Cwiczenia nr 8, GAL I.2, 17.4.2020 Przekształcenia samosprzężone i unitarne W poniższych zadaniach, jeśli nie zaznaczono inaczej, to Rn (odp.

(1)

Cwiczenia nr 8, GAL I.2, 17.4.2020 Przekształcenia samosprzężone i unitarne

W poniższych zadaniach, jeśli nie zaznaczono inaczej, to Rⁿ(odp. Cⁿ) należy rozumieć, jako przestrzeń euklidesową (odp. unitarną) ze standardowym iloczynem skalarnym (hermitowskim).

Zadanie 1. Niech V = R³ (ze standardowym iloczynem skalarnym). Wykaż, że endomorfizm f : V → V ,

f (x, y, z) = (−x + y + z, x − y + z, x + y − z)‘

jest samosprzężony. Wyznacz bazę ortonormalną przestrzeni V składającą się z wektorów własnych endomorfizmu f .

Zadanie 2. Niech endomorfizm f : R² → R² ma w pewnej bazie A macierz

M (f )^A_A =

"

1 1

−5 −1

#

Udowodnij, że f nie jest samosprzężony.

Zadanie 3. Niech (R², ξ) będzie przestrzenią euklidesową, f : R² → R² takie, że

M (ξ)^st_st=

"

2 1 1 1

#

, M (f )^st_st =

"

1 a b c

#

.

Dla jakich a, b, c przekształcenie f jest samosprzężone?

Zadanie 4. Znajdź takie przekształcenie samosprzężone f : R² → R² i taki wektor α, że w bazie A = (e₁, α) zachodzi

M (f )^A_A =

"

1 3 2 6

#

Zadanie 5. Niech A ∈ M_n×n(R) taka, że A^T = A. Udowodnij, że istnieje B ∈ M_n×n(R) taka, że B^TB = I oraz B⁻¹AB jest diagonalna.

Zadanie 6. Niech

A =







1 2 2 2 1 2 2 2 1







Znajdź macierz B ∈ M_3×3(R) taką, że B^TAB jest diagonalna.

Zadanie 7. Niech A ∈ Mn×n(R). Udowodnij, że zbiory wartości własnych macierzy A i A^T są takie same. Czy A i A^T mają te same zbiory wektorów własnych?

Zadanie 8. Niech A ∈ M_n×n(R) będzie macierzą odwracalną. Udowodnić, ze A^TA diagonali- zuje się nad R i wszystkie jej wartości własne są dodatnie.

Zadanie 9. Niech f : V → V będzie przekształceniem samosprzężonym. Udowodnij, że f jest izometrią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy f jest symetrią prostopadłą.

Zadanie 10. Niech A ∈ Mn×n(R) będzie odwracalna. Udowodnić, że istnieje macierz B orto- gonalna i C symetryczna takie, że A = B · C.

(2)

Zadanie 11. Która z poniższych macierzy jest unitarna¹:

(a)

"

cos α − sin α sin α cos α

#

, (b) 1

√3

"

1 + i 1

−1 1 − i

#

, (c)1 9







4 + 3i 4i −6 − 2i

−4i 4 − 3i −2 − 6i 6 + 2i −2 − 6i 1







W przypadku odpowiedzi twierdzącej, znajdź bazę wektorów własnych i macierz danego operatora unitarnego w tej bazie.

Zadanie 12. Udowodnij, że dowolny operator unitarny C² → C² o wyznaczniku równym −1 ma macierz postaci

"

w z

¯ z − ¯w

#

dla pewnych w, z ∈ C takich, że |w|²+ |z|² = 1.

1tj. jest macierzą endomorfizmu unitarnego

2

(3)

Przestrzenie unitarne

Zadanie 1. Rozważmy C³ ze standardowym iloczynem hermitowskim:

h(z1, z2, z3), (z⁰₁, z₂⁰, z₃⁰)i = z1z₁⁰ + z2z20+ z3z30.

Znajdź bazę ortonormalną podprzestrzeni rozpiętej przez wektory β1= (1, 0, i) oraz β2= (2, 1, 1 + i).

Zadanie 2. Niech A = _{a b}

c d ∈ M2×2(C). Podaj warunki konieczne i wystarczające na to, by A była macierzą unitarną.

Zadanie 3. Niech φ będzie endomorfizmem przestrzeni unitarnej (V, h , i). Pokazać, że dla każdego wek- tora v takiego, że kvk = 1 mamy:

h φ(v), v ih v, φ(v) i ¬ h φ(v), φ(v) i.

Dlaczego lewa strona jest liczbą rzeczywistą? Kiedy zachodzi równość?

Zadanie 4. Niech φ : V → V będzie endomorfizmem przestrzeni unitarnej (V, h, i). Następujące warunki są równoważne:

• φ jest zerowe,

• hφ(v), vi = 0, dla każdego v ∈ V .

Zadanie 5. Niech φ będzie endomorfizmem przestrzeni unitarnej (V, h , i) spełniającym dla każdych u, v ∈ V warunek:

h φ(u), v i = −h u, φ(v) i.

Niech λ będzie rzeczywistą wartością własną φ. Pokazać, że λ = 0.

Zadanie 6. Niech φ będzie endomorfizmem przestrzeni unitarnej (V, h , i). Dla każdej pary (v, w) ∈ V ×V określamy: [v, w] = h φ(x), φ(y) i. Dla jakich φ funkcjonał [, ] : V × V → C jest hermitowski?