Analiza nieskończoności przestrzennej

Analiza przestrzennej nieskończoności, oparta na 3+1-podejściu najpełniej została przeprowadzona w pracy Geroch’a [22]. Aby zbadać problem dotyczący stopnia zbliŜenia asymptotycznej geometrii Σ-przekrojów do geometrii przestrzeni euklidesowej E3, trójwymiarowej fizycznej rozmaitości (ℵ, b, χ ) musimy za pomocą przekształcenia konforemnego b^αβ = Ωbαβ przyrównać ja do nie fizycznej rozmaitości ( ℵ^, b^, χ^ ) z brzegiem. Jak często to bywa orientacje w sytuacji oraz drogę postępowania podpowiadają nam przykłady. Klasycznym „królikiem doświadczalnym” w OTW jest rozwiązanie Schwarzschilda i od niego rozpoczniemy.

Rozpatrzmy zatem rozwiązanie Schwarzschilda, zapisane we współrzędnych krzywizny i wybierzmy naturalne 3+1-rozczepienie czasoprzestrzeni za pomocą cięć t = const. Dla takiego przypadku :

ξµ = δµ0 , ζµ = δ0µ , N = [ 1 – ( r0 /r) ]1/2

Na mocy symetrii czasowych wprowadzonych cięć (Σt – są cięciami maksymalnymi ) tensor zewnętrznej krzywizny jest równy zeru. Z (7.11) dla metryki przestrzennej otrzymujemy :

DL2 = [ 1 – ( r0 /r) ] -1 dr2 + r2 dσ2 Dokonajmy teraz zamiany zmiennych : r^ =2 [ r + (r2 – r0r )1/2 ] -1

Wtedy :

dL2 = [ dr^ + r^2 dσ2 / r^4 ( 1 – ¼ r r^0 )2 (7.15)

We współrzędnych ( r^, ϑ, φ) przestrzennej nieskończoności ( r = ∞ ) odpowiada r^ = 0. Po dokonaniu przekształcenia konforemnego o Ω = r^2 ( 1 – ¼ r r^0 ) (7.15) przechodzi w :

dL^2 = Ω2 dL = dr^2 + r2 dσ2

I określa metrykę płaskiej, 3-wymiarowej przestrzeni w sferycznym układzie współrzędnych.

Odwzorowanie φ : ℵ→ℵ^ analogiczne jest do rzutowania stereograficznego na sferę ( zobacz rys. 7.14). Jak zwykle biegun północny odpowiada nieskończenie oddalonemu punktowi.

Zbadajmy teraz własności ℵ^ w pobliŜu I0. Jak łatwo zauwaŜyć, brzeg rozmaitości ℵ^ określony jest równaniem r^ = 0 i przedstawia sobą punkt. Zatem, przy konforemnej kompaktyfikacji w miejsce 2-wymiarowego brzegu , 3-wymiarowej rozmaitości otrzymujemy 0-wymiarowy brzeg – punkt I0. Nie jest dziwne, Ŝe przy takiej redukcji wymiaru w punkcie I0 moŜliwe jest pojawienie się pewnych niespodzianek np. analogicznych do rozbieŜności pojawiających się w początku sferycznego układu współrzędnych dla tensora metrycznego. Pierwsze i drugie pochodne czynnika konforemnego Ω mają następujące wartości graniczne w I0 :

Ω = 0 , ∇^i Ω = 0 , ∇^i ∇^j Ω = 2g^ij (7.16) Dla składowych – elektrycznej : Eαβ = Cαρβγτρτγ i magnetycznej : Bαβ = C*αρβγ τρτγ tensora Weyla we

współrzędnych ( r^, θ, φ) otrzymujemy wyraŜenia : E11 = r0 / r^ ( 1 – ¼ r0 r^ ) ; Bij = 0 E22 = E33 / sin2θ = - ( ½ r0 ) r^ ( 1 – ¼ r0 r^ )

