Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 25.
28 maja 2019
Zadania
1. Czy istnieje funkcja klasy C2, f : R2 → R, taka
że ∂f
∂x = x sin y,
∂f
∂y = y cos x?
2. Niech f (x, y) = x+y2. Znajdź maksimum funkcji f na zbiorze
A = {(x, y) ∈ R2: 3x2+ 2y2+ 8x ¬ 1}.
3. Niech K = {(x, y) ∈ R2: 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 2}
oraz f (x, y) = x2+ y − xy2. Znajdź maksimum i minimum f na K.
4. Znajdź i sklasyfikuj punkty krytyczne funkcji f : R2→ R zadanej wzorem
f (x, y) = x3+ y3+ 3xy + 3.
5. Niech f (r, θ) = (r2cos(2θ), r2sin(2θ)), gdzie (r, θ) ∈ (0, 1) × (0, 2π). Naszkicuj obraz funkcji f .
6. Niech f będzie funkcją zdefiniowaną w poprzed- nim zadaniu. Rozstrzygnij, czy
a) f jest lokalnie dyfeomorfizmem na zbiorze (0, 1) × (0, 2π)?
b) f jest dyfeomorfizmem na zbiorze (0, 1) × (0, 2π)?
7. Niech z(x, y) będzie funkcją wyznaczoną przez równanie
sin(xz) = yz taką, że z(1, 0) = 0. Oblicz
∂z
∂x(1, 0),
oraz ∂z
∂y(1, 0).
8. Znajdź równanie płaszczyzny stycznej do po- wierzchni
S = {(x, y, z) ∈ R3: sin(xz) = yz}
w punkcie (1, 0, 0).
9. Czy zbiór
M = {(x, y, z) ∈ R3: x2+ y2+ z2= 1, z = x2+ y2} ⊆ R3
jest rozmaitością?
10. Rozstrzygnij, czy forma kwadratowa zadana ma- cierzą
1 −1 0
1 1 0
0 0 1
jest dodatnio określona, ujemnie określona, do- datnio półokreślona, ujemnie półokreślona, lub nieokreślona?
Kolokwium na następnych ćwiczeniach!
1
