ModelowaniezmiennejjakościowejJakubMućk Ekonometria

(1)

Model probitowy

Ekonometria

Modelowanie zmiennej jakościowej

Jakub Mućk

Katedra Ekonomii Ilościowej

(2)

Model probitowy

Zmienna jakościowa

Zmienna ilościowa

może zostać zmierzona w skali.

Zmienna jakościowa

to zmienna, która jest niemierzalna ilościowo i której pomiar polega na przypisaniu do grupy z daną cechą.

Zmienne jakościowe:

uporządkowane(np. poziom wykształcenia), nominalne(np. ukończenie studiów wyższych).

Zmienna binarna (zero-jedynkowa, indykatorowa):

(3)

Model probitowy

Zmienna jakościowa

Zmienna ilościowa

Zmienna jakościowa

przyjmuje wartość 1 jeżeli jednostka spełnia warunek/posiada daną cechę oraz 0 w przeciwnym przypadku (w.p.p.).

(4)

Model probitowy

Zmienna jakościowa

Zmienna ilościowa

Zmienna jakościowa

(5)

Model probitowy

Zmienna jakościowa

Zmienna ilościowa

Zmienna jakościowa

przyjmuje wartość 1 jeżeli jednostka spełnia warunek/posiada daną cechę oraz 0 w przeciwnym przypadku (w.p.p.).

(6)

Model probitowy

Zmienna jakościowa jako zmienna objaśniająca (przykład z PoE).

PRICE = f (SQFT , D, ε) (1)

gdzie PRICE to cena domu, SQFT to powierzchnia domu a zmienna D:

D =

n ₁ jeżeli dom leży w pożądanej okolicy,

0 jeżeli dom leży wniepożądanej okolicy. (2) Grupą referencyjna odnosi się do przypadku D = 0.

(7)

Model probitowy

D =

Przypadek # 1:

PRICE = β₀+ β₁SQFT +β₂D + ε wtedy:

E (PRICE) =

n _β

0+ β₁SQFT +β₂ dla D = 1, β₀+ β₁SQFT dla D = 0.

PRICE

SQFT

β0 β0 + β2

β₂

(8)

Model probitowy

D =

Przypadek # 2:

PRICE = β₀+ β₁SQFT +β₂DSQFT + ε wtedy:

E (PRICE) =

n _β

0+ (β1+β2)SQFT dla D = 1, β0+ β1SQFT dla D = 0.

PRICE

β₂

(9)

Model probitowy

D =

Przypadek # 3:

PRICE = β₀+ β₁SQFT +β₂+β₃DSQFT + ε wtedy:

E (PRICE) =

=

n _β

0+β2+ (β1+β3)SQFT dla D = 1,

β0+ β1SQFT dla D = 0.

PRICE

SQFT

β0

β0 + β2 β₂

β₃

(10)

Model probitowy

Zmienna indykatorowe a szeregi czasowe

Częstotliwość roczna: wykorzystanie zmiennych indykatorowych w celu identyfikacji/

kontrolowania okresów o szczególnym charakterze.

Przykład:

yt= β0+ β1D^Crisis_t +

k

X

i=2

βixi,t

| {z }

pozostałe zmienne egzogeniczne

+εt (3)

gdzie:

D^Crisis_t =

n ₁ dla okresów kryzysu, 0 w.p.p.

Częstotliwość miesięczna/kwartalna: podobnie jak w przypadku częstotliwości rocz- nej oraz kontrola sezonowości:

Przykład:

yt= β0+ β1D^Q1_t + β2D_t^Q2+ β3D^Q3_t +

k

X

i=4

βixi,t+ εt (4)

gdzie:

(11)

Model probitowy

Przykład:

k

X

i=2

βixi,t

| {z }

+εt (3)

gdzie:

D^Crisis_t =

Przykład:

k

X

i=4

βixi,t+ εt (4)

gdzie:

D_t^Q1=

n ₁ dla obserwacji w I kw., 0 w.p.p.

Interpretacja zmienncyh indykatorowych powinna się odwoływać do okresu referencyjnego.

Uwaga o współliniowości.