Stąd widać, Ŝe w pobliŜu przestrzennej nieskończoności składowa E11jest rozbieŜna tak jak 1/r^. MoŜna to interpretować jako pojawienie się masy efektywnej w nieskończoności ( zobacz równieŜ analogiczny przykład z elektrodynamiki wprowadzony w paragrafie 7.3). NaleŜy jednak zauwaŜyć, Ŝe Eαβ i Bαβ odnoszą się do fizycznej rozmaitości ℵ1= ℵ × T, a poniewaŜ tensor Weyla nie jest konforemnie inwariantny względem przekształceń konforemnych 3-wymiarowej metryki, to :

Eαβ ≠ E^αβ i Bαβ ≠ B^αβ

Aby znaleźć E^αβ i B^αβ rozpatrzymy nie fizyczną 4-wymiarową rozmaitość ℵ^1= ℵ^ × T. W tym przypadku interwał zapiszemy następująco :

ds^2 = ( 1 – ½ r^ r0 )2 dt2 - dL2 gdzie : dL2 = dx^2 + dy^2 + dz^2

Dla wygody wprowadziliśmy tu współrzędne kartezjańskie ( x^, y^, z^ ).

Dokonajmy 3+1-rozczepienia rozmaitości ℵ^1 za pomocą cięcia t = const. PoniewaŜ 3-wymiarowa przestrzeń jest płaska i metryka nie zaleŜy od czasu, zewnętrzna krzywizna oraz tensor 3-wymiarowej krzywizny jest równy zeru. Zatem, wykorzystując wzory wiąŜące krzywizny 4-wymiarową i 3-wymiarową ( paragraf 1.6 ), otrzymujemy :

R^ijkL = 0 , R^αijβ τα τδ = N, i, j / N R^ij = N, i, j / N , R^ = - 2 ∆N/N

Gdzie : N = 1 – ½ r^ r0 , ∆ - laplasjan

Stąd dla elektrycznej części tensora Weyla znajdujemy ( magnetyczna część tensora Weyla jest równa zeru ) : E^ij = (1/2N) ( 1/3 δij ∆N – N, ij )

lub, uwzględniając jawną zaleŜność N od współrzędnych : E^ij = ( r0 / 12r^N) ( δij – 3 n^i n^j ) , n^j = x^i / r^

Wida zatem ,Ŝe wielkość E^ij jest rozbieŜna w pobliŜu początku układu współrzędnych jak 1/r^.

Granica iloczynu r^E^ij istnieje w początku układu współrzędnych, ale zaleŜy od kierunku z którego dąŜymy do punktu r^ = 0. Związane jest to z tym ,Ŝe przy konforemnej kompaktyfikacji w miejsce naturalnego 2-wymiarowego brzegu pojawia się 0-wymiarowy brzeg ( przy kompaktyfikacji przeszliśmy od rozmaitości fizycznej do rozmaitości nie fizycznej

ℵ^ z załamaniem, skąd właśnie wynikają wszystkie problemy związane z naruszeniem gładkości rozmaitości ).

Przeprowadzona analiza asymptotycznej struktury rozwiązania Schwarzschilda podpowiada nam w jaki sposób dokona uogólnienia pojęcia asymptotycznie płaskiej w nieskończoności przestrzennej, 3-wymiarowej przestrzeni na dowolny przypadek.

Definicja ( [22, 146 str. 37 ] ). Trójwymiarowa rozmaitość (ℵ, b, χ ) jest „asymptotycznie płaska w przestrzennej nieskończoności” , jeśli istnieje nie fizyczna rozmaitość ℵ^ o metryce b^ wszędzie gładką, za wyjątkiem punktu I0, pole skalarne Ω wszędzie gładkie oraz klasy C2 w I0, oraz dyfeomorfizm φ : ℵ → ℵ^ - I0, spełniający następujące warunki : 1) b^αβ = - Ω2 bαβ

2) w punkcie I0 Ω = 0 , 3∇^α Ω = 0 , 3∇^α 3∇^β Ω = 2b^αβ 3) iloczyn Ωχµν jest ograniczony w pobliŜu I0

4) elektryczna Eαβ i magnetyczna Bαβ część tensora Weyla są takie, Ŝe Ω1/2Eαβ i Ω1/2Bαβ mają pewien obszar regularnej zaleŜności od kierunku w punkcie I0.

