Podlaski Konkurs Matematyczny
Zadania konkursowe - klasy drugie 14 maja 2005 r.
1. Niech {an} bedzie ci, agiem okre´slonym wzorem, an= 1 + 1
n(n + 2) , dla n > 1.
Niech A bedzie zbiorem wszystkich mo˙zliwych iloczyn´, ow r´o˙znych wyraz´ow tego ciagu. Czy, zbi´or A jest ograniczony z g´ory? Odpowied´z uzasadni´c.
2. Wykaza´c, ˙ze je´sli p1, p2, . . . , p56 sa liczbami pierwszymi wi, ekszymi od 7, to liczba, p16+ p26+ · · · + p566
jest podzielna przez 56.
3. Dany jest czworokat wypuk ly ABCD, kt´, orego wierzcho lki nale˙za do pewnego okr, egu, i |BC| = |CD|. Niech |AB| = x, |AD| = y, |AC| = z. Udowodni´c, ˙ze
z > x + y 2
oraz wyznaczy´c pole tego czworokata w zale˙zno´sci od x, y i z.,
4. W ka˙zde pole kwadratowej tablicy 8 × 8 wpisano po jednej liczbie w taki spos´ob, ˙ze w ka˙zdym wierszu i w ka˙zdej kolumnie wpisane liczby tworza ci, agi arytmetyczne. Suma, liczb wpisanych w cztery naro˙zne pola tablicy jest r´owna S. Wyznaczy´c sume wszystkich, wpisanych liczb.
Informacje dla uczestnika konkursu 1. Czas trwania konkursu: 240 minut (4 godziny).
2. Przed rozpoczeciem rozwi, azywania zada´, n nale˙zy przepisa´c tekst ka˙zdego zadania na oddzielnym arkuszu.
3. Nale˙zy pisa´c wy lacznie na papierze dostarczonym przez organizator´, ow. Na jednym arkuszu nie nale˙zy zamieszcza´c rozwiaza´, n r´o˙znych zada´n.
4. W czasie zawod´ow nie wolno korzysta´c z kalkulator´ow i telefon´ow kom´orkowych.
5. Lista nagrodzonych w konkursie zostanie og loszona na stronie internetowej http://www.ptm.pb.bialystok.pl w dniu 18 maja 2005r.
1
