(* Wiele materiału zawartego w niniejszym rozdziale, w ściślejszej formie wyłoŜone jest w ksiąŜce
7.6 Grupy asymptotycznej symetrii
Przy badaniu problemu energii-pędu w OTW pojawiły się trudności związane z niewystępowaniem grupy Poincare’go tj.
grupy dzięki której w STW udaje się sformułowa prawa zachowania energii, pędu i momentu pędu. W przypadku układów wyspowych udaje się uogólnić grupę Poincare’go i wydzielić ją w sposób ścisły z pełnej grupy symetrii asymptotycznych. JednakŜe sytuacja nie jest tak prosta jak mogłoby się wydawać na pierwszy ogląd.
Jak juŜ zauwaŜyliśmy w paragrafie 7.3, grupa asymptotycznych symetrii powinna być zbudowana w taki sposób, aby zachowywać strukturę asymptotyczną czasoprzestrzeni. Zatem, z nieskończonej grupy przekształceń współrzędnych G∞4 powinniśmy wydzieli podgrupę G o takich własnościach. Niestety okazuje się, Ŝe grupa G jest „za duŜa” – jest nieskończenie parametryczna. Skąd wynika jeszcze jeden problem : wydzielenie skończenie parametrycznej grupy, którą moŜna byłoby związać z grupą Poincare’go.
Z G wydzielimy przekształcenia toŜsamościowe w nieskończoności. Są to przekształcenia typu cechowania,
asymptotycznie niezmieniające zmienne polowe, stanowią one podgrupę normalną G0 ⊂ G [11]. W istocie – jeśli g ∈ G, g0 ∈G0 i {A} – jest zbiorem zmiennych opisujących pola fizyczne, to g0 A = A.
Niech g’0 = g g0g -1, wtedy : g’0A = g g0g –1A = gg –1A = A
Na mocy dowolności zmiennej A wynika stąd, Ŝe g g0g -1 ∈G0 lub g G0g -1 = G0 ale to oznacza, Ŝe G0 jest inwariantną grupą w G ( dzielnikiem normalnym ).
Jeśli grupa ilorazowa F = G/G0 jest izomorficzna do grupy Poincare’go F ≈ P to tym samym zadanie wydzielenia podgrupy Poincare’go z grupy ogólnej , symetrii asymptotycznych G jest rozwiązane. Teraz moŜna sformułowa problem w sposób globalny.
Problem. Dana jest grupa G. Musimy znaleźć taką inwariantną podgrupę G0, aby grupa ilorazowa G/G0 pokrywała się ( była izomorficzna) z grupą Poincare’go.
Jeśli taka podgrupa nie istnieje, to niemoŜliwe jest wydzielenie zmiennych inwariantnych względem cechowania tj.
obserwowalnych. Wynika to z tego faktu, Ŝe przekształcenia cechowania grupy G0 odpowiadają przekształceniom współrzędnych nie zmieniających układu odniesienia. Naturalnym jest zakładać, Ŝe grupa przekształceń od jednego układu odniesienia do innego powinna być izomorficzna z grupą Poincare’go. I tak, jeśli z ogólnej grupy przekształceń współrzędnych nie uda się wydzielić takiej grupy, to problem wielkości obserwowanych pozostanie nierozwiązany.
Prostsza analiza struktury grupy asymptotycznych symetrii, dla tych przypadków kiedy moŜna wprowadzi pojęcie asymptotycznie kartezjańskich współrzędnych pokazana jest w paragrafie 7.1. W tym przypadku struktura grupy G jest wystarczająco prosta i dostatecznie przeanalizowana w [13, 137].
Grupa Bondiego-Metznera-Sachs’a (BMS)[ 14, 122, 101] Jest to naturalna grupa symetrii asymptotycznych, zachowująca strukturę izotropowej nieskończoności. Po raz pierwszy pojawiła się ona jako grupa przekształceń współrzędnych, pozostawiająca niezmienny na izotropowej nieskończoności wydzielony układ współrzędnych – współrzędnych Bondiego.