(12)

Model probitowy

Przykład:

k

X

i=2

βixi,t

| {z }

+εt (3)

gdzie:

D^Crisis_t =

Przykład:

k

X

i=4

βixi,t+ εt (4)

gdzie:

(13)

Model probitowy

Przykład:

k

X

i=2

βixi,t

| {z }

+εt (3)

gdzie:

D^Crisis_t =

Przykład:

k

X

i=4

βixi,t+ εt (4)

gdzie:

D_t^Q1=

n ₁ dla obserwacji w I kw., 0 w.p.p.

Interpretacja zmienncyh indykatorowych powinna się odwoływać do okresu referencyjnego.

Uwaga o współliniowości.

(14)

Model probitowy

Zmienna binarna jako zmienna objaśniana

W regresji liniowej zainteresowanie badawcze skupia się narozkładzie wa- runkowym średniej wartości zmiennej objaśnianej względem zmiennych ob- jaśniających.

Specyfika zmiennej binarnej uniemożliwia powyższe podejście.

W modelach zmiennej binarnej, zainteresowanie koncentruje się naprawdo- podobieństwie wystąpienia zdarzenia.

Standardowe modele pozwalające wytłumaczyć prawdopodobieństwo:

Liniowy model prawdopodobieństwa.

Model logitowy.

Model probitowy.

(15)

Model probitowy

Zmienna binarna jako zmienna objaśniana

Model logitowy.

Model probitowy.

(16)

Model probitowy

Zmienna binarna jako zmienna objaśniana

Model logitowy.

Model probitowy.

(17)

Model probitowy

Liniowy model prawdopodobieństwa

Zmienna objaśnina y jako suma wartości oczekiwanej oraz składnika loso- wego:

y = E (y) + ε = p + ε (5)

Prawdopodobieństwo zdarzenia y = 1:

E (y) = p = β⁰+ β1x1+ β2x2+ . . . + βkxk (6) Liniowy model prawdopodobieństwa:

y = β0+ β1x1+ β2x2+ . . . + βkxk+ ε (7) Parametry β0, β1, . . . , βk mogą zostać oszacowane MNK (lub UMNK).

Interpretacjaoszacowań parametrów strukturalnych odwołuje się do praw- dopodobieństwa.

Przykład: wzrost x1 o jednostkę zwiększa prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia skfantyfikowanego jako y o ceteris paribus β1.

Punkty procentowe a procenty.

(18)

Model probitowy

Liniowy model prawdopodobieństwa

Wartości teoretyczne, tj. prognozy in-sample, mogą być poza przedziałem (0, 1).

Ilustracja

Brak interpretacji miar dopasowań modelu do danych, np. współczynnika R².

Problem heterogeniczności składnika losowego.

Brak normalności składnika losowego.

(19)

Model probitowy

Przykład empiryczny: Cola czy Pepsi?

Specyfikacja modelu:

coke = β0+ β1pratio + β2disp_coke + β3disp_pepsi + ε. (8)

Zmienna objaśniana:

coke =

1 jeżeli klient wybrał Colę,

0 jeżeli klient wybrał Pepsi. (9)

Zmienne objaśniające:

pratio - cena relatywna Coli względem Pepsi, disp_coke:

disp_coke =

n ₁ jeżeli Cola jest reklamowana w czasie zakupu,

0 w przeciwnym przypadku. (10)

disp_pepsi:

disp_pepsi =

n ₁ jeżeli Pepsi jest reklamowana w czasie zakupu,

(20)

Model probitowy

Przykład empiryczny: Cola czy Pepsi?

coke =

disp_coke =

(21)

Model probitowy

Przykład empiryczny: Cola czy Pepsi?

coke =

disp_coke =

disp_pepsi:

disp_pepsi =

n ₁ jeżeli Pepsi jest reklamowana w czasie zakupu,

(22)

Model probitowy

Przykład empiryczny

Wyniki oszacowań parametrów liniowego modelu prawdopodobieństwa.

Zmienna objaśniana: coke βˆi se ˆβi

statystyka t Pr (|βi| 6= 0)

pratio −0.401 0.061 −6.53 0.000

disp_pepsi −0.166 0.036 −4.65 0.000

disp_coke 0.077 0.034 2.24 0.025

const 0.890 0.065 13.59 0.000

Dodatkowe informacje:

Średnia artmetyczna zmiennej objaśnianej: 0.447 Statystyka F (3, 1136): 51.67 [0.000]

(23)

Model probitowy

Przykład empiryczny

Wyniki oszacowań parametrów liniowego modelu prawdopodobieństwa.

