Z 1
−1
Z 0 x2−1
2x2y dy dx = Z 1
−1
x2y2|0x2−1dx =
= Z 1
−1
(x4− x2) dx = (x5/5 − x3/3)|1−1= −2/15 − 2/15 = −4/15.
C
1. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f (x, y) = x2+ 2y + 2z na zbiorze {(x, y) ∈ R2: x2+ 4y2+ z2= 5}.
f (x, y, z) = (2x, 2, 2), F (x, y) = x2+ 4y2+ z2− 4 = 0, F0(x, y) = (2x, 8y, 2z), zatem 2 = 8λy, 2 = 2λz oraz 2x = 2λx. Gdy x 6= 0, to λ = 1, więc y = 1/4 oraz z = 1 i wtedy
x2= 5 − 4/16 − 1 = 15/4,
1
zatem x = ±√
15/2. Gdy x = 0, to λ 6= 0 i y = 1/(4λ), z = 1/λ, więc 1/λ2+ 4/λ2 = 20, czyli 1/λ2= 5, λ = ±1/2, zatem y = ±1/2, z = ±2. Mamy zatem 4 punkty: (±√
15/2, 1/4, 1) oraz (0, ±1/2, ±2) i wartości w nich to odpowiednio 1/2 + 15/4 + 2 = 25/4, 25/4, 5, −5. Maksimum zatem to 25/4, a minimum to −5.
2. ObliczR R
D 2y
(x2+1)2dxdy na zbiorze D ograniczonym przez krzywe y = x4− 1 oraz y = 0.
Z Z
D
2y
(x2+ 1)2dxdy = Z 1
−1
Z 0 x4−1
2y
(x2+ 1)2dy dx = Z 1
−1
y2
(x2+ 1)2|0x4−1dx =
= Z 1
−1
−(x2− 1)2dx = −(x5/5 − 2x3/3 + x)|1−1= −((1/5 − 1/3 + 1) − (−1/5 + 1/3 − 1)) = −32/15.
D
1. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f (x, y) = 2x + y2+ 2z na zbiorze {(x, y) ∈ R2: 4x2+ y2+ z2= 5}.
f (x, y, z) = (2, 2y, 2), F (x, y) = 4x2+ y2+ z2− 4 = 0, F0(x, y) = (8x, 2y, 2z), zatem 2 = 8λx, 2 = 2λz oraz 2y = 2λy. Gdy y 6= 0, to λ = 1, więc x = 1/4 oraz z = 1 i wtedy
y2= 5 − 4/16 − 1 = 15/4, zatem y = ±√
15/2. Gdy y = 0, to λ 6= 0 i x = 1/(4λ), z = 1/λ, więc 1/λ2+ 4/λ2 = 20, czyli 1/λ2= 5, λ = ±1/2, zatem x = ±1/2, z = ±2. Mamy zatem 4 punkty: (1/4, ±√
15/2, 1) oraz (±1/2, 0, ±2) i wartości w nich to odpowiednio 1/2 + 15/4 + 2 = 25/4, 25/4, 5, −5. Maksimum zatem to 25/4, a minimum to −5.
2. ObliczR R
D 2y
(x2+1)2dxdy na zbiorze D ograniczonym przez krzywe y = 1 − x4 oraz y = 0.
Z Z
D
2y
(x2+ 1)2dxdy = Z 1
−1
Z 1−x4 0
2y
(x2+ 1)2dy dx = Z 1
−1
y2
(x2+ 1)2|1−x0 4dx =
= Z 1
−1
(1 − x2)2dx = (x5/5 − 2x3/3 + x)|1−1= (1/5 − 1/3 + 1) − (−1/5 + 1/3 − 1) = 32/15.
2
