Układ odniesienia jedynego obserwatora

Na początku paragrafu 1.7 omawialiśmy podstawowe wiadomości dotyczące układów odniesienia, podkreślając, Ŝe dla ich opisu wymagane jest zadanie czasopodobnej kongruencji linii świata. JednakŜe w istocie pomiary fizyczne i rejestracja sygnałów z otaczającego świata prowadzone w obszarze naszej planety, w szczególności pomiary astrofizyczne i kosmologiczne określane są z uŜyciem jednej linii świata obserwatora i z uwzględnieniem połoŜenia i prędkości chwilowej źródeł tych informacji. Wyniki tak uzyskiwane powinny pozostawać inwariantne względem przejść między wszelkimi układami odniesienia, zawierającymi linię świata obserwatora – jako jedną z linii kongruencji ciała odniesienia. Nadto, szereg charakterystyk oddalonych obiektów ( energia, pęd, moment pędu ) przybiera jasną intuicyjnie postać jeśli dokona pewnego naturalnego wyboru globalnego układu odniesienia.

Na konkretny sposób określenia takiego układu odniesienia naprowadza nas sama konkretna procedura obserwacyjna.

WzdłuŜ linii świata razem z obserwatorem przenosi się równieŜ jego lokalna baza ( niech będzie to przeniesienie Fermiego-Walkera, chociaŜ dopuszczalne jest równieŜ dołączenie obrotu np. w przypadku uwzględnienia ruchu obrotowego Ziemi ). W przypadku obserwacji astronomicznych informacje nadchodzą zgodnie ze struktura stoŜka

świetlnego przeszłości ( względem geodezyjnych izotropowych ), rejestrując te informacje obserwator jak gdyby rozszerza swoją bazę względem tych geodezyjnych. Matematycznie dogodnie jest w tej sytuacji wykorzystać przeniesienie równoległe bazy o linii świata obserwatora względem geodezyjnych izotropowych w przyszłości.

Takie rozszerzenie moŜemy wykonać jednoznacznie do miejsca w którym ewentualnie takie geodezyjne nie zaczynają się przecinać. Otrzymana rurka linii światowych, w której zbudowany jest układ odniesienia , jest wystarczająco obszerna zwłaszcza jeśli przypomnieć, Ŝe efekt ogniskowania grawitacyjnego ( który właśnie odpowiada za przecinanie się geodezyjnych zerowych ) został zauwaŜony dopiero niedawno. Zbudowany w ten sposób układ odniesienia moŜna sprowadzi do jednej kongruencji ( wtedy nie będzie nas interesowało, nawet przeniesienie Fermiego-Walkera ) lub moŜe zawierać informacje o całej tetradzie. To ostatnie jest wymagane w tym przypadku, jeśli wymagamy wskazania

generatorów translacji i obrotów przestrzennych z punktu widzenia obserwatora centralnego. Ten układ odniesienia nazywamy „układem odniesienia jedynego obserwatora” [ 86, 80, 78].

W rozpatrywanym powyŜej przypadku chodzi nam o „optycznego jedynego obserwatora” ( zobacz równieŜ współrzędne optyczne u Synge’a [123] ), jednak od centralnej linii świata moŜna odchodzić równieŜ po geodezyjnych

przestrzennopodobnych, co daje „jedynego Fermi-obserwatora” ( współrzędne Fermiego w [123] ). Ostatni przypadek prowadzi do pewnych ograniczeń, poniewaŜ geodezyjne przestrzennopodobne ułoŜone w sposób normalny do linii światowych nieuchronnie przecinają się w świecie Minkowskiego, jeśli ta linia opisuje ruch przyspieszony. Ma jednak sens postawienie pytania dotyczącego wprowadzenia pewnego uzgodnienia pozwalającego uniknąć niejednoznaczności w przypadku takich przecięć. Oprócz tego naleŜałoby uwzględnić, pojawiające się horyzonty Rindlera dla

przyspieszonych obserwatorów. Postawione zagadnienie związane z Fermi-obserwatorem jest bardzo bliskie zagadnieniu dotyczącego przestrzennych translacji i kartezjańskich układach współrzędnych ( kartezjańskie cechowanie tetrad ).

MoŜna myśleć, Ŝe pojawienie się horyzontów i nieobserwowanych obszarów jest czymś bardziej istotnym niŜ pokrywanie się przestrzennopodobnych geodezyjnych ( chociaŜ jest to ze sobą związane ).

Zatem , układ odniesienia jedynego obserwatora w pewnej rurce zawierającej jego linie świata γ, określany jest

rozszerzenie bazy eα , zadanej na linii świata γ, według pewnego prawa. Najbardziej znane i dobrze opracowane są dwie koncepcje :

1) Układ odniesienia Fermiego. W tym przypadku globalny układ odniesienia określony jest za pomocą przeniesienia równoległego względem przestrzennopodobnych, ortogonalnych do γ.