Zmienna objaśniana: coke βˆi se ˆβi

statystyka t Pr (|βi| 6= 0)

pratio −0.401 0.061 −6.53 0.000

disp_pepsi −0.166 0.036 −4.65 0.000

disp_coke 0.077 0.034 2.24 0.025

const 0.890 0.065 13.59 0.000

Dodatkowe informacje:

Średnia artmetyczna zmiennej objaśnianej: 0.447 Statystyka F (3, 1136): 51.67 [0.000]

Współczynnik determinacji R²: 0.12

(24)

Model probitowy

Rozkład logistyczny

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa:

f (x, µ, s) = exp ^−(x−µ)_s s

1 + exp ^−(x−µ)_s ²^, ⁽¹²⁾ gdzie x ∈ (−∞, ∞) oraz:

µ ∈ R - parametr położenia, s ∈ R - parametr skali.

Dystrybuanta:

F (x, µ, s) = 1

1 + exp ^−(x−µ)_s ^, ⁽¹³⁾ Wartość oczekiwana:

(25)

Model probitowy

Rozkład logistyczny

Gęstość pradopodobieństwa

−4 −2 0 2 4

0.000.050.100.150.200.25

x

f(x)

f (x) = exp(−x)

(1 + exp(−x))² (15)

Dystrybuanta rozkładu logistycznego

−4 −2 0 2 4

0.00.20.40.60.81.0

x

F(x)

F (x) = 1

(1 + exp(−x)) (16)

(26)

Model probitowy

Rozkład logistyczny

−6 −4 −2 0 2 4 6

0.00.10.20.30.40.5

f(x)

−4 −2 0 2 4

0.00.20.40.60.81.0

F(x)

(27)

Model probitowy

Rozkład logistyczny

−4 −2 0 2 4

0.000.050.100.150.200.25

x

f(x)

−4 −2 0 2 4

0.00.20.40.60.81.0

x

F(x)

(i) µ = 0 oraz s = 1, (ii) µ = −1 oraz s = 1, (iii) µ = 1 oraz s = 1.

(28)

Model probitowy

Model logitowy

Prawdopodobieństwo p:

p = exp (β0+ β1x1+ . . . + βkxk)

1 + exp (β0+ β1x1+ . . . + βkxk). (15) Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, tj. 1 − p:

1 − p = 1

1 + exp (β0+ β1x1+ . . . + βkxk). (16)

Logit, czyli logarytm naturalny ilorazu p i 1 − p:

ln

p 1 − p

= βo+ β1x1+ . . . + βkxk. (17)

(29)

Model probitowy

Model logitowy

Prawdopodobieństwo p:

p = exp (β0+ β1x1+ . . . + βkxk)

1 + exp (β0+ β1x1+ . . . + βkxk). (15) Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, tj. 1 − p:

1 − p = 1

1 + exp (β0+ β1x1+ . . . + βkxk). (16)

Logit, czyli logarytm naturalny ilorazu p i 1 − p:

ln

p 1 − p

= βo+ β1x1+ . . . + βkxk. (17) p ∈ (0, 1)

Ilustracja

(30)

Model probitowy

Metoda Największej Wiarygodności

Funkcja wiarygodności:

L (x1, . . . , xn, θ1, . . . , θk) =

n

Y

i=1

f (xi, θ1, . . . , θk) (18)

gdzie

x1, . . . , xn - obserwacje zmiennych, θ1, . . . , θ_k - szacowane parametry, f (xi, θ1, . . . , θk) - funkcja gęstości.

Rozwiązanie układu równań:

∀i∈{1,...,k}

∂ ln L

∂xi

= 0. (19)

(31)

Model probitowy

Model logitowy - iloraz szans

Iloraz szans (odds ratio):

odds ratio: = Pr[y = 1|∆xi= 1]

Pr[y = 0|∆x_i= 1]

| {z }

iloraz szans po zwiększeniu x_io 1







Pr[y = 1|∆xi= 0]

Pr[y = 0|∆x_i= 0]

| {z }

iloraz szans







−1

=exp(β_i)

(20)

Interpretacja: wzrost xi o jednostkę zwiększa (zmniejsza) ceteris paribus iloraz szans do exp(βi) [(exp(βi) − 1) · 100%].

