RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 14

Wybrane przykłady krzywych płaskich

Wybrane przykłady krzywych Cykloida

Okrąg o promieniu

a

toczy sie bez poslizgu po prostej.

Ustalony punkt tego okręgu porusza się po krzywej zwanej cykloidą.

(Nazwa krzywej pochodzi od Galileusza - 1599)

Krzywe na płaszczyźnie

a S

y

x



P Q

O R

Cykloida (c. d.)

Równania parametryczne cykloidy mają postać

x(t) = a(t − sin t), y(t) = t(1 − cos t))

Otrzymujemy je przyjmując za parametr

t

^kąt



jaki tworzą: promień okręgu prostopadły do prostej

( SR )

i promień poprowadzony do wskazanego punktu okręgu (

SP

^).

W trójkącie

PQS: SP = a

^{, kąt}

 = t.

Stąd

SQ = acost , PQ = asint

) cos 1

(

cos t a t

SP a

SQ a

y      

Ponieważ

OR = PR = at x = OR  PQ = a(t  sint).

Cykloida jest oczywiście różniczkowalna w sposób ciągły, ale nie jest regularna:

r(t) = 0

gdy

t

jest całkowitą wielokrotnością liczby

2

.

Krzywe na płaszczyźnie

Krzywe na płaszczyźnie

Ewoluta cykloidy

cykloida

ewoluta cykloidy promień krzywizny okrąg oskulacyjny

Wybrane przykłady krzywych Epicykloida

Okrąg o promieniu

a

toczy się bez poślizgu po okręgu o promieniu

b

i jest z nim styczny zewnętrznie.

Ustalony punkt poruszającego się okręgu wyznacza krzywą zwaną epicykloidą.

Krzywe na płaszczyźnie

okrąg stały

okrąg ”ruchomy”

epicykloida

Wybrane przykłady krzywych Epicykloida (c. d.)

Kształt epicykloidy zależy od stosunku długości promieni obu okręgów

b k  a

Krzywe na płaszczyźnie

Wybrane przykłady krzywych

Przykłady epicykloid

k = 1 k = 2 k = 3 k = 4

k = 2.1 = 21/10 k = 3.8 = 19/5 k = 5.5 = 11/2 k = 7.2 = 36/5

Epicykloidy, są szczególnym przypadkiem epitrochoid, które z kolei należą do rodziny rulet.

Krzywe na płaszczyźnie

Krzywe na płaszczyźnie

k = 2

Wybrane przykłady krzywych

Krzywe na płaszczyźnie

Ewoluta epicykloidy

epicykloida

ewoluta epicykloidy promień krzywizny okrąg oskulacyjny

Wybrane przykłady krzywych Hipocykloida

Okrąg o promieniu

a

toczy się bez poślizgu po okręgu o promieniu

b

i jest z nim styczny wewnętrznie.

Ustalony punkt poruszającego się okręgu wyznacza krzywą zwaną hipocykloidą.

Krzywe na płaszczyźnie

okrąg stały

okrąg ”ruchomy”

hipocykloida

Wybrane przykłady krzywych ASTEROIDA











t a

y

t a

x

3 3

sin cos

Krzywe na płaszczyźnie

okrąg o promieniu

a

okrąg o promieniu 4

a

asteroida

Przykłady hipocykloid

k=3 k=4 - astroida k=5 k=6

k=2,1 k=3,8 k=5,5 k=7,2

Hipocykloidy, są szczególnym przypadkiem hipotrochoid, które z kolei należą do rodziny rulet.

Krzywe na płaszczyźnie

Krzywe na płaszczyźnie

Ruleta, to krzywa którą wyznacza punkt leżący na krzywej „toczącej się”

bez poślizgu po innej krzywej.

Przykład rulety – jest nią cysoida Dioklesa

parabola stała

parabola”ruchoma”

ruleta – cysoida Dioklesa

Krzywe na płaszczyźnie

Konstrukcja cysoidy Dioklesa

Dany jest okrąg

K,

o promieniu

a

i prosta

l

styczna do okręgu w punkcie

A.

Z punktu

O,

będącego końcem średnicy

OA

okręgu, prowadzimy sieczną przecinającą okrąg w punkcie

M

₁

i

i prostą

l

w punkcie

M

₂

.

Jeżeli na siecznej odłożymy od punktu

M

₂ odcinek

MM

₂

= OM

₁

,

to koniec

M

tego odcinka, dla różnych siecznych, zakreśli krzywą zwaną cysoidą Dioklesa.

