17DRAP - Wektory losowe: niezależność, rozkłady Definicja. 1.

17DRAP - Wektory losowe: niezależność, rozkłady

Definicja. 1. Wektor losowy (X, Y ) nazywamy dyskretnym, jeżeli istnieje zbiór przeliczalny S ⊆ R², dla którego P(X,Y )(S) = P ((X, Y ) ∈ S) =P

(x,y)∈SP (X = x, Y = y) = 1.

Definicja. 2. Mówimy, że wektor losowy (X, Y ) ma rozkład ciągły, gdy istnieje gęstość, czyli funkcja f : R²→ R taka, że

P((X, Y ) ∈ A) = Z Z

A

f (x, y)dxdy, A ∈ B(R²).

Fakt. 1. Jeśli (X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony na zbiorze A, wówczas rozkłady brzegowe (X, Y ) są dyskretne o rozkładach

P (X = x) = X

y:(x,y)∈A

P (X = x, Y = y) , P (Y = y) = X

x:(x,y)∈A

P (X = x, Y = y) odpowiednio dla zmiennych losowych X i Y .

Fakt. 2. Jeśli (X, Y ) ma rozkład ciągły z gęstością f = f(X,Y ), wówczas rozkłady brzegowe są ciągłe z gęstościami fX(x) =

Z

R

f (x, y) dy, fY(y) = Z

R

f (x, y) dx,

odpowiednio dla zmiennych losowych X i Y .

Definicja. 3. Zmienne losowe X1, X2, . . . , Xn o wartościach w R, określone na (Ω, F, P) nazywamy niezależnymi, gdy dla każdego ciągu zbiorów borelowskich B1, B2, . . . , Bn zachodzi równość

P(X1∈ B1, X2∈ B2, . . . , Xn∈ Bn) = P(X¹∈ B1) · P(X²∈ B2) · . . . · P(Xⁿ∈ Bn).

Twierdzenie. 3. Zmienne losowe X1, X2, . . . , Xn o rozkładach dyskretnych skupionych na zbiorach SX₁, SX₂, . . . , SXn

(odpowiednio) są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu x1, x2, . . . , xn, gdzie xi ∈ SXi, i = 1, 2, . . . , n zachodzi

P(X1= x₁, X₂= x₂, . . . , X_n= x_n) = P(X1= x₁) · P(X2= x₂) · . . . · P(Xn= x_n).

Twierdzenie. 4. Jeżeli X₁, X₂, . . . , X_nsą zmiennymi losowymi o rozkładach ciągłych z gęstościami odpowiednio f₁, f₂, . . . , f_n, to zmienne losowe te są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy gęstość rozkładu łącznego

f (x1, x2, . . . , xn) = f1(x1) · f2(x2) · . . . · fn(xn) dla prawie wszystkich (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rⁿ.

Twierdzenie. 5. Załóżmy, że zmienne losowe X1, X2, . . . , Xn, Y1, Y2, . . . , Ym są niezależne. Niech h1 : Rⁿ → R, h2 : R^m → R będą takimi funkcjami, że h1(X1, . . . , Xn), h2(Y1, . . . , Ym) są zmiennymi losowymi. Wówczas zmienne losowe h1(X1, . . . , Xn), h2(Y1, . . . , Ym) są niezależne. Twierdzenie można uogólnić do dowolnej liczby funkcji hi.

A Zadania na ćwiczenia

Zadanie A.1. W urnie znajduje się 10 kul: 5 czerwonych, 3 białe oraz 2 niebieskie. Z urny wyciągnięto 2 kule. Niech X oraz Y oznaczają zmienne losowe, które liczą odpowiednio liczbę kul czerwonych i białych w próbce.

a. Znajdź rozkład wektora losowego (X, Y ). (odpowiedź najwygodniej zapisać w postaci tabeli - patrz odpowiedzi do zadań domowych).

b. Wyznacz rozkłady brzegowe i sprawdź, czy zmienne losowe X i Y są niezależne.