Rozpatrzmy grupę BMS w przestrzeni Minkowskiego. We współrzędnych ( u, r, θ, φ ), gdzie : u = t – r – czas retradowany ; ( r, θ, φ) – zwykłe współrzędne sferyczne, wyraŜenie dla interwału ma postać :
ds2 = du2 + 2du dr - r2dσ2
Po dokonaniu przekształcenia konforemnego o Ω = r -1 = r^ interwał przepiszemy następująco : ds^2 = Ω2ds2 = r^2du2 + 2du dr^ - dσ2
Stąd na dowolnej hiperpowierzchni r^ = const. znajdujemy : ds^2 = r^2du2 - dσ2
Teraz moŜemy określić metrykę na ℑ+ ( r^ = 0 ) :
dL2 = -ds^2 = 0 du2 + dσ2 = 0 du2 + 2dζdζ- / ( 1 + ζζ- )2 (7.28)
[ porównaj z (7.10) ]. ZauwaŜmy, Ŝe na mocy dowolności czynnika konforemnego Ω w mianowniku moŜe występować dowolna funkcja | P( u, ζ, ζ- )2 |.
Grupa przekształceń ℑ+ → ℑ+ ( nie włączamy do niej przekształceń t → - t, indukujących odwzorowanie ℑ+ → ℑ- ) składa się z przekształceń :
ζ→ζ (7.29)
u → f ( u, ζ, ζ- ) , ∂f/∂u > 0 (7.29)
przeprowadzających u-cięcia na ℑ+ , określone równaniem u= const. , w u-cięcia i przekształcenie :
ζ→ (αζ + β ) / ( γζ + δ ) ; αδ – γβ = 1 (7.30)
za pomocą którego dokonujemy przekształcenia konforemnego sfery S2 → S2 . Zatem, całkowita grupa przekształceń ℑ+ → ℑ+ tj. grupa zachowująca strukturę asymptotyczną izotropowej nieskończoności, składa się z przekształceń o postaci :
ζ→ (αζ + β ) / ( γζ + δ ) ; u → f ( u, ζ, ζ- ) (7.31) gdzie : f ( u, ζ, ζ- ) – dowolna funkcja.
Grupa ta została przeanalizowana przez Newmana i Unti’ego [93] i jest szersza niŜ grupa BMS.
Grupa BMS określona jest jako grupa przekształceń ℑ+ → ℑ+ zachowująca : a) kąty na sferze S2 określone przez (7.28)
b) kąty „izotropowe” du/dL
Przekształcenia (7.31) ogólnie mówiąc, nie zachowują kątów izotropowych. Z definicji grupy BMS wynika, Ŝe zawiera ona przekształcenia o postaci :
ζ → (αζ + β ) / ( γζ + δ ) (7.32)
u → K (u + a(ζ ,ζ- ) ) (7.33)
gdzie : K (ζ ,ζ- ) = ( 1 + ζζ- ) / ( |αζ + β |2 + |γζ + δ |2 ) a(ζ ,ζ- ) – jest dowolną funkcją na S2.
Niekiedy grupę BMS nazywamy „grupą, zachowującą silną geometrię konforemną”, mając na uwadze własności a), b).
Jak wynika z (7.33), grupa BMS – jest nieskończenie parametryczna i zawiera dowolną funkcję a(ζ ,ζ- ).
Nieskończenie parametryczna podgrupa :
ζ’ = ζ , u’ = u + a(ζ ,ζ- ) (7.34)
nazywa się „podgrupą supertranslacji” i zawiera w sobie 4-parametryczną podgrupę translacji :
a = ( A + Bζ + B-ζ- + Cζζ- ) / ( 1 + ζζ- ) (7.35)
przekształcenia ℑ+ → ℑ+ indukowane są przez translacje w przestrzeni Minkowskiego. Obie te grupy są inwariantnymi podgrupami grupy BMS. Grupa ilorazowa grupy BMS i podgrupy supertranslacji składa się z przekształceń
konforemnych sfery S2 → S2 i jest izomorficzna z ortochroniczną grupą Lorentza.
