Zadania Arkusz 2
Odwaracanie macierzy - Układy równań liniowych
1. Za pomocą definicji wyznaczyć macierze odwrotne następujących macierzy:
i) A =
!2 −1 3 1
"
; ii) B =
!2 3 4 0
"
; iii) C =#2$.
O d p o w i e d ź. i) A−1 =
! 1/5 1/5
−3/5 2/5
"
; ii) B−1 =
! 0 1/4
1/3 −1/6
"
; iii) C−1 =#1/2$.
2. Wyznaczyć macierz odwrotną A−1 macierzy A, gdzie
i) A =
!1 1 6 8
"
; ii) A =#3$; iii) A =
!1 −4 0 13
"
;
iv) A =
!1 12 0 3
"
;
v) A =
! 4 −12
−3 12
"
;
vi) A =
%
&
'
1 −2 1
2 2 0
1 0 1
( )*;
vii) A =
%
&
'
1 1 1
0 1 0
1 −1 2
( )*;
viii) A =
%
&
'
2 1 1 3 1 1 0 0 1
( )*;
ix) A =
%
&
'
2 1 1 1 1 0 1 1 2
( )*;
x) A =
%
&
'
0 0 1 0 1 1 1 1 1
( )*;
xi) A =
%
&
'
1 1 −4 2 2 −8 5 5 −20
( )*.
O d p o w i e d ź. i) A−1 =
! 4 −1/5
−3 1/2
"
; ii) A−1=#1/3$; iii) A−1 =
!1 12 0 3
"
;
iv) A−1 =
!1 −4 0 1/3
"
; v) A−1 =
!1 1 6 8
"
; vi) A−1 =
%
&
'
1/2 1/2 −1/2
−1/2 0 1/2
−1/2 −1/2 3/2
( )*;
vii) A−1 =
%
&
'
2 −3 −1
0 1 0
−1 2 1
(
)*; viii) A−1 =
%
&
'
−1 1 0
3 −2 −1
0 0 1
(
)*; ix) A−1 =
%
&
'
1 −1/2 −1/2
−1 3/2 1/2 0 −1/2 1/2
( )*;
x) A−1 =
%
&
'
0 −1 1
−1 1 0
1 0 0
(
)*; xi) A−1 nie istnieje, det A = 0.
3. Rozwiązać równania macierzowe:
i)
!−1 2 0 1
"
· X =
! 2 0
−1 1
"
;
ii) X ·
!3 −2 5 −4
"
=
!−1 2
−5 6
"
;
iii)
%
&
'
1 1 2 1 0 1 2 2 3
( )*· X =
%
&
'
1 3 0 −12 0
( )*;
iv) X ·
%
&
'
−1 3 2
0 −2 1
0 2 −2
( )*=
! 3 0 −1
−1 2 0
"
;
v)
! 4 2
−1 1
"
· X =
!−2 0 0 −1
"
+
!4 0 0 4
"
· X;
vi)
%
&
'
2 0 1 1 1 1 1 0 1
( )*· X =
%
&
'
1 −1 2
3 0 1
1 −2 1
( )*;
vii)
! 1 −1
−2 1
"
· X −
! 2 1 1
−3 0 −2
"
=
! 0 −2 1
−2 1 −1
"
.
1
Zadania Arkusz 2
O d p o w i e d ź. i) X =
!−4 2
−1 1
"
; ii) X =
!3 −2 5 −4
"
; iii) X =
%
&
'
0 −71 −2 0 6
( )*;
iv) X =
!−3 −14 −9, 5 1 3 2, 5
"
; v) X =
! 3 1
−1 0
"
; vi) X =
%
&
'
0 1 1
2 2 0
1 −3 0
(
)*; vii) X =
!3 0 1 1 1 −1
"
.
4. Zapisać w postaci macierzowej układy równań:
i)
+, -
x1− 2x2 = −5, x1+ x2 = 4;
ii)
+. ., .. -
x1− x2+ 2x3 = −2, 2x2− x3 = −1, x1+ x2 + x3 = 1;
iii)
+, -
x1 + x4 = 0, x2 − x3 = 1;
iv)
+, -
x1 + 2x2+ x3− x4 = 1, x1 − x3 + 2x4 = 2.