Zadanie A.2. Rzucamy uczciwą monetą do wypadnięcia pierwszego orła i zapisujemy liczbę rzutów. Następnie ten sam eksperyment powtarzamy jeszcze raz i zapisujemy liczbę rzutów po raz kolejny. Niech X będzie większą z zapisanych liczb a Y mniejszą. Czy zmienne losowe (X, Y ) są niezależne? Odpowiedź uzasadnij formalnie korzystając z definicji niezależności zmiennych losowych. (Uwaga: można to zrobić sprytnie bez wyznaczania dokładnych wzorów na rozkład łączny i rozkłady brzegowe.)

Zadanie A.3. Rzucamy kostką do wyrzucenia drugiej szóstki. Niech X będzie liczbą rzutów do pierwszej 6 a Y liczbą rzutów po pierwszej 6. Wyznacz rozkład wektora losowego (X, Y ). Wyznacz rozkłady brzegowe. Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

1

Zadanie A.4. Wektor losowy (X, Y ) ma gęstość

f (x, y) =







x dla 0 < x < 1, 0 < y < 1 x, 0 dla pozostałych (x, y).

Wyznacz rozkłady brzegowe oraz sprawdź, czy zmienne losowe X i Y są niezależne.

Zadanie A.5. Dana jest funkcja gęstości

f (x, y) =

(c(x + y) dla x ∈ [0, 2] oraz y ∈ [0, 2], 0 w przeciwnym przypadku.

Znajdź stałą c. Następnie wyznacz prawdopodobieństwa zdarzeń P (1 ¬ X ¬ 7, −1 ¬ Y ¬ 1/2), P (1 ¬ X ¬ 5), P (Y = 1).

Zadanie A.6. Zmienne losowe X i Y są niezależne. X ma rozkład wykładniczy z parametrem 7 a Y ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 3]. Wyznacz rozkład łączny wektora losowego (X, Y ). Następnie wyznacz prawdopodobieństwa zdarzeń P (1 ¬ X ¬ 7, −1 ¬ Y ¬ 1/2), P (1 ¬ X ¬ 5), P (Y = 1).

Zadanie A.7. Z trójkąta z wierzchołkami o współrzędnych (0,0),(3,-1) i (3,1) wylosowano jeden punkt (X, Y ) , a. Wyznacz gęstość rozkładu łącznego (X, Y ).

b. Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

Zadanie A.8. Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrem λ. Znaleźć rozkład zmiennej losowej Z = max(X, 2Y ).

Zadanie A.9. Wektor (X, Y ) został wybrany losowo ze zbioru {(x, y) : x²+ y²¬ 1}. Znajdź rozkład zmiennej losowej X i rozkład zmiennej losowej Y . Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

B Zadania domowe

ZADANIA PODSTAWOWE

Zadanie B.1. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Znajdź rozkład (X, Y ), gdzie:

X – wynik na pierwszej kostce; Y – maksimum wyników, a następnie oblicz P(X = Y ). Czy X i Y są niezależne?

Zadanie B.2. Z talii 52 kart wylosowano jedną kartę. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartość równą liczbie wylosowanie asów, zaś Y – liczbie wylosowanych pików. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa wektora losowego (X, Y ) oraz rozkłady brzegowe. Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

Zadanie B.3. Losujemy po jednej karcie ze zwracaniem z talii 52 kart aż do momentu uzyskania pierwszego kiera. Niech X będzie liczbą wylosowanych pików, a Y liczbą losowań. Znajdź rozkład łączny wektora losowego (X, Y ). Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

Zadanie B.4. Dana jest funkcja

f (x, y) =

(Cxy + x dla x ∈ [0, 2] oraz y ∈ [0, 1], 0 w przeciwnym przypadku.

a. Wyznacz stałą C, by funkcja f była gęstością wektora losowego (X, Y ).

b. Wyznacz rozkłady brzegowe i sprawdź, czy zmienne losowe X i Y są niezależne.

c. Oblicz prawdopodobieństwo P(1 ¬ X ¬ 3, 0 ¬ Y ¬ ¹2).