Struktura grupy BMS jest analogiczna do struktury grupy Poincare’go, są jednak istotne róŜnice.
W przypadku grupy Poincare’go grupa Lorentza określona jest jako grupa ilorazowa tej grupy i abelowej podgrupy translacji, w przypadku grupy BMS – jako grupa ilorazowa nieskonczeniewymiarowej podgrupy supersymetrii. Ostatnia własność jest dosyć istotna, poniewaŜ wiąŜe się z nią podstawowa trudność w zdefiniowaniu momentu pędu dla układów wyspowych. Dlatego teŜ przeanalizujemy ja teraz.
Na skutek tego, Ŝe grupa Lorentza „siedzi” w grupie BMS jako grupa ilorazowa , a grupa translacji – jako podgrupa, nie moŜna w sposób kanoniczny włoŜyć podgrupy Poincare’go w grupę BMS tj. istnieje nieskończona liczba wariantów grupy Poincare’go. Myśl tę moŜna wyrazić inaczej – grupa BMS jest iloczynem półprostym grupy Lorentza i grupy supertranslacji.
ChociaŜ nie moŜna w sposób jednoznaczny wydzieli z grupy BMS grupy Poincare’go, moŜna jednak dla przypadku przestrzeni Minkowskiego, wyjaśnić jaka dodatkowa strukturę na ℑ+ zachowuje ta grupa. Okazuje się ,Ŝe grupa Poincare’go przeprowadza tzw. „dobre cięcia” – cięcia o asymptotycznie równym zeru przesunięciem σ0 (u, ζ, ζ- ) – ponownie w dobre cięcia [92]. W przestrzeni Minkowskiego dobre cięcie izotropowej nieskończoności przyszłości określamy jako cięcie, dla którego geodezyjne izotropowe skierowane ku przyszłości ogniskują się w jednym punkcie ( rys. 7.17)
Rys. 7.17 Dobre (σ) i złe ( Σ ) cięcia powierzchni ℑ+.
Rozpatrzmy stoŜek o wierzchołku w początku układu współrzędnych u = 0 ( stoŜek przyszłości ). Jest jasne, Ŝe jest on inwariantny względem przekształceń z grupy Lorentza i kongruencja geodezyjnych izotropowych , obrazująca ten stoŜek posiada przesunięcie równe zeru. Dobrymi cięciami na ℑ+ nazywamy takie cięcia, które mogą być przeprowadzone za pomocą przekształceń z grupy BMS w cięcie u = 0. Pojęcie to pozwala po pierwsze uchroni nas od niejednoznaczności w określeniu grupy Lorentza ( jako grupy ilorazowej grupy BMS ), a po drugie pozwala wydzieli podgrupę naturalnie związaną z grupą Poincare’go i izomorficzną do niej.
JednakŜe w przypadku czasoprzestrzeni asymptotycznie płaskiej, róŜnej od przestrzeni Minkowskiego sytuacja bardziej się komplikuje. Przykładowo w przypadku obecności promieniowania w nieskończoności nie istnieją generatory ℑ+, przeprowadzające dobre cięcia w dobre cięcia. Oprócz tego, samo pojęcie dobrego ciecia traci sens. Jest to związane z tym ,Ŝe uchodzące ku nieskończoności promieniowanie jest określone w sposób asymptotyczny przez funkcję informacji ℜ Bondiego-Sachs’a [14, 122], ℜ = ∂σ0/ ∂u. Zatem, nawet jeśli mamy dobre cięcie na ℑ+, to w tym przypadku przejdzie ono w „złe”. W ogólnym przypadku sytuacja jeszcze bardziej się komplikuje, co wynika z tego, Ŝe moŜe w ogóle dobre cięcia mogą nie występować. W istocie bowiem wybór cięcia na ℑ+ określony jest przez jeden parametr u, podczas gdy przesunięcie σ0 jest wielkością zespoloną, odpowiednio zatem dla jej wyzerowania wymagamy dwóch parametrów rzeczywistych. Dla przestrzeni stacjonarnych jest to moŜliwe [92] i w tych przypadkach z grupy BMS w sposób kanoniczny moŜemy wydzielić podgrupę Poincare’go jako zbiór przekształceń dobrych cięć w dobre cięcia.