(32)

Model probitowy

Model logitowy - efekty krańcowe

Efekt krańcowy:

∂pj

∂xj,i

= βipj(1 − pj) = βi

exp (β0+ β1x1,j+ . . . + βkxk,j)

[1 + exp (β0+ β1x1,j+ . . . + βkxk,j)]². (21) Indeks j odpowiada jednostce.

Efekt krańcowy zależy od wartości : (i) prawdopodobieństwa (pj), (ii) zmiennej objaśnianej (xj,i), (iii) parametru strukturalnego (βi).

Efekty krańcowe są najczęśniej liczone dla średnich wartości zmiennych obja- śnianych.

(33)

Model probitowy

Test ilorazu wiarygodności i pseudo R

²

Test ilorazu wiarygodności:

H0: β1= β2= . . . = βk= 0. (22) Statystyka testu:

2 (ln LMP− ln LMZ) , (23)

ma rozkład χ² z k stopniami swobowy. Ponadto:

ln LMP - logarytm wiarygodności modelu logitowego,

ln LMZ - logarytm wiarygodności modelu logitowego, ale tylko z wyrazem wolnym.

Pseudo-R² McFaddena:

pseudo-R²= 1 −ln LMP

ln LMZ

, (24)

gdzie ln LMP oraz ln LMZ j.w.

(34)

Model probitowy

Prognoza ex post

Wartość teoretyczna w modelu objaśniającym zmienną jakościową (binarną) jestprognozą prawdopodobieństwa.

Standardowa zasada:

Próba zbilansowana:

ˆ y =

n ₁ _jeżeli _ˆp > 0.5,

0 jeżeli ˆp < 0.5. (25)

Zasada optymalnej wartości granicznej:

Próba niezbilansowana:

Udział obserwacji y = 1 w próbie wynosiδ, ˆ

y =

n ₁ _jeżeli _{p >}_ˆ _δ,

0 jeżeli p <ˆ δ. (26)

(35)

Model probitowy

Prognoza ex post

ˆ y =

n ₁ _jeżeli _ˆp > 0.5,

0 jeżeli ˆp < 0.5. (25)

y =

n ₁ _jeżeli _{p >}_ˆ _δ,

0 jeżeli p <ˆ δ. (26)

(36)

Model probitowy

Prognoza ex post

ˆ y =

n ₁ _jeżeli _ˆp > 0.5,

0 jeżeli ˆp < 0.5. (25)

y =

n ₁ _jeżeli _{p >}_ˆ _δ,

0 jeżeli p <ˆ δ. (26)

(37)

Model probitowy

Tablica trafności i zliczeniowy R

²

Tablica trafności:

Prognozowane

Razem y = 1 y = 0

Empiryczne y = 1 n11 n10 n1.

y = 0 n01 n00 n0.

Razem n.1 n.0 n

Liczba przypadków:

Trafnej predykcji (prognozy): n11+ n00, Błędnej predykcji (prognozy): n10+ n01. Zliczeniowy R²:

zliczeniowy R²= n11+ n00

n (27)

(38)

Model probitowy

Tablica trafności i zliczeniowy R

²

Prognozowane

Razem y = 1 y = 0

y = 0 n01 n00 n0.

Razem n.1 n.0 n

Liczba przypadków:

(27)

(39)

Model probitowy

Tablica trafności i zliczeniowy R

²

Prognozowane

Razem y = 1 y = 0

y = 0 n01 n00 n0.

Razem n.1 n.0 n

Liczba przypadków:

n (27)

(40)

Model probitowy

Przykład empiryczny - model logitowy

Wyniki oszacowań parametrów logitowego Zmienna objaśniana: coke βˆi se ˆβi

statystyka z Pr (|βi| 6= 0)

pratio −1.996 0.315 −6.34 0.000

disp_coke 0.352 0.159 2.22 0.027

disp_pepsi−0.731 0.168 −4.36 0.000

cons 1.923 0.325 5.90 0.000

(41)