Zadanie B.5. Załóżmy, że zmienne losowe X₁, . . . , X_n, Y₁, . . . , Y_nsą niezależne. Czy wtedy niezależne są również zmienne losowe X₁+ Y₁, X₂²+ Y₂², . . . , X_nⁿ+ Y_nⁿ? Jeśli NIE podaj przykład takich zmiennych losowych. Jeśli TAK powiedz, z jakiego twierdzenia to wynika.

ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI

2

Zadanie B.6. Z talii 24 kart (od dziewiątek do asów) losujemy jedna kartę. Niech X będzie zmienna losową przyjmującą wartości 0, 1, 2, 3 w przypadku wylosowania odpowiednio pika, kara, trefla i kiera. Ponadto, niech Y będzie zmienną losową przyjmującą wartości 3, 4, 5, gdy wylosowany zostanie odpowiednio walet, król i as oraz 0 w pozostałych przypadkach.

a. Podaj rozkład wektora losowego (X, Y ) oraz rozkłady brzegowe.

b. Oblicz P(X ­ Y ).

c. Sprawdź, czy zmienne losowe X i Y są niezależne.

Zadanie B.7. Losujemy n kart ze zwracaniem z talii 52 kart. Niech X będzie liczbą wylosowanych pików, a Y liczbą wylosowanych kierów. Znajdź rozkład łączny wektora losowego (X, Y ). Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

Zadanie B.8. Zad 2, §5.4.

Zadanie B.9. Zad 3, §5.4.

Zadanie B.10. Dana jest funkcja

f (x, y) = C

(1 + x²)(1 + y²) dla x, y ∈ R.

a. Dla jakiej stałej C funkcja f jest gęstością pewnego wektora losowego (X, Y )?

b. Wyznacz rozkłady brzegowe wektora losowego (X, Y ) oraz sprawdź, czy zmienne losowe X i Y są niezależne.

c. Oblicz P(0 ¬ X ¬ 1, 0 ¬ Y ¬ 1).

C Zadania dla chętnych w kolejnym zestawie

3

Odpowiedzi do niektórych zadań

B.1 P(X = Y ) = 7/12,

Y = 1 Y = 2 Y = 3 Y = 4 Y = 5 Y = 6

X = 1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

X = 2 0 2/36 1/36 1/36 1/36 1/36

X = 3 0 0 3/36 1/36 1/36 1/36

X = 4 0 0 0 4/36 1/36 1/36

X = 5 0 0 0 0 5/36 1/36

X = 6 0 0 0 0 0 6/36

Zmienne losowe X i Y są zależne.

B.2

Y = 0 Y = 1 r. b. X X = 0 36/52 12/52 48/52

X = 1 3/52 1/52 4/52

r. b. Y 39/52 13/52 NIEZALEŻNE

B.3 P (X = i, Y = j) = ^j−1i

1 4

ⁱ⁺¹ 1 2

^j−i−1

dla 0 ¬ i ¬ j − 1 ZALEŻNE

B.4 (a) C = −1

(b) tak, zmienne losowe X i Y są niezależne; gęstości rozkładów brzegowych zmiennych losowych X oraz Y :

f_X(x) = (₁

2x dla x ∈ (0, 2)

0 dla x /∈ (0, 2) oraz f_Y(y) =

(2(1 − y) dla y ∈ (0, 1) 0 dla y /∈ (0, 1) (c) 9/16

B.5 TAK. Należy rozważyć funkcje ϕj(x, y) = x^j+ y^j dla j = 1, 2, . . . , n i skorzystać z odpowiedniego twierdzenia z wykładu.

B.6 (a)

Y = 0 Y = 3 Y = 4 Y = 5 r. b. X

X = 0 3/24 1/24 1/24 1/24 6/24

X = 1 3/24 1/24 1/24 1/24 6/24

X = 2 3/24 1/24 1/24 1/24 6/24

X = 3 3/24 1/24 1/24 1/24 6/24

r. b. Y 12/24 4/24 4/24 4/24 B.7 P (X = i, Y = j) = ⁿi

n−i j

1 4

^i+j 1 2

^n−i−j

dla 0 ¬ i + j ¬ n i 0 ¬ i, j ¬ n ZALEŻNE

B.10 X i Y to niezależne zmienne losowe o rozkładzie Cauchy’ego.

4