(* Wiele materiału zawartego w niniejszym rozdziale, w ściślejszej formie wyłoŜone jest w ksiąŜce
7.7 Całkowe prawa zachowania
Całkowe wielkości zachowane określone są przez całki względem 3-wymiarowego obszaru, które na mocy
dywergentnego charakteru ich wyraŜeń podcałkowych moŜna przekształcić w całki liniowe ( całkowanie względem brzegu obszaru ). W przypadku układów wyspowych całkowity 4-pęd układu jak równieŜ moment pędu określone są przez całkę względem brzegu, oddalonego do nieskończoności.
Rozpatrzmy teraz definicje całkowych wielkości zachowanych w róŜnych podejściach do analizy asymptotycznej struktury czasoprzestrzeni. Rozpoczniemy od podejścia Ashtekar’a-Hansen’a.
Podgrupa translacji z Spi-grupy wydzielona być moŜe za pomocą funkcji α, spełniającej na hiperbolidzie Ħ równanie :
∇ ~( µ ∇ ~ν ) = α hµν (7.53)
[ porównaj z (7.46)]. Skąd wynika, Ŝe ∇ ~ν α – jest wektorem konforemnym Killinga na ( Ħ, h). Zgodnie z [7] całkowity 4-pęd układu wyspowego jest równy :
Pα ζα
=
∫
Єαβ ζβ εαµν dsµν
(7.54)
S2
Gdzie : ζ - stały wektor, leŜący na przestrzeni stycznej do punktu I0 ; εαµν = Eβαµν Lβ – 3-wymiarowy tensor Leviego-Civity .
Na mocy tego, Ŝe pesudoelektryczna część tensora Weyla ma równy zeru ślad oraz ∇ ~α Єαβ = 0, 4-pęd układu jest zachowany w tym sensie, Ŝe całka (7.54) nie zaleŜy od wyboru cięcia S2.
Jaki jest związek między (7.54) i znanymi wielkościami zachowanymi typu Komara i 4-pędu ADM ?
Okazuje się ,Ŝe 4-pęd izolowanego układu (7.54) pokrywa się z 4-pędem ADM i dla stacjonarnej, asymptotycznie płaskiej czasoprzestrzeni, pustej na przestrzennej nieskończoności Pα = mξα , gdzie : ξ - wektor w I0, odpowiadający Spi-translacji , a m – jest masą określoną przez całkę Komara ( zobacz paragraf 3.4 ). Magnetyczny analog Pα nie istnieje, dlatego dla Ŋαβ całka typu (7.54) jest równa zeru.
Jeśli w definicja 4-pędu układu wyspowego jest określona w sposób jasny, to o definicji momentu pędu tego powiedzie nie moŜna. Pojęcie momentu pędu zaleŜne jest bowiem od „centrum” – punktu, względem którego jest on określony.
W STW prawo zmiany momentu pędu przy zmianie współrzędnych : x’µ = xµ + aµ ma postać :
M’αβ = Mαβ + P[ α a β ] (7.55)
Gdzie : a – jest wektorem translacji.
Zatem, aby otrzymać definicje momentu pędu o takich własnościach, koniecznym jest posiadanie 4-parametrycznej rodziny grup Lorentza, określonych wektorem a.
Spi-grupa zawiera jednak nieskończony zbiór grup Lorentza co jest wynikiem nieskończonego wymiaru grupy supertranslacji. Powracamy zatem znów do juŜ omówionego problemu wydzielenia grupy Poincare’go z Spi-grupy.
Informacja o momencie pędu zawarta jest w „części” tensora Weyla, znikającej w nieskończoności jak 1/ r4 .
PoniewaŜ pseudomagnetyczna część tensora Weyla Ŋαβ zachowuje się jak 1/r4 przy r →∞, to wynikający z ( 1/ r4 ) rząd tensora Weyla na Ħ określony jest następująco [ zobacz (7.47), (7.48) ] :
β^αβ = lim C^α*µβγ ∇^µ Ω1/2 ∇^γ Ω1/2 (7.56)
→ I0
Pole tensorowe β^αβ – jest polem zachowanym :
∇^α β^αβ = 0 (7.57)
i przekształca się względem Spi-translacji następująco : β^αβ → β^αβ + 2 εµν (α Єν
β ) ∇~µ α
Moment pędu M^ określony jest przez całkę :
M^αβ Fαβ =
∫
β^αβ θα εβγδ dsγδ (7.58)I przekształca się według prawa : M^αβ → M^αβ + P[ α ζβ ]
Fαβ – dowolny antysymetryczny tensor w I0 ; θ – pole wektorowe Killinga na ( Ħ, h) określone jako : θα = Eαβγδ Fβγ Lδ
ζ - wektor w I0 odpowiadający Spi-translacji α tj. α = ζβ Lρ.