Model probitowy

Przykład empiryczny - model logitowy

statystyka z Pr (|βi| 6= 0) AME (¯x)

pratio −1.996 0.315 −6.34 0.000 − 0.433

disp_coke 0.352 0.159 2.22 0.027 0.076

disp_pepsi−0.731 0.168 −4.36 0.000 − 0.158

cons 1.923 0.325 5.90 0.000

gdzie AME(¯x) to efekt krańcowy dla średnich wartości zmiennych objaśniających

(42)

Model probitowy

Przykład empiryczny - model logitowy

pratio −1.996 0.315 −6.34 0.000 − 0.433

disp_coke 0.352 0.159 2.22 0.027 0.076

disp_pepsi−0.731 0.168 −4.36 0.000 − 0.158

cons 1.923 0.325 5.90 0.000

gdzie AME(¯x) to efekt krańcowy dla średnich wartości zmiennych objaśniających Dodatkowe informacje:

Statystyka testu ilorazu warygodności χ²(3): 148.83 [0.000]

2

(43)

Model probitowy

Przykład empiryczny - model logitowy - efekty krańcowe

Efekty krańcowe w modelu logitowym

p pratio disp_coke disp_pepsi

xi 0.435 1.027 0.379 0.364

∂p/∂xi −0.433^∗∗∗ 0.076^∗∗ −0.159^∗∗∗

(0.064) (0.034) (0.035)

xi 0.482 1 0 0

∂p/∂xi −0.498^∗∗∗ 0.088^∗∗ −0.183^∗∗∗

(0.079) (0.039) (0.042)

xi 0.389 1 1 1

∂p/∂xi −0.426^∗∗∗ 0.075^∗∗∗ −0.156^∗∗∗

(0.084) (0.031) (0.028)

Legenda: ∂p/∂xioznacza efekt krańcowy dla zmiennej xi, błędy standardowe umieszczone w nawiasach,^∗∗∗,^∗∗,^∗oznaczają odrzucenia hipotezy zerowej o nieistotności efektów krańcowych przy poziomie istosności równym odpowiednio 0.01, 0.05 oraz 0.1.

(44)

Model probitowy

Efekty krańcowe (cd.) - wrażliwość na zmianę pratio

ˆ p

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

∂ˆp/∂disp_coke

0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

∂ˆp/∂pratioi

-0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

∂ˆp/∂disp_pepsi

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

(45)

Model probitowy

Przykład empiryczny (cd.)

Prognozowane

Razem y = 1 y = 0

Empiryczne y = 1 247 263 510

y = 0 123 507 630

Razem 370 770 1140

(46)

Model probitowy

Przykład empiryczny (cd.)

Prognozowane

Razem y = 1 y = 0

Empiryczne y = 1 247 263 510

y = 0 123 507 630

Razem 370 770 1140

Liczba przypadków:

Trafnej predykcji (prognozy): 754(247 + 507), Błędnej predykcji (prognozy): 386(123 + 263).

Zliczeniowy R²:

zliczeniowy R²= 754

≈ 66.14% (28)

(47)

Model probitowy

Prawdopodobieństwo p jest wartością dystrybuanty rozkładu normalnego N (0, 1):

p = Φ(z) =

Z z

−∞

1 (2π)¹²

exp

_u

2

du, (29)

gdzie z jest kombinacją liniową zmiennych objaśniających, tj.:

z = β0+ β1x1+ . . . + βkxk. (30)

Efekty krańcowe:

∂pj

∂xj,i

= βiφ (z) , (31)

gdzie φ (z) jest funkcją gęstości rozkładu normalnego.

Wybrane charakterystyki:

p ∈ (0, 1): ^Ilustracja

Metoda estymacji: Metoda Największej Wiarygodności.

Intepretacja oszacowań: efekty krańcowe.

Miary dopasowania: pseudo R², test ilorazu wiarygodności, tabela trafności oraz zliczeniowe R².

(48)

Model probitowy

p = Φ(z) =

Z z

−∞

1 (2π)¹²

exp

_u

2

du, (29)

z = β0+ β1x1+ . . . + βkxk. (30)

Efekty krańcowe:

∂pj

∂xj,i

= βiφ (z) , (31)

(49)

Model probitowy

p = Φ(z) =

Z z

−∞

1 (2π)¹²

exp

_u

2

du, (29)

z = β0+ β1x1+ . . . + βkxk. (30)

Efekty krańcowe:

∂pj

∂xj,i

= βiφ (z) , (31)

Metoda estymacji: Metoda Największej Wiarygodności.