O d p o w i e d ź. i)
!1 −2 1 1
"
·
!x1
x2
"
=
!−5 4
"
; ii)
%
&
'
1 −1 2 2 0 −1
1 1 1
( )*·
%
&
'
x1
x2
x3
( )*=
%
&
'
−2
−11
( )*itd.
5. Korzystając z macierzy odwrotnej rozwiązać następujące układy równań:
i)
+. ., .. -
x1+ 2x3 = 5, x1+ x2 = 5, x2+ x3 = 3;
ii)
+. ., .. -
5x1− 6x2+ 4x3 = 3, 3x1− 3x2+ 2x3 = 2, 4x1− 5x2+ 2x3 = 1;
iii)
+. ., .. -
x1 + 2x2+ 3x3 = 5, x1 + 3x2+ 7x3 = 6, x1 + x2 = 4;
iv)
+. ., .. -
x1 − 2x2 = 1, 2x2+ x3 = −1, x1 + x3 = 0.
O d p o w i e d ź. i) x1 = 3, x2 = 2, x3 = 1; ii) x1 = x2 = x3 = 1;
iii) x1 = 3, x2 = 1, x3 = 0; iv) nie można skorzystać z macierzy odwrotnej, gdyż ona nie istnieje (wyznacznik macierzy układu jest równy 0).
6. Za pomocą wzorów Cramera rozwiązać następujące układy równań:
i)
+, -
−2x1+ x2 = 3, 5x1− 3x2 = −8;
ii)
+, -
2x1− x2 = 1, x1+ 3x2 = 18;
iii)
+, -
x1+ 4x2 = 0, 3x1− 12x2 = −11;
iv)
+. ., .. -
x1+ 2x2+ 3x3 = 6, 2x1+ x2+ x3 = 4, 3x1+ x2− 4x3 = 0;
v)
+. ., .. -
x1− x2+ x3 = 2, 2x1+ x2− x3 = 1,
−x1+ 2x3 = 3;
vi)
+. ., .. -
3x1+ 2x2+ x3 = 5, 2x1+ 3x2+ x3 = 1, 2x1+ x2+ 3x3 = 11;
vii)
+. ., .. -
2x1− x2+ 3x3 = 9, 3x1− 5x2+ x3 = 2, 4x1− 7x2+ x3 = 5;
viii)
+. ., .. -
x1 − 2x2+ x3 = 3, 2x1+ x2+ x3 = −2, x1 − x2 + x3 = 2;
ix)
+. .. .. , .. .. .-
2x1− 3x2+ 2x3 + 4x4 = 8, x1 + 2x2− 2x3− 2x4 = −4, 3x1+ 2x2− 2x3 + x4 = 2,
−x1+ x2+ x3− 5x4 = −5;
2
Zadania Arkusz 2
O d p o w i e d ź. i) x1 = −1, x2 = 1; ii) x1 = 3, x2 = 5; iii) x1 = −2, x2 = 1/2;
iv) x1 = x2 = x3 = 1; v) x1 = x2 = 1, x3 = 2; vi) x1 = 2, x2 = −2, x3 = 3; vii) nie można zastosować wzorów Cramera, gdyż wyznacznik macierzy tego układu jest równy 0;
viii) x1 = −2, x2 = −1, x3 = 3; ix) x1 = x2 = 1, x3 = x4 = 2.
7. Metodą graficzną sprawdzić czy układ równań liniowych posiada rozwiązanie, jeśli tak zlokalizować je, a następnie wyznaczyć.
i)
+, -
2x − y = 7, x− 2y = 2;
ii)
+, -
4x + y = 2,
3x + 0, 75y = 1, 5;
iii)
+, -
4x + y = 2,
3x + 0, 75y = −1, 5;
iv)
+. ., .. -
2x − y = 7, x− 2y = 2, x+ y = 5;
v)
+. ., .. -
2x − y = 7, x− 2y = 2, x+ y = 0.
8. Rozwiązać graficznie układ nierówności.
i)
+. .. .. , .. .. .-
x! 0, y! 0, x+ 2y" 6, x+ 5y" 12;
ii)
+. ., .. -
−x + 2y " 4, 4x + y" 2, x+ y ! −1;
iii)
+, -
2x − y ! 7, x− 2y " 2;
iv)
+, -
4x + y ! 2,
3x + 0, 75y " −1, 5;
v)
+, -
|x| + |y| " 4,
|x| + |y| ! 2.
3