Rownania okręgu

K

i prostej

l

mają postać:

Przyjmując za parametr

t

współczynnik kierunkowy siecznej wyznaczamy współrzędne punktów przecięcia siecznej, a następnie równania parametryczne cysoidy

MM₂ = OM₁

R t t y at

t x at











 

 

2 3 2 2

1 2 1

2

0 2 :

0 2

: ^{2 2}









 a x l

y ax x

K

Obwiednia rodziny krzywych

Niech

F(x, y, C) = 0

będzie równaniem rodziny krzywych,

F

jest klasy

C

¹

, C

parametrem.

Definicja

Krzywa K nazywamy obwiednią rodziny krzywych, jeżeli spełnia warunki:

 krzywa K jest styczna do wszystkich krzywych rodziny,

 każdy punkt krzywej K jest punktem styczności z pewną krzywą rodziny,

 żaden łuk krzywej K nie zawiera się w żadnej krzywej rodziny.

Umowa:

Obwiednią (zdegenerowaną) nazywamy punkt, przez który przechodzą wszystkie krzywe rodziny.

Krzywe na płaszczyźnie

Krzywe na płaszczyźnie

krzywe rodziny obwiednia

Krzywe na płaszczyźnie

Cykloida jest obwiednią rodziny swoich stycznych oraz okręgów krzywiznowych

Twierdzenie

Jeśli istnieje obwiednia rodziny krzywych

F(x, y, C) = 0,

to spełnia ona układ równań



 



 



 ) 0 , , (

0 ) , , (

C C y x F

C y x F

(

Dla wyznaczenia równania obwiedni należy wyeliminować z układu parametr

C)

Uwaga

Rozwiązanie powyższego układu równań jest tzw. krzywą wyróżnikową,

która nie musi być obwiednią, ale np. zbiorem punktów osobliwych danej rodziny

gdy

 0



 





y F x

F

.

Krzywe na płaszczyźnie

Przykłady

Rodzina okręgów danych równaniem

R C y

C

x  )   1 , 

(

^{2 2}

Obwiednia - proste

y = 1

^{, oraz}

y = - 1

Rodzina okręgów danych równaniem

R C C

C y C

x  )  (  )  , 

(

^{2 2 2}

Obwiednia - osie układu współrzędnych Rodzina okręgów danych równaniem

R C C

y C

x  cos )  (  sin )  1 , 

(

^{2 2}

Obwiednia - okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym

2

^.

Rodzina prostych normalnych do krzywej

K

Obwiednia – ewoluta krzywej

K

Krzywe na płaszczyźnie

Krzywe na płaszczyźnie

Zadanie

Wykazać, że

obwiednią rodziny prostych

y - 2Cx + C

²

= 0

jest parabola

y = x

²

Krzywe na płaszczyźnie

Obwiednią wszystkich położeń prostej ślizgającej się dwoma

ustalonymi punktami, odległymi od siebie o a , po osiach układu

współrzędnych jest asteroida.

Krzywe na płaszczyźnie

Obwiednią do rodziny elips

) 1 1

( ²

2 2

2 

 

C y C

x

jest również asteroida.

DODATEK

Epitrochoida

Epitrochoida – krzywa zakreślona przez punkt pozostający w stałym położeniu względem koła toczącego się po

pewnym nieruchomym okręgu.

Równania parametryczne epitrochoidy

gdzie:

 R - promień nieruchomego okręgu

 r - promień toczącego się koła

 h - odległość punktu od środka koła o promieniu r

Jeśli h = r to krzywa przyjmuje postać epicykloidy Jeśli h > r to krzywą nazywamy również epicykloidą wydłużoną

Jeśli h < r to krzywą nazywamy również epicykloidą skróconą

Jeżeli stosunek R/r jest liczbą niewymierną, otrzymujemy krzywą otwartą.

Krzywe na płaszczyźnie

okrąg stały

okrąg ”ruchomy”

epitrochoida

Krzywe na płaszczyźnie

Trójkąt Reuleaux – krzywa składająca się z łuków okręgów o środkach i końcach w wierzchołkach trójkąta równobocznego.

Jest to figura o stałej szerokości, czyli taka, w której odległość pomiędzy równoległymi prostymi podpierającymi nie zależy od kierunku tych prostych.

Pole powierzchni trójkąta wynosi

i jest najmniejsze spośród wszystkich figur o stałej szerokości równej d (największe pole powierzchni ma koło).

Franz Reuleaux

Krzywe na płaszczyźnie

Trójkąt Reuleaux (brzeg pomarańczowego obszaru) czyli część wspólna okręgów o promieniach d i środkach w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku d.

Sinik Wankla

~ epitrochoida R/r = 2

wirnik w kształcie zbliżonym do trójkąta Reuleaux (o lekko "spłaszczonych"

krawędziach) mimośrodowo umieszczony w korpusie o epitrochoidalnym przekroju

Sinik Wankla

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