Rachunek prawdopodobieństwa TEST 2:

Rachunek prawdopodobieństwa TEST 2:

IMIĘ:

NAZWISKO:

ŚCIĄGA

rozkłady dyskretne

nazwa rozkładu parametry skupiony na zbiorze P (X = k) E(X) Var(X) dwumianowy n, p {0, 1, 2, . . . , n} ⁿ_k
p^k(1 − p)^n−k np np(1 − p)

Poissona λ {0, 1, 2, . . .} ^λ_k!^ke^−λ λ λ

geometryczny p {1, 2, . . .} (1 − p)^k−1p _p^{1 1−p}_p2

ujemny dwumianowy p, r {r, r + 1, . . .} ^k−1_r−1
p^r(1 − p)^k−r _p^{r r(1−p)}_p2

hipergeometryczny N, m, n {0, 1, 2, . . . , n} (^mk)(^{N −m}n−k) (^N_n)

nm N

nm(N −m)(N −n) N²(N −1)

rozkłady ciągłe

nazwa rozkładu parametry gęstość E(X) Var(X)

normalny N (m, σ²) f (x) = ^√1

2πσ²e^{−(x−m)22σ2} m σ²

wykładniczy λ f (x) =

(λe^−λx dla x ­ 0

0 w przeciwnym wypadku

1 λ

1 λ²

jednostajny na odcinku [a, b] f (x) = ( ₁

b−a dla a ¬ x ¬ b

0 w przeciwnym wypadku

a+b 2

(a−b)² 12

Twierdzenie. Jeśli zmienna losowa X ma rozkład ciągły z gęstością fX, (i) X ∈ (a, b) z prawdopodobieństwem 1;

(ii) ϕ ma ciągłą pochodną na (a, b);

(iii) ϕ⁰(x) 6= 0 dla x ∈ (a, b),

to zmienna losowa Y = ϕ(X) ma rozkład ciągły o gęstości

fY(y) =

(f_X h(y)
· |h⁰(y)| dla y ∈ ϕ((a, b));

0 w p.p.,

gdzie h(s) = ϕ⁻¹(s).