Wektor momentu pędu S związany jest z M^αβ zaleŜnością :
Sα = Eαβγδ M^βγ ξδ (7.59)
Gdzie : ξα = ( Pµ Pµ )-1/2 Pα .
Zarówno Sα jak i M^αβ nie zaleŜą od wyboru cięcia S2.
Dla stacjonarnej, asymptotycznie pustej i płaskiej czasoprzestrzeni ( w przestrzennej nieskończoności ) , gdzie spełnione jest (7.57) mamy :
M^αβ Fαβ = IK
Gdzie: Fαβ = lim ∇^[ α ωβ ] , IK - jest wartością całki Komara, odpowiadającą wektorowi Killinga ω.
→ I0
W przypadku podejścia 3+1 do badania asymptotycznej struktury czasoprzestrzeni grupa asymptotycznych symetrii jest izomorficzna do grupy Lorentza i na skutek braku grupy supertranslacji niemoŜliwe jest określenie momentu pędu.
Co zaś tyczy 4-pędu układu to sprowadza się on do definicji ADM.
Przejdziemy teraz do całkowych wielkości zachowanych, budowanych przez grupę BMS. Jak wynika z paragrafu 7.6, podgrupę Poincare’go moŜemy wydzielić jednoznacznie z grupy BMS wtedy, kiedy istnieją dobre cięcia.
W tym przypadku 4-pęd Bondiego-Sachs’a określony jest jako [ 14, 103 ] ( oznaczenia – zobacz paragraf 1.8 ) :
Pα = - ¼ π
∫
ζα Ψ02 ds (7.60)Gdzie : ζ = ( 1, sinθ cosφ, sinθ sinφ, cosθ ) ; Ψ0
2 = lim r3 Ψ2 r →∞
W ogólnej sytuacji, kiedy nie występują dobre cięcia do (7.60) naleŜy dodać człony uwzględniające przesunięcie asymptotyczne i wtedy :
Pα = ¼ π
∫
ζα ( σ0 ∏ - Ψ02 ) ds (7.61) Całkowanie w powyŜszych wzorach prowadzimy względem cięć I+ , homeomorficznych do sfery.Funkcja ∏ nazywa się „funkcją Bondiego” i jest określona z równania :
∂σ0/∂u = -∏- (7.62) przy czym :
∂∏/∂u = Ψ0
4 (7.63) Ψ0
4 = lim r Ψ4 r →∞
Strata masy na promieniowanie określona jest wzorem [ 14, 122] :
dm/du = - ¼ π
∫
∏∏- ds < 0 (7.64)ZauwaŜmy, Ŝe wybór wektora ζ w (7.60) jest niejednoznaczny. Związany jest on z niejednoznacznością w wyborze funkcji K(θ, φ) [ zobacz (7.33) ], zaleŜnej od trzech niezaleŜnych parametrów. RóŜny wybór tej funkcji odpowiada róŜnemu wyborowi „asymptotycznej osi czasowej”. Trudności w określeniu momentu pędu przez grupę BMS zostały juŜ omówione w paragrafie 7.6 nie będziemy zatem do nich powracali.
Tamburino i Winicour [131]wprowadzili uogólnienie całki Komara, pozwalające określić moment pędu przez tzw. całki powiązania ( linkage ). Ich uogólnienie polega na tym co następuje :
1) Asymptotyczny wektor Killinga rozprzestrzenia się wewnątrz po izotropowej hiperpowierzchni Γ, przecinającej I+
zgodnie z cięciem Σ+ zgodnie z prawem :
[ ξ(α ; β) – ½ ξδ;δ gαβ ] kβ | Γ = 0 (7.65) gdzie : k- „izotropowy” generator na Γ.
Pozwala to określić pole wektorowe ξ na Γ przez wartości początkowe, zadane na Σ+ = Γ ∩ ℑ+ i przez ogólne rozwiązanie asymptotycznego konforemnego równania Killinga (7.38).
2) Zmodyfikowaną całkę Komara zapisujemy następująco :
Lξ ( Σ ) = -(1/16π)
∮
( ξ[α ; β] + ξδ;δ k[ α Lβ ] ) dsαβ (7.66)Gdzie : Σ - cięcie na Γ ; k[ α Lβ ] – biwektor normalny do Σ o normalizacji kα Lα = 1 ( zobacz formalizm Newmana-Penrose’a paragraf 1.8 )
3) Wybieramy obszar Σ → Σ+ wzdłuŜ Γ. Otrzymane wyraŜenie określa moment pędu układu lub jego 4-pęd , w zaleŜności od geometrycznego sensu odpowiedniego generatora grupy BMS.