Symbolem 3∇^ - oznaczyliśmy pochodną kowariantną względem 3-wymiarowej metryki rozmaitości ℵ^, indeksy greckie jak zwykle przyjmują wartości 0, 1, 2, 3. Pod sformułowaniem „obszar regularnej zaleŜności od kierunku”

rozumiemy co następuje.

Pole tensorowe T dopuszcza w punkcie I0 obszar zaleŜności od kierunku, jeśli istnieje on dla dowolnej krzywej ( klasy C2 ), wychodzący z I0 i zaleŜny tylko od wektora stycznego do tej krzywej. Regularność oznacza, Ŝe pole tensorowe otrzymane poprzez przejście graniczne, w sposób gładki zaleŜy od zmiennych kątowych.

Do definicji struktury asymptotycznej 3-wymiarowej przestrzeni naleŜy koniecznie dodać równieŜ wymóg zachowania jej struktury względem ewolucji 3-geometrii, określonej przez równania Einsteina. To oznacza, Ŝe musimy narzuci pewne ograniczenia na funkcję tempa N, wiąŜące się z tym ,Ŝe przestrzeń asymptotyczna pozostaje bliska w swoich własnościach do przestrzeni płaskiej.

Geometria nieskończoności [22]. Rozpatrzmy w przestrzeni stycznej w punkcie I0 zbiór wektorów jednostkowych.

Na mocy dodatniej określoności metryki końce tych wektorów leŜą na sferze jednostkowej. Wszystkie obiekty

geometryczne indukowane na ℵ^ zrzutujemy na kierunki normalny i styczny ku krzywym, uchodzącym ku punktowi I0.

Operator rzutowania na ortogonalną 2-wymiarową przestrzeń określimy następująco : γαβ = pαβ - Lα Lβ , gdzie : L – wektor jednostkowy, stycznej do odpowiedniej krzywej.

W ten sposób dokonaliśmy 2+1+1-rozczepienia rozmaitości nie fizycznej ℵ^1 = ℵ^ × T.

Teraz moŜemy naszkicować ogólny schemat badania struktury asymptotycznej przestrzennej nieskończoności w podejściu 3+1. „PrzybliŜenie” do nieskończoności następuje etapami. Na początku dokonujemy 3+1-rozczepienia czasoprzestrzeni. Następnie za pomocą odwzorowanie w ℵ^ dokonujemy dalszego 2+1+1-rozczepienia ℵ^ , określając geometryczne ( fizyczne) pola w I0 przez przejście graniczne. Przy tej operacji waŜne jest uwzględnienie w charakterze czynnika wagowego Ωn, gdzie wykładnik n określamy z reprezentacji istniejącego i zaleŜnego od kierunku obszaru w punkcie I0.

Za pomocą takiego przejścia granicznego faktycznie dokonujemy rzutowania wszystkich obiektów na sferę jednostkową S2. Procedura ta znana jest w matematyce pod nazwą „rozdymanie osobliwości”. W naszym przypadku rozdymanie osobliwości w punkcie I0 właściwie dokonuje się przez przejście do sferycznego układu współrzędnych i pozwala badać zaleŜność kątową róŜnych pól w pobliŜu I0.

I w ten sposób dla danego cięcia ℵ struktura asymptotyczna przestrzennej nieskończoności moŜe być zbadana zgodnie z powyŜej wprowadzonym schematem. Jeśli jednak mamy inne 3+1-rozczepienie czasoprzestrzeni ℵ^1 = ℵ^ × T to, w jaki sposób zaleŜne są między nimi ich struktury asymptotyczne ?

Okazuje się ,Ŝe róŜne cięcia 3-wymiarowej jednostkowej hiperbolidy Ħ ( rys. 7.15) określają struktury asymptotyczne, odpowiadające asymptotycznie róŜnym 3+1-rozczepieniom czasoprzestrzeni [22]. Hiperbolida Ħ jest, zatem analogiczna do ℑ - izotropowej nieskończoności.

Rys. 7.15 Określenie struktury asymptotycznej przestrzennej nieskończoności przez cięcia 3-wymiarowej hiperbolidy Ħ.