Pod działaniem supertranslacji ζ = ζ- , u’ = u + a (ζ ,ζ- ) σ0 przechodzi w asymptotyczne przesunięcie σ’0 związane z nowym cięciem u’= const. :
σ ‘0 =σ0 ( u, ζ ,ζ- ) - ∂2a (7.36)
gdzie :
∂2a := ( 1 + ζζ- ) ∂/∂ζ [ ( 1 + ζζ- ) ∂a/∂ζ ] (7.37) Rozwiązanie tego równania w przypadku σ ‘0 =σ0 = 0 dane jest wzorem (7.35) i określa czteroparametryczny zbiór powierzchni izotropowych o przesunięciu σ0 równym zeru. Przecięcie tych powierzchni z ℑ+ daje nam dobre cięcie.
Zbiór wszystkich dobrych cięć jest rozmaitością 4-wymiarową, którą nazywamy „Ħ-przestrzenią”
(* pojęcie Ħ-przestrzeni związane jest z angielskim odniesieniem do słówka „Heavens” – niebo. Było ono wprowadzone przez Newmana, zobacz [ 146, str. 1 ] *) – ściślej „stacjonarną Ħ-przestrzenią”.
Kiedy czasoprzestrzeń nie jest stacjonarna, dobrych cięć, ogólnie mówiąc moŜe nie być wcale. Newnan załoŜył dalsze uogólnienie stacjonarnych Ħ-przestrzeni, które polegało na tym ,Ŝe czas retradowany u jest opisywany przez zmienną zespoloną, a ζ i ζ- przyjmujemy jako niezaleŜne zmienne zespolone tj. nie są one sprzęŜone – tym samym dokonujemy analitycznego przedłuŜenia ℑ+ → ℑ+
C. Wszystko to odnosiło się do budowy grupy BMS pozostaje w mocy, a zmieniamy jedynie odpowiednie zmienne na zmienne zespolone. Zamiast (7.36) otrzymujemy analityczne przedłuŜenie tego równania i moŜna postawić zagadnienie jego rozwiązania z wartością σ’0 = 0. Rozwiązanie tego równania – jeśli ono istnieje – określa 4-wymiarową, zespoloną rozmaitość i opisuje ogólny przypadek Ħ-przestrzeni.
RozróŜniamy lewe Ħ-przestrzenie ( odpowiadające próŜniowym rozwiązaniom równań Einsteina z równą zeru autodualną częścią tensora Weyla ), oraz prawe Ħ-przestrzenie dla których równa zeru jest antydualna część tensora Weyla. Za pomocą Ħ-przestrzeni moŜliwe jest udane wydzielenie grupy Poincare’go ( ogólnie mówiąc zespolonej ) z uogólnionej grupy BMS.
Algebra grupy BMS. Tamburino i Winicour [131] pokazali, Ŝe generatory grupy BMS spełniają równania konforemne Killinga :
∇^( α ξ^β ) = λ g^αβ (7.38)
gdzie zakłada się , Ŝe wektor ξ^ jest styczny do ℑ+ .
W przypadku współrzędnych Bondiego o metryce g^αβ z wzoru (7.38), równanie to przepiszemy następująco :
∇^( i ξ^j ) = λ g^ij.
