Podlaski Konkurs Matematyczny
Zadania konkursowe - klasy pierwsze 27 maja 2006 r.
1. ´Scianami o´smio´scianu foremnego sa tr´, ojkaty r´, ownoboczne o boku d lugo´sci n. Ka˙zda, krawed´, z o´smio´scianu dzielimy na n odcink´ow d lugo´sci 1, a nastepnie prowadzimy wszyst-, kie odcinki r´ownoleg le do krawedzi o ko´, ncach w punktach podzia lu. Odcinki te wraz z krawedziami o´smio´scianu wyznaczaj, a podzia l ka˙zdej ´sciany na tr´, ojkaty r´, ownoboczne o boku 1. Ile jest r´o˙znych punkt´ow bed, acych wierzcho lkami tych tr´, ojkat´, ow i ile jest wszyst- kich odcink´ow d lugo´sci 1 bed, acych bokami tych tr´, ojkat´, ow. (Model o´smio´scianu foremnego mo˙zna zbudowa´c sklejajac podstawami dwa przystaj, ace ostros lupy o podstawach kwadra-, towych i ´scianach bocznych bed, acych tr´, ojkatami r´, ownobocznymi).
2. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x, y, z zachodzi nier´owno´s´c:
xy z +yz
x + zx
y > x + y + z.
3. Dany jest sze´sciokat wypuk ly ABCDEF taki, ˙ze przek, atne AD, BE oraz CF przecinaj, a, sie w jednym punkcie O. Niech S, 1, S2, S3, S4, S5 i S6 bed, a kolejno polami tr´, ojkat´, ow AOB, BOC, COD, DOE, EOF i F OA. Udowodni´c, ˙ze S1· S3· S5 = S2 · S4· S6.
4. W tr´ojkacie ABC d lugo´sci wszystkich trzech wysoko´sci s, a ca lkowitymi wielokrotno´sciami, promienia okregu wpisanego w ten tr´, ojkat. Wykaza´, c, ˙ze ABC jest tr´ojkatem r´, ownobocznym.
Informacje dla uczestnika konkursu 1. Czas trwania konkursu: 240 minut (4 godziny).
2. Przed rozpoczeciem rozwi, azywania zada´, n nale˙zy przepisa´c tekst ka˙zdego zadania na oddzielnym arkuszu.
3. Nale˙zy pisa´c wy lacznie na papierze dostarczonym przez organizator´, ow. Na jednym arkuszu nie nale˙zy pisa´c rozwiaza´, n r´o˙znych zada´n.
4. W czasie zawod´ow nie wolno korzysta´c z kalkulator´ow i telefon´ow kom´orkowych.
5. Lista nagrodzonych w konkursie zostanie og loszona na stronie internetowej http://www.ptm.pb.bialystok.pl w dniu 30 maja 2006r.
1