Intepretacja oszacowań: efekty krańcowe.

Miary dopasowania: pseudo R², test ilorazu wiarygodności, tabela trafności oraz zliczeniowe R².

(50)

Model probitowy

Przykład empiryczny - model probitowy

Wyniki oszacowań parametrów modelu probitowego Zmienna objaśniana: coke

βˆi se ˆβi

statystyka z Pr (|βi| 6= 0)

pratio −1.146 0.181 −6.34 0.000

disp_coke 0.217 0.097 2.25 0.025

disp_pepsi−0.447 0.101 −4.41 0.000

cons 1.108 0.190 5.83 0.000

(51)

Model probitowy

Przykład empiryczny - model probitowy

βˆi se ˆβi

pratio −1.146 0.181 −6.34 0.000 − 0.410

disp_coke 0.217 0.097 2.25 0.025 0.077

disp_pepsi−0.447 0.101 −4.41 0.000 − 0.160

cons 1.108 0.190 5.83 0.000

gdzie AME(¯x) to efekt krańcowy dla średnich wartości zmiennych objaśniających

(52)

Model probitowy

Przykład empiryczny - model probitowy

βˆi se ˆβi

pratio −1.146 0.181 −6.34 0.000 − 0.410

disp_coke 0.217 0.097 2.25 0.025 0.077

disp_pepsi−0.447 0.101 −4.41 0.000 − 0.160

cons 1.108 0.190 5.83 0.000

gdzie AME(¯x) to efekt krańcowy dla średnich wartości zmiennych objaśniających Dodatkowe informacje:

Statystyka testu ilorazu warygodności χ²(3): 145.82 [0.000]

Pseudo-R²: 0.093

(53)

Model probitowy

Porównanie oszacowań parametrów

Zestawienie oszacowań parametrów modeli zmiennej jakościowej Zmienna objaśniana: coke

LMP Logit Probit

pratio −0.401^∗∗∗ −1.996^∗∗∗ −1.146^∗∗∗

(0.061) (0.315) (0.181)

disp_coke 0.077^∗∗ 0.352^∗∗ 0.217^∗∗

(0.034) (0.159) (0.097)

disp_pepsi −0.166^∗∗∗ −0.731^∗∗∗ −0.447^∗∗∗

(0.036) (0.168) (0.101)

const 0.890^∗∗∗ 1.923^∗∗∗ 1.108^∗∗∗

(0.065) (0.326) (0.190)

Legenda: błędy standardowe w nawiasach,^∗∗∗dla p < 0.01,^∗∗dla p < 0.05,^∗dla p < 0.1.

(54)

Model probitowy

Porównanie oszacowań parametrów

Zestawienie oszacowań parametrów modeli zmiennej jakościowej Zmienna objaśniana: coke

LMP Logit Probit

pratio −0.401^∗∗∗ −1.996^∗∗∗ −1.146^∗∗∗

(0.061) (0.315) (0.181)

disp_coke 0.077^∗∗ 0.352^∗∗ 0.217^∗∗

(0.034) (0.159) (0.097)

disp_pepsi −0.166^∗∗∗ −0.731^∗∗∗ −0.447^∗∗∗

(0.036) (0.168) (0.101)

const 0.890^∗∗∗ 1.923^∗∗∗ 1.108^∗∗∗

(0.065) (0.326) (0.190)

Legenda: błędy standardowe w nawiasach,^∗∗∗dla p < 0.01,^∗∗dla p < 0.05,^∗dla p < 0.1.

β^LMP ≈ 0.25β^Logit (32)

(55)

0 1 2 3 4 5

0.00.20.40.60.81.0

x

y

Legenda: obserwacje y.

(56)

0.00.20.40.60.81.0

y

(57)

0 1 2 3 4 5

0.00.20.40.60.81.0

x

y

Legenda: obserwacje y,wartości teoretyczne LMP, ^LMP .

(58)

0 1 2 3 4 5

0.00.20.40.60.81.0

y

(59)

0 1 2 3 4 5

0.00.20.40.60.81.0

x

y

Legenda: obserwacje y,wartości teoretyczne LMP,wartości teoretyczne logitu, wartości teoretyczne probitu, ^LMP , ^logit , ^probit .