We współrzędnych (u, r, θ, φ ) jego ogólne rozwiązanie określone jest przez wektor :
ξ^ = ( a(xB ) + ½ ufB|| B , 0 , fA(xB ) ) (7.39)
przy czym :
fA||B = ½ fC|| C γAB
indeksy A, B = 2,3 odnoszą się do współrzędnych sferycznych, symbol || oznacza pochodną kowariantną względem 2-wymiarowej metryki γAB na sferze S2. W celu przeanalizowania struktury infinitezymalnej grupy BMS funkcje a(θ, φ) ze wzoru (7.33) rozkładamy na harmoniki sferyczne ( dla wygody zmienne ζ , ζ- zamieniamy na zmienne kątowe θ, φ ) : ∞ (L)
a =
ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ
ZLm YLm(θ, φ) , ZL-m = Z*Lm (7.40)(L =0 ) ( m = - L) Niech x’µ = xµ + ξµ
a θa - będą nieskończenie małymi przekształceniami, generowanymi przez pole wektorowe ξµ a , θa - niech będą parametrami grupy przekształceń. Wtedy generatory grupy przekształceń określone są wzorem :
ξa = ( ∂xµ /∂θa ) ∂/∂xµ (7.41)
Indeks a przyjmuje wartości 1,2 ... n , n- wymiar grupy.
Wykorzystując (7.41) określimy z wzorów (7.34), (7.40) generatory supertranslacji :
PLm = YLm(θ, φ) ∂/∂u (7.42)
PLm = P*L- m ; PLm = 0 , | m | > L (7.42)
Sześć generatorów określających infinitezymalne przekształcenia S2 → S2 odpowiadające infinitezymalnym obrotom na płaszczyźnie ( xµ , xν ) przestrzeni Minkowskiego jako Lµν = - Lνµ :
L12 = ∂/∂φ ; L03 = sinθ ∂/∂φ + ucosθ ∂/∂u
Generatory Lµν razem z PLm tworzą bazę algebry grupy BMS i spełniają następujące zaleŜności komutacyjne [122] :
[ Lµν , Lγδ ] = ηµδ Lνγ + ηνγ Lµδ - ηµγ Lνδ - ηνδ Lµγ (7.43)
[ Lµν , a(θ, φ) ∂/∂u ] = ( Lµν a – aW(Lµν ) ) ∂/∂u (7.43) Skąd :
[ LQ , LM ] = CNQM LN , [ LQ , PD ] = CEQD PE (7.44)
Funkcje W(L) określone są z równania :
∂(Lµν f )/ ∂u = Lµν (∂f/∂u) + W (∂f/∂u)
f(u) – dowolna funkcja, indeksy Q, M, N odnoszą się do generatorów obrotów , indeksy E, F, D – do generatorów supertranslacji.
Zgodnie z trzecim twierdzeniem Liego lokalnie z algebry grupy BMS moŜemy wydzielić grupę – dokładniej jej spójną składową, bowiem grupa BMS nie jest lokalnie spójna.
Spi-grupa [7] Spi-grupa pojawia się w podejściu Ashtekar’a i Hansen’a. Jej nazwa wywodzi się od nazwy angielskiej
„spatial infinity” – nieskończoność przestrzenna. Przypomnijmy, Ŝe w tym przypadku pola fizyczne w przestrzennej nieskończoności opisywane są przez rzuty na hiperbolidę Ħ w I0. Punkty hiperbolidy Ħ odpowiadają róŜnym kierunkom krzywych przestrzennych, uchodzących ku I0.
Niech D(ℵ) – będzie zbiorem dyfeomorfizmów, zachowujących strukturę asymptotyczną , a D(ℵ^) – jego
rozszerzeniem do grupy dyfeomorfizmów na ℵ^, wszędzie gładkich oraz klasy C>1 w I0. Niech G0 – będzie podgrupą przekształceń, toŜsamościowych w I0. W tym przypadku jest ona podgrupą normalną grupy D. Grupę ilorazową : G = D/G0 nazywamy „Spi-grupą”.
NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe grupa D zbudowana jest tak aby zachowana była nie tylko metryka na Ħ, ale równieŜ koneksja, w sposób naturalny określona przez metrykę hiperbolidy hµν .
Ściślej mówiąc Spi-grupa określona jest przez infinitezymalną grupę ( algebrę). Rozpatrzmy pole wektorowe ξ, spełniające następujące warunki :
1) pole wektorowe ξ dopuszcza rozszerzenie ξ^ na ℵ^ i ξ^ = ξ na ℵi jest klasy C>1 w I0.
2) ξ^ |I0 = 0 lim ∇^( µ ξ^ν ) = 0 i lim ∇^µ ∇^( ν ξ^ρ ) = - 2 lim ( ∇^µ ω^) g^νρ → I0 → I0 → I0
gdzie : ω^ - funkcja klasy C>0 i ω^ = 1 w I0.
Spi-grupa określona jest jako klasa równowaŜności pól wektorowych {ξ } ⊂ T(ℵ), spełniająca warunki 1), 2).
Dwa pola wektorowe : ξ1 i ξ2 są równowaŜne, jeśli : ξ1 = ξ2 + O(Ω) w pobliŜu I0.
Zatem, kaŜda infinitezymalna symetria scharakteryzowana parą ( ξ , lim ∇^µ ω^ ) , gdzie ξ - wektor Killinga na → I0
( Ħ , hµν ) a lim∇^µ ω^ określa „zaleŜny od kierunku” wektor.
Struktura Spi-grupy jest analogiczna do struktury grupy BMS. W niej równieŜ zawarta jest podgrupa supertranslacji, której generatory określone są z warunku 2) o funkcji ω^ spełniającej warunek :
lim ( ∇^µ ω^) = αηµ + ∇ ~µ α (7.45)
→ I0
gdzie : ∇ ~ - pochodna kowariantna na Ħ, określona przez metrykę hµν ; α – dowolna funkcja, zaleŜna od trzech parametrów określona na Ħ.
Podgrupa translacji wydzielona jest z pomocą funkcji α, spełniających warunek :
∇ ~( α ∇ ~β ) α = α hαβ (7.46)
lub, co jest równowaŜne, przez dowolną funkcję postaci : α = ζρ Lρ , gdzie ζ - pewien wektor w I0, L- wektor jednostkowy normalny do Ħ.
Grupa ilorazowa Spi-grupy i grupy supertranslacji jest izomorficzna do grupy Lorentza. JednakŜe istnieją zasadnicze róŜnice między grupami Spi- i BMS, polegające na tym ,Ŝe w Spi-grupie dowolna funkcja zaleŜna jest od trzech parametrów , a w grupie BMS – od dwóch.
PoniewaŜ w Spi-grupie istnieje podgrupa supertranslacji pojawia się pewna dowolność w wydzieleniu grupy Lorentza ( sytuacja jest analogiczna do jej wydzielenia z grupy BMS ). Pojawia się naturalne pytanie o redukcje grupy
supertranslacji i do grupy translacji. Okazuje się ,Ŝe jeśli tensor Weyla posiada zachowanie asymptotyczne :
ℜαβ := lim Ω1/2 C^α*γβδ ∇^γ Ω1/2 ∇^δ Ω1/2 (7.47)
→ I0
i wynikający z 1/r4 rząd magnetycznej części tensora Weyla dopuszczający obszar zaleŜności od kierunku :
β^αβ : = lim C^α*γβδ ∇^γ Ω1/2 ∇^δ Ω1/2 (7.48)
→ I0
to z Spi-grupy w sposób kanoniczny wydzielić moŜemy grupę Poincare’go. Warunek (7.47) pozwala wydzielić podgrupę translacji. Pole tensorowe βαβ zawiera informacje o (1/r4 )-części tensora Weyla, i z jego pomocą określić moŜemy moment pędu układu ( zobacz paragraf 7.7).
