Zagadnienia do egzaminu ustnego dla II roku Geodezji
1. Definicja przestrzeni wektorowej, przykłady. Przestrzeń R, C, Rn, Cn, przestrzeń liniowa macierzy, przestrzenie funkcyjne.
2. Liniowa niezależność wektorów, układ wektorów generujący przestrzeń, baza przestrzeni wektorowej, wymiar przestrzeni.
3. Mnożenie macierzy, rząd macierzy, definicje, własności, przykłady.
4. Odwzorowanie liniowe, definicja, własności, przykłady.
5. Związek odwzorowań liniowych z macierzami.
6. Wyznacznik macierzy, definicja, własności, przykłady.
7. Związek między rzędem macierzy a minorami macierzy.
8. Układy równań liniowych, twierdzenie Kroneckera-Capelliego.
9. Układy Cramera, twierdzenie Cramera.
10. Metody rozwiązywania układów równań liniowych.
11. Przestrzenie Euklidesa, iloczyny skalarne, przykłady.
12. Płaszczyzna w przestrzeni afinicznej R3, prostopadłość i równoległość płaszczyzn, odległość punktu od płaszczyzny.
13. Prosta w przestrzeni afinicznej R3, prostopadłość i równoległość prostych, odległość punktu od prostej, odległość prostych skośnych.
14. Norma i odległość w przestrzeni Rn, przykłady norm, norma euklidesowa.
15. Zbiory otwarte, domknięte, spójne i zwarte w przestrzeni Rn. 16. Ciągi w przestrzeni Rn, zbieżność.
17. Ciągłość i granica funkcji wielu zmiennych, przykłady.
18. Ciągłość odwzorowania liniowego, przykłady.
19. Różniczkowalność funkcji wielu zmiennych, jedyność granicy; pochodne cząstkowe.
20. Podstawowe własności funkcji różniczkowalnych, pochodna funkcji złożonej, reguła łańcuchowa.
21. Macierz Jacobiego, jakobian.
22. Twierdzenie o przyrostach skończonych i twierdzenie o odwzorowaniu odwrotnym.
23. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów, twierdzenie Schwartza.
24. Twierdzenie o wzorze Taylora.
25. Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych, definicja, warunek konieczny.
26. Warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych.
27. Funkcje uwikłane.
28. Długość krzywej, definicja, sposoby obliczania, przykłady.
29. Całka krzywoliniowa zorientowana, definicja, sposoby obliczania, przykłady.
30. Całka krzywoliniowa niezorientowana, definicja, sposoby obliczania, przykłady.
31. Definicja całki wielokrotnej po prostokącie i dowolnym zbiorze w Rn, podstawowe własności.
32. Związek między całką wielokrotną a polem (objętością, miarą Jordana) obszaru, przykłady.
33. Zbiory normalne i regularne.
34. Twierdzenie Fubiniego, przypadek prostopadłościanu i obszaru normalnego, przykłady, zastosowania.
35. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce, przykłady, zastosowania.
36. Przekształcenia wzajemnie jednoznaczne, współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe.
37. Pole płata powierzchniowego, sposoby obliczania, przykłady.
38. Całka powierzchniowa niezorientowana, definicja, sposoby obliczania, przykłady.
39. Całka powierzchniowa zorientowana, definicja, sposoby obliczania, przykłady.
40. Twierdzenie Greena, przykłady, zastosowania.
41. Funkcje potencjalne, niezależność całki od drogi całkowania, przykłady.
42. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego, przykłady zastosowań.
43. Twierdzenie Stokesa, przykłady zastosowań.
44. Pojęcie prawdopodobieństwa.
45. Zmienne losowe – ich rodzaje i charakterystyka.
46. Dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności.
47. Typowe rozkłady dyskretne.
48. Typowe rozkłady ciągłe.
49. Twierdzenia graniczne.