2) Układ odniesienia optycznego obserwatora. Baza rozszerza się względem geodezyjnych izotropowych ( względem stoŜka świetlnego przyszłości lub przeszłości )

W definicji układu odniesienia jedynego obserwatora waŜną rolę odgrywają takie matematyczne konstrukcje jak odwzorowanie wykładnicze oraz pola Jakobiego.

Odwzorowania wykładnicze [74]. Niech dana będzie geodezyjna γ(t) : [ 0, 1] → ℵ1 o warunkach początkowych γ(0) = q , dγ(0)/dt = v. Punkt γ(1) ∈ℵ1 oznaczymy jako expq(v) nazywamy eksponentą wektora stycznego. Wszystkie geodezyjne moŜna przedstawić w postaci γ(t) = expq(v). Odwzorowanie wykładnicze jest funkcją dwupunktową i jest określone w dostatecznie małym obszarze punktu q. Pod pojęciem „dostatecznie mały” rozumiemy, Ŝe punkt q moŜe być połączony z dowolnym punktem p, naleŜącym do pewnego otoczenia geodezyjnej. Zatem, expq(v) działa według schematu :

Tq(ℵ1) →ℵ1 : ( q , v) → expq(v)

Dalej, waŜną rolę będzie odgrywała ta własność, Ŝe wszystkie geodezyjne wychodzące z q, są ortogonalne do trajektorii leŜących na hiperpowierzchni ( expq(v) : g( v, v) = const. ). Jeśli zadać dwuparametryczną rodzinę krzywych

f(s, t) = expq( sv(t) ), określającą pewną 2-wymiarową powierzchnie, to ostatnie stwierdzenie moŜna przepisać w postaci g( ∂f/∂s , ∂f/∂t ) = 0

W pewnym obszarze punktu q odwzorowanie wykładnicze jest dyfeomorfizmem. Obszar ten nazywamy „obszarem normalnym punktu q” Niech eα – będzie bazą w Tq(ℵ1) oraz p = expq(xα eα ), wtedy funkcje xα nazywamy

„współrzędnymi normalnymi punktu p”.

Pola Jakobiego [74]. Pola Jakobiego związane są z dewiacją geodezyjną i są określane jako rozwiązanie równania róŜniczkowego dewiacji geodezyjnej ( zobacz równieŜ paragraf 1.5 ) :

∇u ∇u η + R(η, u) u = 0

Intuicyjnie, pole wektorowe η moŜna przedstawić jako pole wektorów łączących nieskończenie bliskie geodezyjne γ(t) = f( s0, t ) naleŜące do dwuparametrycznej rodziny krzywych f(s, t). Jeden z moŜliwych sposobów otrzymania pól Jakobiego polega na przemieszczeniu geodezyjnych. PoniewaŜ równanie dewiacji geodezyjnej jest równaniem drugiego rzędu, to wzdłuŜ kaŜdej geodezyjnej istnieje 2n niezaleŜnych pól Jakobiego o warunkach początkowych :

η | q i ∂η/∂t | q. Warunki te moŜna rozbić na dwie klasy : a) η | q = 0 , ∂η/∂t | q ≠ 0

b) η | q ≠ 0 , ∂η/∂t | q = 0

(rys. 5.1 ). W paragrafie 5.3 pokazano, Ŝe pola Jakobiego o warunku początkowym 1) w sposób naturalny określają obroty, a pola o warunkach początkowych 2) – obroty w zakrzywionej czasoprzestrzeni.

Rys. 5.1 Dewiacja geodezyjnych, określona polami Jakobiego o róŜnych warunkach początkowych.

Normalny układ odniesienia Fermiego. MoŜliwość zbudowania współrzędnych normalnych Fermiego, uogólniających normalne współrzędne riemannowskie [106, 164], związana z twierdzeniem Fermiego [141], istota którego polega na tym, Ŝe na rozmaitości riemannowskiej dla dowolnie zadanej krzywej γ moŜna wprowadzić współrzędne w pewnej rurce, zawierającej γ, w ten sposób aby : gµν | γ = ηµν a symbole Christoffela zerują się : Γλ

µν | γ = 0.

Opisanie normalnych współrzędnych Fermiego, ale tylko dla ruchu obserwatora geodezyjnego, po raz pierwszy zostało wprowadzone w [69].

Niech γ(τ) – będzie dowolną czasopodobną krzywą , moŜna ją utoŜsamić z linią świata pewnego obserwatora. Będziemy zakładać, Ŝe krzywa parametryzowna jest czasem własnym tego obserwatora. Przeniesienie ortonormalnej bazy,

określającej własny układ odniesienia tego obserwatora, wzdłuŜ γ dokonuje się zgodnie ze wzorem :

∇τ eα = Ω • eα ≡ Ω ( , eα ) gdzie :

Ωµν _{= G}µ τν - ^Gν τµ + τγ ωδ Eγδµν

τ ≡ e0 – 4-prędkość obserwatora, G - 4-przyspieszenie, ω – prędkość kątowa obrotu bazy, względem bazy przenoszonej według Fermiego-Walkera. Dla dowolnego punktu P istnieje jedyna przestrzenna geodezyjna ortogonalna do γ łącząca ją z pewnym punktem P0 leŜącym na γ. Wykorzystując odwzorowanie wykładnicze, zapiszemy geodezyjną P0P :

P = expγ(τ)( λξ) , gdzie ξ = ∂/∂λ = ξi ei , gdzie : λ – parametr kanoniczny.