Problem redukcji grupy BMS do grupy Poincare’go w podejściu Tamburino-Winicour’a, jednakowoŜ nie zostaje rozwiązany, pojawiają się zatem te same trudności w określeniu momentu pędu co i wcześniej.
Badanie asymptotycznych własności czasoprzestrzeni jest jeszcze dalekie do ukończenia. Jak widać z analizy
przeprowadzonej w tym rozdziale, istnieje szereg podejść i do tej pory nie ma jasności w pełnym zrozumieniu struktury asymptotycznej czasoprzestrzeni.
Na zakończenie wskaŜemy pewne problemy, sformułowane przez Ashtekar’a i Penrose’a.
1) Pokazać, Ŝe jeśli cięcie Σ izotropowej nieskończoności przyszłości ℑ+ ( lub przeszłości ℑ- ) jest powierzchnią przestrzennopodobną, na której spełnione są odpowiednie warunki energetyczne, to masa określona według Bondiego-Sachs’a na Σ jest nieujemna [ 104]. Pod pojęciem „odpowiednich warunków energetycznych” mamy tu na względzie ogólną sytuację tzn. – warunek dominacji energetycznej. Analogiczny problem moŜemy sformułować dla masy
określonej przez asymptotyczną przestrzennopodobną hiperpowierzchnię w podejściu 3+1 ( masa ADM ). MoŜliwe jest równieŜ dowolne określenie masy poprzez odpowiednie pseudotensory przy warunku poprawnego określenia
odpowiedniego układu współrzędnych tj. układu współrzędnych która w wymagany sposób asymptotycznie dąŜy do układu kartezjańskiego. MoŜe być równieŜ wykorzystane inne cechowanie zgodne ze strukturą asymptotyczną.
Zaniechanie spełnienia tych warunków moŜe być źródłem wielu trudności a nawet moŜe prowadzić do sytuacji w której samo pojęcie energii ( masy ) będzie bezsensowne w OTW.
2) Czy masa według Bondiego-Sachs’a, określona przez cięcie nieskończoności izotropowej przyszłości ℑ+ ma jakąś granicę przy cięciu dąŜącym do przeszłości zgodnie z ℑ+ ?. Jeśli tak, to czy pokrywa się ona z wartością masy, określoną na przestrzennej nieskończoności [104] ?
Problem ten , jak sądzimy będzie rozwiązany wtedy kiedy ostatecznie wyjaśni się związek między grupą BMS – grupą asymptotycznych symetrii nieskończoności izotropowej i Spi-grupą – grupą asymptotycznych symetrii w podejściu Ashtekar’a-Hansen’a.
3) Pokazać, Ŝe jeśli słuszny jest warunek dominacji energetycznej, to 4-pęd według Bondiego-Sachs’a, jak równieŜ 4-pęd określony przez przestrzenną nieskończoność, ma kierunek ku przyszłości. Przy tym zakładamy, Ŝe czasoprzestrzeń jest wszędzie płaska w pobliŜu przestrzennopodobnej hiperpowierzchni, którą wykorzystujemy w celu określenia wielkości całkowych [104].
4) Jeśli nie występuje przychodzące i wychodzące ( ku nieskończoności ) promieniowanie i czasoprzestrzeń jest pusta w pobliŜu I i ( w pewnym sensie ) w pobliŜu I0, to czy jest ona stacjonarna w pobliŜu I [104] ?
5) Niech będzie dany zbiór rozmaitości, kaŜda z których jest asymptotycznie pusta i płaska zarówno w przestrzennej jak i izotropowej nieskończoności. Jeśli zignorować strukturę asymptotyczną w punkcie I0 , to grupą asymptotycznej symetrii będzie grupa BMS. Jeśli zignorować asymptotyczną strukturę izotropowej nieskończoności I, to odpowiednią grupą symetrii będzie Spi-grupa. Jaka jest grupa asymptotycznych symetrii, która zachowuje asymptotyczną strukturę w obu reŜimach ?. Czy moŜna otrzymać kanoniczny rozkład tej grupy na grupę Poincare’go i część cechującą [ 146, str. 68] ? 6) Czy istnieje zadowalająca definicja momentu pędu poprzez izotropową nieskończoność [ 146, str. 68] ?
Wszystkie istniejące definicję posiadają dowolność w wyborze cechowania ( supertranslacji ).