Badanie Spi-grupy nie jest jeszcze zakończone. Pojawia się szereg waŜnych zagadnień, odpowiedź na które by moŜe pozwoli wyjaśnić związek między ta grupą i innymi grupami asymptotycznych symetrii. Pośród takich zagadnień moŜna wyróŜnić następujące.
1) Czy zawsze rozmaitość ( ℵ, g), asymptotycznie płaska w sensie Ashtekar’a-Hansen’a dopuszcza dopełnienie konforemne, zapewniające asymptotyczne zachowanie tensora Weyla, określone przez (7.47), (7.48) ?
2) Jak zbudowana jest grupa asymptotycznych symetrii, jednocześnie zachowująca strukturę nieskończoności izotropowej i przestrzennej ? Czy moŜna z tej jednej grupy symetrii wydzielić „część cechującą” oraz „grupę Poincare'go” ?
Grupy asymptotycznych symetrii w innych podejściach. Grupa asymptotycznych symetrii w podejściu 3+1 do analizy nieskończoności przestrzennej ( wariant Gerocha , zobacz paragraf 7.4 ) jest izomorficzna do grupy Lorentza i nie zawiera w ogólne supertranslacji. Z punktu widzenia Spi-grupy jest to związane z tym , Ŝe zachowuje ona tylko metrykę na dwuwymiarowej sferze – cięciu jednostkowej hiperbolidy Ħ, ale nie koneksje. W wyniku czego nie moŜna określić momentu pędu.
Podejście Sommers’a [127]. Generatory infinitezymalnej grupy asymptotycznych symetrii określone są z asymptotycznych równań Killinga :
∇^( µ ξ^ρ ) = 0 (7.49)
oraz konforemnych równań Killinga :
∇^( µ ζν ) = 1/3 (∇^ρ ζρ
) hµν (7.50)
gdzie : ∇^ - pochodna kowariantna na brzegu ℘; hµν - metryka na jednostkowej czasopodobnej hiperbolidzie.
Równanie (7.49) daje nam sześć niezaleŜnych wektorów, określających moment pędu, równanie (7.50) – daje cztery niezaleŜne wektory prowadzące do określenia pędu układu. ZauwaŜmy, Ŝe chociaŜ zapis tych równań jest jawnie 4-wymiarowy, określone są one na 3-wymiarowej rozmaitości – brzegu czasoprzestrzeni. Na skutek jednoznacznego wyboru Σ-cięć grupa asymptotycznych symetrii Sommers’a jednoznacznie redukuje się do grupy Poincare’go i nie występuje Ŝadna dowolność taka jak w przypadku Spi-grupy, zawierającej supertranslacje. Składowe pseudoelektryczna i pseudomagnetyczna tensora Weyla są rozbieŜne na ℘, ale jeśli Σ-1 Єαβ i Σ-2 Ŋαβ dopuszczają gładkie obszary na ℘, to moŜna wtedy określić moment pędu jako całkę po brzegu ℘ o prawidłowych własnościach transformacyjnych.
Podejście Persides’a [105]. Grupa asymptotycznych symetrii określona jest jako grupa przekształceń jednostkowej hiperbolidy (χ, θ, φ) → ( χ’ , θ’ , φ’ ) zachowująca metrykę hiperbolidy i która w specjalnych współrzędnych posiada postać :
g^ij = diag ( 1 , - ch2χ , - ch2χ sin2θ ) (7.51)
Grupa ta jest grupą izometrii brzegu ℘ i moŜe być określona przez rozwiązanie równania Killinga na brzegu :
pβσ pαρ ∇ ~( α ξ^β ) = 0 ; Lµξ^µ = 0 (7.52)
gdzie : pασ – projektor na ℘ ; ∇ ~ - pochodna kowariantna względem metryki hiperbolidy jednostkowej.
Podobnie jak w podejściu Sommers’a tutaj grupa asymptotycznych symetrii jest izomorficzna do grupy Lorentza.