Normalne współrzędne Fermiego Xα określamy zgodnie z zasadą :

X0 = τ ; Xi = λξi (5.1)

Gdzie : λξ = exp-1γ(τ)(P) , g( ξ ,ξ ) = -1.

Jak łatwo zauwaŜyć, na γ(τ) baza eα pokrywa się z bazą naturalną tj. eα = ∂/∂Xα.

Współrzędne normalne Fermiego stanowią naturalne uogólnienie lorentzowskiego układu odniesienia w STW dla przypadku zakrzywionej czasoprzestrzeni. Wymiary rurki światowej, w której tak określone współrzędne są regularne znajdujemy z warunków [90] :

λ << min { 1/ |G| , 1/ |ω| , 1/ | Ro αβγδ |1/2 , | Ro µνλρ | / | Ro µνλρ ; σ | } (5.2) Warunek λ << 1/ | G | określa obszar, w którym geodezyjne wypuszczone z γ(τ) w róŜnych chwilach czasu nie przecinają się. W obszarze λ << 1/ | ω| liniowa prędkość punktów na geodezyjnych radialnych nie przewyŜsza prędkości światła. W obszarze λ << | Ro |1/2 geodezyjne radialne nie przecinają się. Ostatni z warunków (5.2) określa obszar wewnątrz którego tensor krzywizny nie zmienia się w sposób istotny. Związany jest on z ograniczeniem nakładanym na rząd rozkładu tensora metrycznego w normalnych współrzędnych Fermiego.

Z definicji (5.1) wynika, Ŝe wewnątrz rurki świata spełniona jest zaleŜność : Γα

pL Xp XL przy czym na linii świata obserwatora : Γo α

βγ = δ0 βΩα

γ

Dla tensora metrycznego we współrzędnych normalnych Fermiego słuszne jest następujące rozłoŜenie [84] : gµν = ηµν + 2δ (µ Ων) p Xp + δo (µ Ro ν) pL0 Xp XL + δ0µ δ0ν Ωα

Ruch cząstek. Ruch cząstki swobodnej we własnym układzie odniesienia obserwatora Fermiego badano w [90]. W tej pracy otrzymano równania ruchu z dokładnością do nieskończenie małych pierwszego rzędu oraz przeanalizowano fizyczny sens róŜnych składowych, wchodzących do tych równań ruchu. Równanie geodezyjnej po uwzględnieniu zmiany róŜniczkowania względem czasu własnego cząstki na róŜniczkowanie względem czasu współrzędnościowego x0 ma postać :

+ [ ω × ( ω × X ) ]i – ( u × X )i - Ro 0i0L XL - 2Ro ijL0 XL vi + 2/3 Ro

ijkL XL vi vk + 2Ro 0j0L XL vi vj +

+ 2/3 Ro 0jkL XL vi vj vk + O( X2 ) (5.6)

gdzie : b := (dG/dτ ) + ω × G ; u := dω/dτ ; v -prędkość cząstki względem chwilowo współporuszającego się IUO.

RóŜne wyraŜenia wchodzące do tego przydługiego wzoru są interpretowane następująco [90] : Efekt WyraŜenie w (5.6) 1) zwykłe siły inercji - Gi 2) doplerowska poprawka do 1) - (G▲X ) vi 3) relatywistyczna poprawka STW 2 ( G▲v ) vi

4) poprawka do 3) uwzględniająca przesunięcie ku czerwieni 2 ( G▲v ) ( G▲X ) vi 5) pochodna względem τ od poprawki 3) do przyspieszenia ( b▲X ) vi

6) przyspieszenie Coriolisa -2( ω × v )i 7) poprawka do 6) uwzględniająca przesunięcie ku czerwieni -2( G▲X ) ( ω × v )i 8) przyspieszenie dośrodkowe [ ω × ( ω × X ) ]i 9) przyspieszenie uwzględniające zaleŜność prędkości ( u × X )i

kątowej od τ

10) efekty grawitacyjne „elektrycznego” typu Ro 0i0L XL 11) poprawki STW do 10) 2Ro

0j0L XL vi vj 12) grawitacyjne efekty „magnetycznego” typu - 2Ro ijL0 XL vj 13) poprawki STW do 12) 2/3 Ro

0jkL XL vi vj vk 14) efekty grawitacyjne „dwumagnetycznego” typu 2/3 Ro ijkL XL vj vk

Okazuje się , Ŝe związek między tensorem krzywizny i siłami inercjalnymi pojawia się tylko w trzecim rzędzie rozkładu.

Z analizą układu odniesienia jedynego obserwatora w której korzysta się z metod współczesnej geometrii róŜniczkowej moŜna zapoznać się np. w [138, 139].