Istotnym brakiem omówionego powyŜej podejścia do badania struktury asymptotycznej nieskończoności jest nieinwariantność tensora Weyla względem renormalizacji 3-wymiarowej metryki, prowadzacą w szczególności do znacznego utrudnienia analizy. Porócz tego jak stanie się jasne w paragrafie 7.6 w odpowiedniej grupie asymptotycznych symetrii brakuje grupy translacji, co prowadzi do niemoŜliwości poprawnego określenia momentu pędu.

Podejście Ashtekar’a-Hansen’a [ 7 , 146 str. 37 ]. Podejście Ashtekar’a-Hansen’a stanowi rozwinięcie idei Gerocha w badaniu przestrzennej nieskończoności, jednak teraz nie wymagamy 3+1-rozbicia czasoprzestrzeni, poniewaŜ od samego początku podejście to jest 4-wymiarowe.

Definicja. Czasoprzestrzeń (ℵ, g ) nazywamy „asymptotycznie płaską w przestrzennej nieskończoności” , jeśli istnieje para (ℵ^, g^ ) oraz funkcja Ω, wszędzie gładka za wyjątkiem punktu I0, w którym :

1) ℵ^ - jest klasy C>1, g^µν – jest klasy C>0 i Ω - jest klasy C2, przy czym wszystkie te wielkości są klasy C∞ na ℵ^ - I0.

2) g^µν = Ω2 gµν

3) W punkcie I0 Ω = 0 , ∇^µ Ω = 0 , ∇^µ ∇^ν Ω = -2g^µν ( porównaj z definicją Gerocha ).

Symbol C>n oznacza, Ŝe struktura róŜniczkowa wskazanego obiektu jest taka, Ŝe jego pochodne rzędu n+1 mają obszar w punkcie I0, zaleŜny od kierunku.

Podobnie jak wcześniej, oznaczymy przez Ħ hiperbolidę, utworzoną przez przestrzenne wektory jednostkowe w punkcie I0. Wtedy obszar regularny, zaleŜny od kierunku w punkcie I0 moŜna rozpatrywać jako gładkie odwzorowanie tensorów, określonych na Ħ, w tensory określone w punkcie I0. Na Ħ określona jest pochodna kowariantna 3∇^ , zgodna z metryką naturalną hiperbolidy :

hµν = Lµ Lν + gµν

Struktura pola grawitacyjnego w przestrzennej nieskończoności określona jest przez „pseudoelektryczną” i

„pesudomagnetyczną” składową tensora Weyla :

Єαβ = Cαρβγ Lρ Lγ (7.17)

Ŋαβ = Cα*ρβγ Lρ Lγ (7.18)

Aby podkreśli róŜnicę tej definicji od elektrycznej i magnetycznej części tensora Weyla, wprowadziliśmy dopisek

„pseudo” ( Składowe – elektryczna i magnetyczna, tensora Weyla określone są przez zawęŜenie z jednostkowym wektorem czasopodobnym , a nie z przestrzennopodobnym ). Tensory Єαβ , Ŋαβ są ortogonalne do jednostkowego wektora normalnego ku hiperbolidzie Ħ. Za pomocą przejścia granicznego :

Є^αβ = lim Ω1/2 Єαβ (7.19)

→ I0

Ŋ^αβ = lim Ω1/2 Ŋαβ (7.20)

→ I0

tensorom tym moŜemy przyporządkować gładkie pole tensorowe ( Є^ , Ŋ^ ) określające asymptotycznie „pole grawitacyjne” na Ħ . Tensory ( Є^ , Ŋ^ ) są tensorami symetrycznymi, bezśladowymi i spełniają na Ħ równania róŜniczkowe postaci :

∇ ~[ α Є^ β ]δ = 0 , ∇ ~[ α Ŋ^ β]δ = 0

Skąd, wykorzystując symetryczność i bezśladowość otrzymujemy : ∇ ~α Є^αβ

= 0 , ∇ ~α Ŋ^αβ = 0.

Z definicji tensory Є^αβ i Ŋ^αβ wynika, Ŝe w pobliŜu I0 zachowują się one jak 1/r3.

Jak pokaŜemy w paragrafie 7.7 tensor Є^αβ określa całkowy 4-pęd układu wyspowego , a (1/r)4- część tensora Ŋ^αβ pozwala znaleźć całkowity moment pędu. ( definicję ∇ ~ podamy później )