15. Wektory losowe  zadania do samodzielnego rozwi¡zania Zad. 15.1

15. Wektory losowe  zadania do samodzielnego rozwi¡zania

Zad. 15.1 Wektor (X, Y ) ma rozkªad ª¡czny zadany wzorem P ((X, Y ) = (m, n)) = 1

2ⁿ3^m+1, n, m ≥ 0.

1. Wyznacz dystrybuant¦ tego rozkªadu.

2. Wyznacz rozkªady brzegowe.

3. Wyznacz rozkªad zmiennej X + Y .

Zad. 15.2 X i Y s¡ niezale»nymi ziennymi losowymi o rozkªadzie E(λ). Czy zmienne X + Y i X − Y s¡ niezale»ne?

Zad. 15.3 X i Y s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie U(0, 1). Oblicz warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej exp |X − Y |.

Zad. 15.4 X i Y s¡ niezale»ne i maj¡ rozkªad U(0, 2). Oblicz P (X ≤ Y²).

Zad. 15.5 X i Y s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie N(0, 1). Wyznaczyc rozkªad zmiennej losowej Z = X² + Y².

Zad. 15.6 X i Y s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach P (X = −1) = P (X = 1) = 1

2, Y ∼ U (0, 1).

Wyznacz rozkªad zmiennej losowej Z = X + Y .

Zad. 15.7 (2004) Zmienne X i Y s¡ niezale»ne. X ma rozkªad Cauchy'ego, a P (Y = −1) = 1 − P (Y = 1) = 1

3. Wyznacz rozkªad zmiennej U = X · Y .

Zad. 15.8 (2004) Wyznacz rozkªad zmiennej

U =sgn(X − Y ),

je±li X i Y s¡ niezale»ne, X ma rozkªad jednostajny na przedziale (−1, 1), a Y wykªadniczy z parametrem 2.

Zad. 15.9 Obliczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia, »e pierwiastki równania x²+ 2P x + Q = 0

s¡ rzeczywiste, przy zaªo»eniu, »e P i Q sa niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach U (−a, a)i U(−b, b) odpowiednio.

Zad. 15.10 Niech S i T b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi takimi, »e T ma rozkªad wykªadniczy z parametrem 1, a P (S = 2) = P (S = 3) = 0, 5. Oblicz

P (2^{S2−5T S+6T2} > 1).

Zad. 15.11 S i T s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi, przy czym S ma rozkªad jednos- tajny na przedziale (−2, 4), za± T ma rozkªad zadany nast¦puj¡co:

P (T = 1) = 1

2, P (T = 2) = 1

3, P (T = 3) = 1 6.

Oblicz prawdopodobie«stwo, »e parabola y = (x − S)²− 2i prosta y = 2x − T² maj¡

przynajmniej jeden punkt wspólny.

Zad. 15.12 Niech R i S b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi, R ∼ E(1), S ∼ E(2).

Oblicz prawdopodobie«stwo, »e pole koªa o promieniu R jest mniejsze od pola pros- tok¡ta o bokach πS oraz R + 2S.

Zad. 15.13 (2003) X i Y s¡ dwiema niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie N (0, 1). Oblicz prawdopodobie«stwo, »e dªugo±¢ wektora [X, Y ] jest mniejsza ni» 4.

Zad. 15.14 (2003) X i Y s¡ dwiema niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach odpowiednio geometrycznym z parametrem p = ¹₂ i wykªadniczym z parametrem λ = 1. Oblicz

P([X + Y ] = 3).

Zad. 15.15 (2004) Dany jest sto»ek o promieniu podstawy R i wysoko±ci H, gdzie R i H s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi, R ma rozkªad jednostajny na (0, 1), a H rozkªad o g¦sto±ci

f (x) = 2 π

1

1 + x²1_(0,∞)(x).

Oblicz prawdopodobie«stwo, »e pole boczne sto»ka jest wi¦ksze ni» podwojone pole jego podstawy.