15. Wektory losowe
w. 15.1 Rozkªad wektora (X, Y ) dany jest tabelk¡:
Y ↓, X → 1 0
1 0,5 0,125
-1 0,375 0
1. Znajd¹ rozkªady zmiennych X i Y .
2. Czy X i Y s¡ niezale»ne? Czy s¡ nieskorelowane?
3. Wyznacz P (X = Y ).
4. Wyznacz warto±¢ oczekiwan¡ i macierz kowariancji wektora (X, Y ).
5. Wyznacz rozkªad zmiennej Z = X + Y .
w. 15.2 Wektor (X, Y ) ma rozkªad o g¦sto±ci g(x, y) = 5
21I(0,2x](y)1I(0,∞)(x)e−x−2y. Znajd¹ g¦sto±ci zmiennych X i Y i sprawd¹, czy s¡ niezale»ne.
w. 15.3 Zmienne losowe X i Y s¡ niezale»ne i maj¡ rozkªad normalny N(0, 1). Czy zmienne losowe 2X + Y i X + 2Y s¡ niezale»ne?
w. 15.4 Niech X i Y b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach Poissona z parametrami 1 i 2 odpowiednio. Znajd¹ prawdopodobie«stwo tego, »e ukªad równa«
((X − 1)a + Y b = 6
−Y a + (X + 1)b = 4 posiada dokªadnie jedno rozwi¡zanie.
w. 15.5 (2004) Zmienne R i H s¡ niezale»ne. R ma rozkªad geometryczny z parame- trem p, P (H = 2) = P (H = 1) = 12. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e obj¦to±¢ walca o promieniu R i wysoko±ci H jest parzyst¡ wielokrotno±ci¡ π.
w. 15.6 Niech (X, Y ) b¦dzie wektorem losowym o g¦sto±ci f (x, y) = 1
27(x2+ y2)1IA(x, y),
gdzie A jest trójk¡tem o wierzchoªkach (0, 0), (3, 0), (3, 3). Oblicz P (X + 2Y > 3).
w. 15.7 Zmienne losowe X1, X2, X3s¡ niezale»ne i maj¡ jednakowy rozkªad wykªadniczy z parametrem λ > 0. Niech a, b > 0. Oblicz prawdopodobie«stwo warunkowe
P (max(X1, X2, X3) ≤ a + b | min(X1, X2, X3) > a).
w. 15.8 Niech X i Y b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi, X ∼ E(1), P (Y = 1) = 0, 25 = 1 − P (Y = −1).
Wyznacz g¦sto±¢ zmiennej losowej U = XY.
w. 15.9 X i Y s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie jednostajnym na (0, 1).
Znajd¹ g¦sto±¢ zmiennej X/Y .
w. 15.10 Niech X i Y b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkªadzie wykªadniczym E(1). Znajd¹ rozkªad zmiennej losowej [X + Y ].
